MATRİSLER Şekildeki gibi bir cismin elemanlarından oluşan sıralı tabloya m x n tipinde bir matris denir. i= 1,2,3, .. , m ve j = 1,2,3, ... , n olmak üzere, A = [aij ]şeklinde ifade edilir. Burada i, satır indisini; j;ise sütun indisini belirtmektedir. aij elemanı; A matrisinin i. satırı ile j. sütununun kesiştiği yerdeki elemanıdır.
ÖRNEK 1 matrisinin türünü belirterek a31 , a13 , a35 ve a15 elemanlarını bulunuz. ÖRNEK 2 A=(2 5 8 12 23 68 42) matrisinin türünü belirterek a11 , a13 , a15 ve a17 elemanlarını bulunuz.
A = [aij ]mxn ve B = [bij ]mxn olsun. ÖRNEK 3 2 3 5 4 10 A= matrisinin türünü belirterek a51 , a21 , ve a41 elemanlarını bulunuz. MATRİSLERİN EŞİTLİĞİ Aynı türden matrisler eşit olabilir. Aynı türden iki matrisin eşit olması için karşılıklı elemanlarının eşit olması gereklidir. A = [aij ]mxn ve B = [bij ]mxn olsun. Her i, j için aij = bij ise ‘A ve B matrisleri eşittir’ denir ve A = B şeklinde gösterilir.
MATRİS ÇEŞİTLERİ ÖRNEK 1 A= ve B= 2x-y 4 -2 y+1 6 z+3 -2 3 A= ve B= A ve B matrisleri eşit olduğuna göre, x + y + z toplamı kaçtır? A) 3 B) 4 C) 6 D) 7 E) 9 MATRİS ÇEŞİTLERİ 1-SIFIR MATRİSİ: Bütün elemanları 0 olan matrislerdir.
2-KARE MATRİSİ: Satır ve sütun sayıları eşit olan matrislere denir Kare matrisinde a11, a22,,,,,,ann elemanlarının bulunduğu köşegene asal köşegen denir. Asal köşegen
3-KÖŞEGEN (DİAGONAL) MATRİS: Asal köşegeni dışındaki bütün elemanları 0 olan matrislere denir. 4-BİRİM MATRİS: : Asal köşegeni üzerindeki elemanlar 1, diğer elemanları 0 olan kare matrislere birim matris denir. Imxn= In ile gösterilir.
BİR MATRİSİN BİR SAYI İLE ÇARPIMI Bir matrisi bir sayı ile çarpmak matrisin her elemanını bu sayıyla çarpmak demektir 2 5 4 1 9 0 7 0 4 2 10 0 5 10 25 20 5 10 45 0 35 0 5 20 10 50 0 A= ise 5.A=
MATRİSLERDE TOPLAMA İŞLEMİ UYARI : 1) Bir matrisin (-1) ile çarpımı yapıldığında bu matrisin toplama işlemine göre tersi elde edilir. (-1).A=-A 2) Bir matrisin 0 ile çarpımı sıfır matrisidir MATRİSLERDE TOPLAMA İŞLEMİ A ve B aynı türden iki matris olmak üzere, A + B, A ve B matrislerinin karşılıklı elemanlarının toplamı ile elde edilen matristir. ÖRNEK :
İKİ MATRİS ÇARPIMI TANIM: m x n türünden A= [ aij]mxn matrisi ile n x p türünden B = [ bij]nxp matrisi verilmiş olsun. A matrisi ile B matrisinin çarpımı AB ile gösterilir. A matrisinin her satırı ile B matrisinin her sütunu çarpıla rak AB çarpım matrisi elde edilir. sayısı A’nın satır sayısına; AB matrisinin sütun sayısı AB çarpım matrisi mxp türündedir. (AB matrisinin satır da B’nin sütun sayısına eşittir.) ÖRNEK :
ÖRNEK : ÖRNEK :
ÖRNEK : ÖRNEK : ÖRNEK :
Çarpma işleminin Özellikleri A, B ve C, çarpımı yapılabilen matrisler ve k R 1) k•(A) = (k.B).A = A.(k.B) 2) c.(A + B) =cA + c.B 3) (A + B).C = A.C + B.C 4) I.A=A 5) In = I (Birim matrisin bütün kuvvetleri kendisine eşittir.) 6) A ve B birbirinden ve birim matristen farklı olmak üzere, A .B B.A dır. 7) A.B = 0 olması, A nın veya B nin sıfır matrisi olmasını gerektirmez. ÖRNEK :
ÖRNEK : ÖRNEK : ÖRNEK :
BİR MATRİSİN TRANSPOZESİ (DEVRİĞİ)
ÖRNEK : ÖRNEK : A ve B iki matris olmak üzere, A = B - BT ise, AT aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 2B B) BT C) 2.AT D) A E) -A
ÖRNEK :
DETERMİNANT Determinant, elemanları gerçek sayılar olan kare matrisleri gerçek sayılara dönüştüren özel bir fonksiyondur. Bir A matrisinin determinantı det(A) ya da IAl şeklinde gösterilir.
ÖRNEK : x = -3 ve x = 2 ÖRNEK : =-2
ÖRNEK :
ÖRNEK :
Bir determinantın değeri herhangi bir satırının (veya sütununun) elemanları ile kofaktörlerinin çarpımının toplamına eşittir.
ÖRNEK :
ÖRNEK :
ÖRNEK :
ÖRNEK :
ÖRNEK :
ÖRNEK : ÖRNEK :
ÖRNEK :
ÖRNEK :
PRATİK : ÖRNEK :
ÖRNEK :
ÖRNEK :
ÖRNEK :
ÖRNEK :
ÖRNEK : ÖRNEK :
Vedat Demirtaş. www.matematik.anadolulisesi.org