ZAMAN SERİLERİ EKONOMETRİSİ I : DURAĞANLIK, BİRİM KÖKLER

ZAMAN SERİLERİ VE TEMEL KAVRAMLAR Model tahminleri birtakım amaçlar için yapılır: Bu amaçlar, yapısal analiz, Geleceği tahmin etme (öngörü)dir. Yapısal analiz, iktisadi teorilerin test edilmesi, Geleceği tahmin etme(Öngörü) ise, tahmin edilen modele dayanarak, bağımlı değişkenlerin ileride alacağı değerlerin belirlenmesidir.

ZAMAN SERİLERİ VE TEMEL KAVRAMLAR Zaman serileri random (tesadüfi) değişkenlerle yani stokastik (olasılık kurallarına bağlı) değişkenlerle çalışır. Bir zaman serisinin deterministik ya da stokastik özelliklerinin incelenerek dikkate alınması önemlidir. Deterministik özellikler; sabit katsayı, trend ve mevsimselliğin varlığını ortaya koyarken,

Stokastik özellik; değişkenin durağanlığı (stationary) ile ilgilidir Stokastik özellik; değişkenin durağanlığı (stationary) ile ilgilidir. Bir zaman serisinin durağan olması, zaman içinde belirli bir değere doğru yaklaşması, daha açık bir ifadeyle, sabit bir ortalama, sabit varyans ve gecikme seviyesine bağlı kovaryansa sahip olmasıdır.

Durağanlık; Zaman serisi verilerinin belirli bir zaman sürecinde sürekli artma veya azalmanın olmadığı, verilerin zaman boyunca bir yatay eksen boyunca saçılım gösterdiği biçimde tanımlanır. Genel bir tanımlama ile, sabit ortalama, sabit varyans ve seriye ait iki değer arasındaki farkın zamana değil, yalnızca iki zaman değeri arasındaki farka bağlı olması şeklinde ifade edilir.

Zaman serisi ile ilgili yapılan çalışmalar serinin DURAĞAN olduğunu varsayar. Bir zaman serisinin, başka bir zaman serisine göre regresyonunu hesaplarken, ikisi arasında anlamlı bir ilişki olmasa bile çoğunlukla yüksek bir R2 bulunur. Bu durum SAHTE REGRESYON sorununa yol açmaktadır.

Bir zaman serisinde durağanlık kavramı farklı şekilde ortaya çıkabilir: Ortalama Durağanlık Varyans Durağanlık Fark Durağanlık Trend Durağanlık

ÖRNEK-1: ABD,1970/I – 1991/IV Dönemine İlişkin Makro iktisat Verileri GSYİÜ = Gayrisafi Yurtiçi Üretim (GDP) KHG = Kişisel Harcanabilir Gelir (PDI) KTH = Kişisel Tüketim Harcaması (PCE) Karlar (profit) Kar Payı Dağıtımları (dividends)

Bu zaman serileri aslında durağan olmayan zaman serilerine örnektir. Her zaman serisinin bir olasılıklı ya da rassal süreç ile türediği düşünülebilir. Veri kümesi ise bu olasılıklı süreçin bir dışavurumudur. Zaman serileri çalışmalarında ilgi gösterilen ve incelenen bir olasılıklı süreç türü, durağan olasılıklı süreçtir.

Durağanlık Kavramı E(Yt) = µ (tüm t’ ler için) Var(Yt) = E(Yt-µ)2=σ2 (tüm t’ ler için) Cov(Yt,Yt+k)= γk sabit (tüm t’ ler için tüm k≠0 için) Eğer bir zaman serisinin ortalaması, varyansı ve kovaryansı zaman boyunca sabit kalıyorsa, serinin durağan olduğu söylenebilir. Yukarıdaki tanımlardan herhangi birini sağlamayan bir zaman serisinin durağan olmadığını söyleyebiliriz.

Durağan Olmama Durumu Xt Xt t t

Durağan Olmama Durumu Xt t

Durağanlığın Gerekliliği Bir regresyon denklemindeki açıklayıcı değişkenlerden her hangi birisi yukarıda tanımlandığı anlamda durağan olmadığında regresyon teorisi bozulur. Klasik regresyon modeli durağan değişkenler arasındaki ilişkilerde kullanılmak için keşfedilmiştir. Bu nedenle durağan olmayan serilere uygulanmamalıdır.

Zaman Serilerinin Durağanlığının Araştırılması Bir zaman serisinin durağan olup olmadığının ortaya çıkarılması için iki yol vardır: Serilerin zaman yolu grafiğinde ve onun korelogramında otokorelasyon ve kısmi otokorelasyon katsayıları üzerinde yapılan subjektif yargılara dayanmak, Birim köklerin varlığını için istatistiki testlerin kullanılması.

Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) Bir değişken zaman boyunca ölçüldüğünde serideki verilerin bir ya da daha fazla gecikmeli dönemlerden etkilenerek çok sık korelasyonlu oldukları gözlenir. Herhangi iki değişkenin değerleri arasında birlikte değişimin ölçüsü olarak kovaryans ve korelasyon katsayılarının hesaplama mantığına dayanan, bir zaman serisi gözlemlerinin gecikmeli değerleri arasında da kovaryans ve korelasyon katsayısı hesaplanabilir. Tek bir zaman serisi değişkeninin gecikmeli değerleri arasında birlikte değişimin bir ölçüsü otokovaryans ve otokorelasyon (ACF) olarak adlandırılır.

(Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) Basit durağanlık sınaması, ACF’na dayanır. Gecikmesi k iken ρk ile gösterilen ACF şöyle tanımlanır: k=0 iken ρk =1 olur, Neden? ρk’nın k’ye göre çizilmesiyle anakütle korelogramı elde edilir.

Örneklem ACF Örneklem Ortak Varyansı Örneklem Varyansı

ABD, 1970/I – 1991-IV arası döneme ilişkin GSYİÜ serisine ilişkin korelogram

OTOKORELASYON KATSAYISININ İSTATİSTİKSEL ANLAMLILIĞININ TESTİ Herhangi bir nin istatistik bakımından anlamlılığı, standart hatasıyla belirlenir. Bartlett, bir zaman serisi bütünüyle rassal ise (beyaz gürültü) örneklem Ootokorelasyon katsayılarının sıfır ortalama ve 1/n varyansla yaklaşık normal dağıldığını söyler. n=88, varyans 1/88 ve standart sapma . rk nın %95 güven aralığı

Tahmin edilen rk (-0.2089, 0.2089 ) aralığına düşerse gerçek rk’nın sıfır olduğunu söyleyen hipotezi reddetmeyiz.(H0 seri durağan) Dışına düşerse gerçek rk’nın sıfır olduğunu söyleyen hipotezi reddederiz. %95 güven aralığı şekilde (korelogram) iki kesiksiz çizgiyle gösterilmiştir.

Hipotezi bu aralığa dayanılarak test edilir.

Q istatistiği Bütün ρk otokorelasyon katsayılarının eşanlı olarak sıfır olduğunun test edilmesinde kullanılır.Box ve Pierce tarafından geliştirilmiştir. Q istatistiği asimptotik olarak m serbestlik derecesi ile Ki-kare dağılır. n:örneklem büyüklüğü (örnekte 88 dir) m:gecikme uzunluğu (örnekte 25 dir)

Q test istatistiği=792.98 a=0.05 m=25 gecikme için ki – kare tablo değeri=37.6525 dir. H0 red dir. Yani seri durağan değildir.

Q istatistiğinin bir başka biçimi Ljung-Box(LB) istatistiğidir : 25 gecikme için GSYİÜ serisine ait istatistikler : Q=793 ve LB= 891 olarak bulunmuştur Bu her iki istatistik değeri ki-kare değerinden oldukça büyüktür. Böylece H0 hipotezi reddedilir, GSYİÜ zaman serisi durağan değildir.

DURAĞANLIĞIN BİRİM KÖKLE SINANMASI Dickey ve Fuller Birim Kök Testi Basit bir seride birim kökün varlığını araştıran sistematik test Dickey ve Fuller tarafından ortaya konan bir testtir. Sürecinde birim kökün varlığı araştırıldığında hipotez aşağıdaki gibi oluşturulur. 30

ut : ortalaması sıfır, varyansı değişmeyen, ardışık bağımlı olmayan, olasılıklı hata terimidir. Bu hata terimi “beyaz gürültü hata terimi” olarak anılmaktadır.  İstatistiğinin eşik değerleri Dickey – Fuller tarafından belirlenmiştir. Eğer hesaplanan-t değeri, 0.01, 0.05 ve 0.10 kritik-t değerlerinden daha negatifse H0 reddedilir ve serinin durağan olduğuna karar verilir.

Eşitliğin her iki tarafı Yt-1 den çıkarılırsa eşitlik çoğunlukla aşağıdaki biçimde de yazılabilir: Eşitliğin her iki tarafı Yt-1 den çıkarılırsa

Dickey-Fuller birim kök sınaması için üç model kullanılır. 1. Pür Rassal Yürüyüş Modeli: Bu model trendin ve sabitin yer almadığı modeldir. Bu modellerde sabitin ve deterministik trendin etkisinin olmadığı varsayılır. şeklindeki hipotez test edilir.

2. Sabitin Yer Aldığı Rassal Yürüyüş Modeli: Modelde sabit yer almaktadır. Bu zaman serilerinde deterministik trendin etkisinin olmadığı varsayılır. şeklindeki hipotezler test edilir.

3. Trend ve Sabitin Yer Aldığı Rassal Yürüyüş Modeli: Eşitliğin sağ tarafında sabit ve deterministik trend birlikte yar almaktadır. Yani model tüm deterministik bileşenleri ve stokastik kısmı içermektedir. Seri hakkında fazla bir bilgi yoksa 3. modelden başlanarak ilgili kritik değerlerle hipotez sınanır ve Eğer H0 reddedilirse serinin trend durağan I(0) olduğuna karar verilir. H0 hipotezi kabul edilirse birim kökün varlığına karar verilir.

GDP(GSYİÜ) Zaman Serisi Durağan mı? H0: d=0 yani ρ=1 (Seri durağan değil birim kök var.) %1, %5 ve %10 için kritik değerler : -3.5064, -2.8947, -2.5842  -0.2191 kritik değerlerden daha negatif olmadığı için GSYİÜ birim kök taşır

GSYİÜ Serisinin İlk Farkları Durağan mı? %1 için kritik değer -3. 5073 olduğundan -6.6303 ile karşılaştırıldığında (kritik değerden daha negatif olduğu için)H0 red edilebilir. Yani GSYİÜ verilerinin ilk farkları birim kök taşımaz, durağandır

Trend Durağan Süreçler ve Farkı Durağan Süreçler Trend durağanlık: Zaman serilerinde durağan olmamanın bir sebebi de serinin bir deterministik trende sahip olmasıdır. Zaman serisi modelinde deterministik trend serinin durağan olmasını engellemektedir. Bir zaman serisinde trend; tamamen tahminlenebiliyor ve zamana bağlı olarak değişmiyorsa bu tür trendlere deterministik trend; Eğer tahminlenemiyor ise stokastik trend denir.

modelinde Trend durağan süreçtir. Durağan olmayan rassal yürüyüş(b3=1) ve deterministik trendli bir modeldir. Durağan ve deterministik trendli bir modeldir.

Trend Çizgisi Trendin deterministik mi yoksa stokastik mi olduğunu anlamak için; bir sabit terim ve trend değişkeninin olmadığı modeli, sadece sabit terimli model ve son olarak da hem sabit hem de trend değişkenli olmak üzere üç model kurularak katsayı işaretleri incelenir. 41

Seri durağan değildir. ΔGDPt = 0.00576GDPt−1 (1) t = (5.7980) Δ GDPt = 28.2054 − 0.00136GDPt−1 (2) t = (1.1576) (−0.2191) Δ GDPt = 190.3857 + 1.4776t − 0.0603GDPt−1 (3) t = (1.8389) (1.6109) (−1.6252) Seri durağan değildir. Birim kök vardır. Trend katsayısı istatistiksel olarak anlamlı değil o zaman deterministik trend yok. Birim kök vardır. Seri durağan değildir. model için Kritik değerler %1, %5,ve %10 için τ değerleri −2.5897, −1.9439, ve −1.6177, model için −3.5064, −2.8947, ve −2.5842 3. model için −4.0661, −3.4614, ve −3.1567 dir. Eğer H0 hipotezi reddedilseydi serinin trend durağan olduğuna karar verilecekti.

Bütünleşik Zaman Serileri Eğer, bir zaman serisinin birinci farkları durağan ise başlangıç (rassal yürüyüş) serisi 1.dereceden bütünleşiktir, I(1) Eğer, durağan bir seriye ulaşmadan önce ilk serinin iki kez farkı alınıyorsa, ilk seri 2.dereceden bütünleşiktir, I(2) Eğer bir zaman serisinin d kez farkının alınması gerekiyorsa, o seri d’inci dereceden bütünleşik ya da I(d)’dir. 43

ÖRNEK: 1991: 01- 2004: 02 dönemine ilişkin üçer aylık toptan eşya fiyat indeksi serisinin durağan olup olmadığını birim kök testi ile araştırınız.

Serinin logaritmasının alınması ile serinin değerleri arasındaki farklar azalacağından kısmen serinin durağanlaşmasını sağlayacaktır. O yüzden TEFE değişkenin logaritması alınarak işleme başlayabiliriz. Grafiksel analiz Grafiksel görünüm ilk başta serinin ele alınan dönem içinde ortalamasının sabit olmadığı izlemini vermektedir.

Serinin Otokorelasyon Katsayılarının İncelenmesi(ACF)

Otokorelasyon katsayıları incelendiğinde yaklaşık 15 Otokorelasyon katsayıları incelendiğinde yaklaşık 15. gecikmeye kadar %95 güven düzeyinde otokorelasyon olmadığını söyleyen kabul bölgesinin dışına çıktığı dolayısıyla seride otokorelasyon görünümünün olduğunu göstermektedir. Birim Kök Testi:

H0 kabul. Seri durağan değildir. Birim kök vardır ADF Test Statistic -0.927633 1% Critical Value* -4.1383 5% Critical Value -3.4952 10% Critical Value -3.1762 *MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(LNTEFE) Method: Least Squares Sample(adjusted): 1991:2 2004:2 Included observations: 53 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. LNTEFE(-1) -0.056817 0.061250 0.3581 C 0.139173 0.130725 1.064628 0.2922 @TREND(1991:1) 0.000395 0.000720 0.548703 0.5857 R-squared 0.097875 Mean dependent var 0.010859 Adjusted R-squared 0.061790 S.D. dependent var 0.014155 S.E. of regression 0.013710 Akaike info criterion -5.686385 Sum squared resid 0.009399 Schwarz criterion -5.574859 Log likelihood 153.6892 F-statistic 2.712344 Durbin-Watson stat 2.787775 Prob(F-statistic) 0.076150 Trendli ve Sabit terimli model

H0 kabul. Seri durağan değildir. Birim kök vardır. ADF Test Statistic14 -2.279211 1% Critical Value* -3.5572 5% Critical Value -2.9167 10% Critical Value -2.5958 *MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(LNTEFE) Method: Least Squares Sample(adjusted): 1991:2 2004:2 Included observations: 53 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. LNTEFE(-1) -0.023704 0.010400 0.0269 C 0.068842 0.025509 2.698770 0.0094 R-squared 0.092443 Mean dependent var 0.010859 Adjusted R-squared 0.074648 S.D. dependent var 0.014155 S.E. of regression 0.013616 Akaike info criterion -5.718117 Sum squared resid 0.009455 Schwarz criterion -5.643766 Log likelihood 153.5301 F-statistic 5.194805 Durbin-Watson stat 2.865080 Prob(F-statistic) 0.026871 Sabit terimli model

H0 kabul. Seri durağan değildir. ADF Test Statistic 5.311418 1% Critical Value* -2.6064 5% Critical Value -1.9468 10% Critical Value -1.6190 *MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(LNTEFE) Method: Least Squares Sample(adjusted): 1991:2 2004:2 Included observations: 53 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. LNTEFE(-1) 0.004288 0.000807 0.0000 R-squared -0.037166 Mean dependent var 0.010859 Adjusted R-squared S.D. dependent var 0.014155 S.E. of regression 0.014415 Akaike info criterion -5.622362 Sum squared resid 0.010806 Schwarz criterion -5.585187 Log likelihood 149.9926 Durbin-Watson stat 2.578533 Sabit terimsiz model

Fark durağanlık için

Seride birim kök vardır Null Hypothesis: LNTEFE has a unit root Exogenous: Constant, Linear Trend t-Statistic   Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -0.029162  0.9948 Test critical values: 1% level -4.144584 5% level -3.498692 10% level -3.178578 *MacKinnon (1996) one-sided p-values. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(LNTEFE) Method: Least Squares Sample (adjusted): 1991Q3 2004Q2 Included observations: 52 after adjustments Variable Coefficient Std. Error Prob.   LNTEFE(-1) -0.001755 0.060192 0.9769 D(LNTEFE(-1)) -0.450865 0.135091 -3.337503 0.0016 C 0.030237 0.127944 0.236327 0.8142 @TREND(1991Q1) -0.000369 0.000712 -0.518114 0.6068 R-squared 0.271218     Mean dependent var 0.010809 Adjusted R-squared 0.225669     S.D. dependent var 0.014288 S.E. of regression 0.012573     Akaike info criterion -5.840731 Sum squared resid 0.007588     Schwarz criterion -5.690636 Log likelihood 155.8590     F-statistic 5.954437 Durbin-Watson stat 2.273580     Prob(F-statistic) 0.001549

Sahte Korelasyon/Regresyon Eğer denklemdeki hem bağımlı hem de bağımsız değişkenlerde trend baskınsa, kuvvetli bir şekilde anlamlı regresyon katsayıları elde etmek mümkündür. Modelde yer alan trende sahip değişkenler birbirleriyle tamamen ilişkisiz olsalar dahi, R2 (belirlilik katsayısı) yüksek değerlerle tahmin edilebilir. Bu sonuçlar tamamen sahte (spurious)’dir.

Sahte Korelasyon/Regresyon Bu duruma en iyi örnek Hendry(1980) tarafından verilmiştir. Şöyleki: Yağış miktarı ile UK enflasyon oranı arasında bulunan kuvvetli sahte korelasyon ilişkisidir. Trende sahip değişkenler arasında bu tür nedensel ilişkiler bulunabilir. Trendin kuvvetine göre regresyon katsayılarının anlamlılığı artabilir. Ve tabi ki bu tür ilişkilerde sahte korelasyon olduğu keşfedilecektir.

Sahte Korelasyon/Regresyon Sahte regresyonun açık göstergesi (Phillips-1986 tarafından teorik olarak ispatlanmıştır) çok düşük Durbin-Watson istatistiği ile kabul edilebilir R2 istatistiğinin birlikte ortaya çıkmasıdır. Yani, DW< R2

KHG = Kişisel Harcanabilir Gelir (PDI) KTH = Kişisel Tüketim Harcaması (PCE) Regresyonun sahte olduğu düşünülür…..

-1.3276 ve -2.5751 %10 düzeyindeki tablo değerleriyle karşılaştırıldığında KTH ile KHG’nin her ikisi de birim köklüdür, yani ikisi de durağan değildir.(H0 kabul) %1 için : -4.0673 %5 için : -3.4620 %10 için : -3.2447 ÖDEV : ∆KTHt ve ∆KHGt durağandırlar.

∆KTHt ve ∆KHGt durağan olduğuna göre bu değişkenlere göre oluşturulan regresyon modeli kullanılamaz mı? HAYIR….Çünkü ilk farklarını alırken , KTH ile KHG’nin orijinal düzeylerinde belirlenen uzun dönem ilişkisini yitirebiliriz.

KTH : PCE KHG : PDI Her iki seri rassal ilerler ama aralarında bir birliktelik vardır.

EŞBÜTÜNLEŞME Genel olarak, Y dizisi I(1), başka bir X dizisi de I(1) ise ve d aynı değerse bu iki dizi eşbütünleşik olabilir. Eşbütünleşik iseler bu iki değişkenin düzey değerleri ile yapılan regresyon anlamlıdır. Böylece uzun dönemli ilişki kaybolmamış olur.

EŞBÜTÜNLEŞME Eşbütünleşik regresyon Eşbütünleşim katsayıları KTH ile KHG’nin her ikisi de birim köklüdür, yani ikisi de durağan değildir.(I(1)) Dikkat ! Bu iki değişkenin doğrusal bileşimi durağan olabilir. ut’nin I(0) ya da durağan olduğunu bulursak KTH ile KHG değişkenlerinin eşbütünleşik olduğunu söyleriz. Bu durumda bu değişkenler aynı dalga boyundadır. Söz konusu hata terimi KTH’nin kısa dönem davranışını uzun dönem davranışına bağlamak için kullanılabilir. Hata Düzeltme modelleri bu dengesizliği düzeltmektedir.

Granger Nedensellik Testi

Temel Kavramlar İktisatta sebep-sonuç (etki) ilişkisi veya nedensellik konusu önemli ve karmaşık bir konudur. Çalışmaların başarısı değişkenler arasındaki nedenselliğin belirlenmesine dayanmaktadır.

Ekonometrik modellerde, bir değişkenin diğer değişkenlerle bağımlılığı söz konusu olmaktadır. Y’nin X'lerle olan bağımlılığı Bu bağımlılık, Y ile X'ler arasında mutlaka bir sebep-sonuç ilişkisi olduğu anlamına gelmez.

Para Arzı(M) ve GSMH değişkenleri arasındaki ilişkiyi inceleyelim: Bu değişkenlerden her biri diğerini (dağıtılmış) gecikmeli olarak etkiler. MGSMH GSMHM MGSMH ve GSMHM

İki değişken arasında zamana bağlı gecikmeli ilişki varken, nedenselliğin yönünün (sebep ve sonuç ilişkisinin) istatistikî olarak belirlenmesi konusu ile karşı karşıyayız. Nedensellik konusundaki ilk çalışma Granger(1969) tarafından yapılmıştır. Bu nedenle Granger nedensellik testi adı ile anılmaktadır.

Testte önce şu denklemler tahmin edilir: Granger değişkenler arasındaki nedensellik testi zaman serisi verilerine dayanır. Testte önce şu denklemler tahmin edilir: =Granger nedensellik testi modelleri

M nin GSMH yı tek tönlü etkilemesi (MGSMH )

GSMH nin M yi tek tönlü etkilemesi (GSMH M )

MGSMH ve GSMHM

Granger Nedensellik Sınaması Aşamaları: Cari GSMH’nın bütün gecikmeli GSMH değerlerine ve varsa başka değişkenlere göre regresyonu bulunur. Bu modelde M’nin gecikmeli değerleri modele dahil edilmez. Sınırlanmış hata kareler toplamı hesaplanır. Aynı modele bu defa M terimleri dahil edilerek model tahminlenir ve bu sınırlanmamış modelin hata kareler toplamı bulunur.

Granger Nedensellik Sınaması Aşamaları: hipotezi oluşturulur. m ve (n-k) sd ile F dağılımına uyan test istatistiği hesaplanır: m:Gecikmeli m terimleri sayısı k:sınırlanmamış regresyonda tahmin edilen katsayılarının sayısı F>Ftab ise H0 hipotezi reddedilir. Bu ise M’nin GSMH’nın nedeni olduğunu söylemektedir. H0:Nedenselliğin yönü geçersizdir. M GSMH H1:Nedenselliğin yönü geçerlidir. M GSMH

H0:Nedenselliğin yönü geçersizdir. M GSMH ABD 1960-I den 1980-IV GSMH ve M büyüme hızı arasındaki nedensellik : H0:Nedenselliğin yönü geçersizdir. M GSMH H1:Nedenselliğin yönü geçerlidir.M GSMH Nedenselliğin Yönü Fhes Değeri Ftab Değeri Karar MGSMH 2.68 2.5 HO red GSMHM 0.56 H0 kabul H0 red. Nedenselliğin yönü geçerlidir.M GSMH