ÖKLİD

İ.Ö. 325 - İ.Ö. 265 ÖKLİD

Öklid Kimdir? Yunan Matematikçisi.(M.Ö. 300 dolayları) Gelmiş geçmiş Matematikçilerin içinde adı geometriyle en çok özdeştirilen kişidir. Öklid, geometri dünyasında kapladığı bu seçkin yeri kendisinin büyük bir matematikçi olmasından çok, geometrinin başlangıcından kendi zamanına kadar bilineni; "Öğeler" adını verdiği kitabında toplamıştır. Öğeler, dilden dile çevrilmiş, yüzlerce kez kopya edilmiş, matbaanın icadından sonra da binlerce kez gözden geçirilmiştir. Öklid derlemesinin tutarlı bir bütün olmasını sağlamak için, kanıt gerektirmeyen apaçık gerçekler olarak 5 aksiyom ortaya koyar. Diğer bütün önermeleri bu aksiyomlardan çıkarır.

Öklid’in Aksiyomları 1)İki noktadan bir ve yalnız bir doğru geçer. d:ax+by+c=0,olsun. A(x,y) B(p,r) A ve B noktası(iki nokta ile) ile ancak ve ancak bir eğim bulabiliriz(eğim formülünü de hatırlayalım).İki noktadan Yalnız ve yalnız bir eğim bulabiliyorsak ve seçtiği herhangi bir noktayı biliyorsak yalnız ve yalnız bir denklem bulabiliriz.

2)Bir doğru parçası iki yöne de sınırsız bir şekilde uzatılabilir.

3)Merkezi ve üzerinde bir noktası verilen bir çember çizilebilir.

4)Bütün dik açılar eşittir.

5)Son belit için sıkı durun. Eğer iki doğru parçasını,dar iç açıların toplamı iki dik açıdan az olacak şekilde keserse,o zaman ilk iki doğru parçası,yeterince uzatılırsa,üçüncü doğrunun toplanan iç açılarının olduğu tarafta kesişirler.

Tarihsel olarak bunlara belit değil postulat denir “Belit” denen önermeler, x=y ve y=z ise o zaman x=z Gibi sadece geometriye değil,tüm matematiğe hatta mantığa ve düşünmeye özgü çok genel önermelerdir

BELİT NEDİR? Geometrinin belitleştirilmesi(aksiyomatikleştirilişi)sadece matematik tarihinde değil,insanlık tarihinde de bir devrimdir,hatta devrimlerin en önemlilerindendir.Belit,doğruluğu tartışılmadan kabul edilen önerme demektir. Dikkat!!! “Belitler doğrudur” dan başka bir şey söyledik. “Belitler doğrudur” demedik kesinlikle.Belitler sadece doğruluğu kabul edildiğinde tartışılmayan öğelerdir.Sadece kabul edildiklerinde…Kimse belitleri kabul etmek zorunda değil.Ama kabul ettiklerinde,artık tartışılmaz…

Biraz önce de belirttiğim gibi Öklid’in adını günümüze kadar taşıyan öğeler adını alan kitabıdır.Öğeler, 13 kitaptan oluşmaktadır.Bir nevi derleme olan kitap 13 bölümden oluşmaktadır. Bunlar sırasıyla;

I)Benzerlikler, paraleller, pisagor teoremi

II)Özdeşlikler, alan hesabı, altın kesim

III)Daireler

IV) Dairelerin içine ve dışına çizilen çokgenler

V)Oran ve Orantı Kavramı

VI)Çokgenlerin Benzerlikleri

VII ve VIII ve IX)Aritmetik, eski sayılar teorisi

X)Ortak ölçüsü olmayan büyüklükler

XI ve XII ve XIII)Uzay Geometrisi.

Öklid Geometrisi, XIX. yy.ın başına kadar rakipsiz kaldı. Hatta XX. yy.ın ortalarına kadar bile orta öğretimde geometri, Öklid'in öğelerine bağlı olarak okutuldu.

Öklid'in yaşamı konusunda hemen hiçbir şey bilinmiyor. Önceleri bir Yunan kenti olan Magera'da doğduğu sanıldıysa da, sonradan Mageralı Öklid'in, Öğeler'in yazarı İskenderiyeli Öklid'den yüzyıl kadar yaşamış olan bir felsefeci olduğu ortaya çıkmıştır.

Öklid Uzayı Öklid uzayı orta öğretimde gördüğümüz iki boyutlu uzadır.Öklid uzayındaki tüm önermeler ve aksiyomlar üç boyutta da geçerlidir(uzunluklar,açılar,alanlar…).

Öklid Uzayı Ve Fizik Doğanın bilimi olan fizik hiç kuşku yok ki matematik olmadan bu denli bir ilerleme sarf edemezdi.Önceleri doğadaki olayları tanımlamada2-3 boyutlu uzay bize yeterli gibi gözüktü.O kadar ki Öklid uzayının(yada Öklid geometrisinin) yaşadığımız dünyaya uygulanmasının gereklilik olduğunu düşünmüşüzdür(Büyük bir filozof olan Immanuel Kant bile buna inanmıştır).Öklid geometrisi(uzayı) ile ilgili gerçek çok yıllar sonra Einstein’ın Genel Görelelik kuramıyla anlaşılmıştır.Öklid geometrisinin mantıksal bir gereklilik olmanın çok gerisinde salt bir ampirik gözlemsel gerçek olduğu,fiziksel uzayımızın yapısına kesinlikle uymasa bile yeterli doğrulukla uygun olduğu bu kuramla anlaşılmıştır.

Nedir bu Görelilik? Einstein’ın önce 1905’te bulduğu özel görelilik ve daha sonra 1915’te bulduğu genel görelilik. Biz özel görelilik üzerinde duracağız. Bu kuram:Zamanın mutlak olmadığı,gözlemciden gözlemciye değiştiği.Bunun yanında zaman,ayrıca olayların oldukları yere de bağımlı olduğu çıkıyor.Böylece uzay ve zamanı bir bütün olarak değerlendirme ihtiyacı çıkıyor…

Öklid Geometrisi Ve Zaman

Öklid Uzayı Ve Zaman Daha önce de dediğim gibi Öklid uzayı bize yaşadığımız evreni anlatmakta yetersiz kalmıştır.Biz Öklid uzayında evreni hep zamandan bağımsızmış gibi düşünüyorduk.ta ki Einstein’ın görelilik kuramına kadar.Ne diyordu bize Einstein?Zaman kişiden kişiye değişen,bulunduğu ortamdan etkilenen bir kavramdı.Halbuki biz Öklid uzayında(en genel haliyle 3 boyutlu uzay) sadece x,y,z deki değişimlere bakıyorduk.zamanı hiç hesaba katmıyorduk. Başka bir deyişle zamanı hep sabit düşünüyoruz.

Maxwell denklemleriyle sağlanan görelilik ilkesi,diğer adıyla özel görelilik,kavranması oldukça zor bir ilke olup,ilk bakışta,içinde yaşadığımız dünyanın gerçek nitelikleri olarak kabullenmesi güç,önseziden uzak pek çok nitelik taşımaktadır.Aslında özel göreliliğe,son derece kendine özgü görüşleri ve yaratıcılığı olan Rus asıllı Alman geometrici Herman Minkowski’nin (1864 1909)1908’ed bulduğu ek bir öğe olmaksızın doğru dürüst bir anlam verilmez.Minkowski,Zürih Politeknik okulunda Einstein’ın hocasıydı.Temel nitelikte yeni görüşü,uzayla zamanı birbirinden ayrılmaz bir bütün olarak alması ve dört boyutlu bir uzay-zaman olarak nitelemesiydi.1908’de Göttingen Üniversitesinde verdiği ünlü konferansında bunu şöyle açıklamıştı: “Bundan böyle kendi başına uzay,kendi başına zaman gölgeler gibi yitip gitmeye mahkumlar ve yalnızca bu ikisinin bir tür birleşimi bağımsız bir gerçekliliği koruyacaktır.”

Biraz daha somut anlatmaya çalışalım

Öklid Ve Asal Sayılar O çağlarda insanların kafasını kurcalayan en önemli konularda biri de asal sayılar idi.Hatta en çok sonsuz olup olmadıkları merak ediliyordu.Sonra M.Ö önce 300 yıllarında Öklid bu tartışmaları sona erdirmek adına matematik tarihinin en eski ve en zarif ispatlarından birini vererek ”sonsuz tane asal sayı vardır” kestirimini ispatladı.Aynı zamanda Öklid’in bu çalışması şıklığıyla da bugün hala çelişki ile ispat örneklerinin gözdelerindendir.Öklid mükemmel sayılar konusunda da katkıda bulunup”(2^n)-1 asal ise “2^(n-1)*(2^n-1) bir mükemmel sayıdır” ispatını verdi.Euler’in 1747’de ispatladığı “her mükemmel çift sayı 2^(n-1)*(2^n) biçimindedir” ifadesiyle bu sayılar,üzerlerindeki ilgiyi mükemmel tek sayılara kaptırdılar.Çünkü bugün ne bir mükemmel tek sayı bulunabildi ne de yokluğu kanıtlandı.Bilinen şu ki,böyle bir sayı varsa 10^300’denbüyüktür diğer bir deyişle 300’den fazla basamağa sahiptir.

Ders:Matematik Tarihi Konu:Öklid Hazırlayan:Yusuf Güler 020101001 9