10.Hafta istatistik ders notlari FİLİZ ÖZKAN

ÖĞERNİM ÇIKTILARI Olasılık kurallarını öğrenme Çarpma kuralı ile olasılık hesaplama Permütasyon ve kombinasyon ile olay sayısı hesaplayabilme İÇİNDEKİLER Çarpma kuralı Permütasyon Kombinasyon

Çarpma Kuralı: A ve B gibi iki olay birbirinden bağımsız olsun, P(A ve B)=P(A).P(B) şeklinde hesaplanır. Örnek: Bir zar ile bir madeni para birlikte atıldığında, zarda çift sayı ve parada yazı gelme olasılığı nedir? A olayı: zarda çift gelmesi B olayı: yazı gelmesi ise, P(A ve B)= P(A).P(B)= 3/6 . 1/ 2 = 1/4 olarak bulunur.

Çarpım kuralı, şartlı olasılık: Şayet A olayı B olayından sonra ortaya çıkıyorsa, A olayının olasılığına şartlı olasılık denir ve P(A/B) şeklinde gösterilir. P(A/B)=P(AB) olarak hesaplanır. P(B) A ve B olayları birbirine bağlı ise yani B olayının ortaya çıkışı A olayının olasılığını etkiliyorsa, hem A hem de B olayının aynı anda ortaya çıkma olasılığı P(AB)=P(A).P(B/A) P(AB)=P(B).P(A/B)

Örnek Bir kutuda 10 adet film var.Bunlardan üçünün bozuk olduğu biliniyor. Eğer sırasıyla birer adet toplam iki film çekersek, çekilmiş filmlerin her ikisinin de bozuk olma ihtimali nedir? P(A): ilk çekişte bozuk olma olasılığı P(B): ikinci çekişte bozuk olma olasılığı P(A ve B)=P(A).P(B/A) =3/10.2/9 =0.0667

Örnek: Bir oyun kağıdı destesinden rastgele çekilen iki kağıdın kupa ve sinek olma olasılığı nedir? A olayı: kupa gelmesi B olayı: sinek gelmesi P(A ve B)= P(A).P(B)= 13/52 . 13/52 = 1/2 olur.

Örnek Bir oyun kağıdı destesinden seçilen kağıdın kupa veya birli olma olasılığı nedir? A olayı: kupa gelmesi P(A)=13/52 B olayı:Birli gelmesi P(B)= 4/52 P(A∩B)=1/52 P(A veya B)= P(A) + P(B) – P(A ∩B) = 13/52 +4/52 – 1/52 =4/13 olur.

Örnek Eğer bir zar iki kere atılırsa, iki rakamın toplamının 4 veya daha düşük olma olasılığı nedir? Bu durumda: S = {(1, 1),(1, 2), …, (2, 1),(2, 2), …, (6, 6)} olduğu için n(S) = 62 = 36. Olay B = “Rakamların toplamı ≤4” = {(1, 1),(1, 2), (1, 3),(2, 1), (2, 2),(3, 1)} Dolaysıyla P(B) =6/36 = 1/6 olur.

Örnek Bir kapta 5 lacivert, 5 yeşil ve 5 sarı top bulunmaktadır. Seçilen bir topun sarı olma olasılığı nedir? Örneklem uzayındaki olay sayısı= 15 İlgilenilen olayın sayısı = 5 P(A)= 5/15=1/3

Örnek Bir iskambil destesinden çekilen 2 kartın birinin kupa diğerinin maça olması kaç farklı şekilde gerçekleşebilir? 13*13=169 Bir A olayı m farklı şekilde oluşan, B olayı da n farklı şekilde oluşabilen olaylar ise ve A ve B olayları aynı anda oluşmaları mümkün olan olaylar ise A ve B olayı m*n kadar farklı şekşlde oluşabilir.

Örnek: kr olarak hesaplanır. İstanbul’dan İzmir’e 2 farklı tren seferi, 4 farklı havayolu firması, 40 farklı otobüs firması ve 1 adet denizyolu firması ile gidilebildiğine göre İstanbul’dan İzmir’ e kaç farklı şekilde gidilebilir? 2+4+40+1+=47 farklı şekilde gidilebilir. Örnek:Bir zarı 3kez attığımızda ortaya çıkabilecek tüm mümkün durumların sayısı nedir? 63 = 216 Not: k farklı sonuç veren bir deney r kez tekrarlanırsa ortaya çıkan tüm durumların sayısı kr olarak hesaplanır.

Örnek Uzayı ve Olay Sayısı Büyük Olduğu Durumlar Örnek uzayı ve olay sayısı büyük olduğu durumlarda örneklem uzayındaki olay sayısı iki farklı yöntemle hesaplanır. A) Permütasyon B)Kombinasyon Permütasyon Sıraya konulacak n adet nesne olsun ve her biri sadece bir kez kullanılmak üzere kaç farklı sıralama yapılabilir?

Permütasyon n, (n-1), (n-2), …………2, 1 N tane nesnenin mümkün olan sıralamalarının sayısı: n.(n-1).(n-2)..2.1= n! olarak hesaplanır. *** n tane nesne arasından seçilmiş p tane nesnenin farklı diziliş sayısı ise, nPx = n! _ (n-p)! Bu şekilde hesaplama iadesiz seçim ve örneğe çıkış sırasının önemli olduğu durumda kullanılır.

Örnek: 8 atletin katıldığı 100 m yarışmasında ilk üç dereceye girenler kaç faklı şekilde belirlenir? 8P3= 8! _ =8.7.6= 336 (8-3)! Örnek: 2,3,5,6,7,9 sayılarını kullanarak 4 basamaklı rakamları birbirinden farklı kaç sayı oluşturulur? 6P4= 6! _ =6.5.4.3=360 (6-4)!

Kombinasyon n adet nesne arasından seçilen p tanesinin kombinasyon sayısı nCp= n! _ şeklinde hesaplanır. p!(n-p)! Bu hesaplama iadesiz seçim ve örneğe çıkış sırasının önemsiz olduğu durumlarda kullanılır. Örnek:

Örnek Beş kişilik bir komisyondan üç üye kaç farklı şekilde seçilir? 5C3 = 5! _ 3! (5-3)! Örnek: 10 bey ve 5 bayan arasından 2 bay ve 1 bayan üye içeren bir kurul kaç farklı şekilde gerçekleşebilir? 10C2=10! _= 45 5C1= 5! _ = 5 2!(10-2)! 1! (5-1)! Çarpım kuralı ile; 45.5=225 farklı şekilde oluşturulur.

Örnek 10 işletme ve 8 iktisat öğrencisi arasından 5 kişilik bir komisyon oluşturulacaktır. Rastgele bir seçim yapıldığında komisyonda çoğunlukla işletme öğrencilerinin olma olasılığı nedir? 5 işletme 0 iktisat, 4 işletme 1 iktisat, 3 işletme 2 iktisat 10C5. 8C0 + 10C4. 8C1 + 10C3. 8C2 __________ _______ ________ = 0,62 18C5 18C5 18C5

Örnek Ali ve Veli zar oyunu oynuyorlar. Oyuna Ali başlıyor, zar 1 veya 2 gelirse oyunu kazanıyor. 3,4 veya 5 gelirse oyuna devam ediyor, 6 gelirse oyun sırası Veli’ye geçiyor. Ali’nin oyunu kazanma olasılığını bulunuz. Ali 1 veya 2 gelirse kazanır olasılık: 2/6 3,4,5 gelirse oyuna devam eder, sonra oyunu kazanır olasılık (3/6)p İlk atışta 6 atar , oyun Veli’ye geçer (1/6)(1-p) p= 2/6 +(3/6)p + (1/6).(1-p) ise p=3/4