HOŞGELDİNİZ ! FARUK AŞIK ZEYNEP AKÇA MURAT ŞİMŞEK

KISACA ANLATACAKLARIMIZ: *Normal eğri ve bu eğrinin özellikleri *z puanı ve yorumu *t puanı ve yorumu *Normal eğride yüzde bulma *Bir puanın normal eğrideki yerini bulma

Normal Eğri (Çan Eğrisi, Gauss Eğrisi, Birim Nominal Eğri) *Normal eğri, normal dağılımların gösteriliş biçimidir *Normal dağılımlar alınan istatistiki verilerden aritmetik ortalama, tepe değer ve ortancanın birbirine eşit olması durumudur.Bu değerler bir eğri ile gösterildiklerinde aynı noktada çakışırlar

* Normal dağılım kuramsal bir dağılımdır ve matematiksel bir eşitliği ifade eder.Normal dağılım eğrisinin tepe noktasında standart sapma 0 kabul edilir

*Normal dağılım eğrisinin çakışma noktasının sağ ve sol tarafları birbirine eşittir ve bu nedenle dağılım simetriktir.

*Normal dağılım eğrisinin sağı ve solu sonsuza kadar uzanır, eğri tabanı kesmez

Normal dağılımlar ortalama ve standart sapmada değişiklik gösterirler . Her Dağılım Kendine Özgü Tabloya Sahip Bu bir sonsuz Sayı!

Normal dağılımda alınan verilerden: -%68 i (+1) ile (-1) -%95 i (+2) ile (-2) -%99 u (+3) ile (-3) standart sapma değerleri arasında yer alır.

Örneğin: aritmetik ortalaması 60 ve standart sapması 4 olan veriler topluluğunu düşündüğümüzde, normal dağılımda bunun anlamı şudur: alınan verilerden ( 1 ss ) *%68i 60+4x1 ile 60-4x1 arasında yani 64 ile 56 arasındadır (2 ss ) *%95 i 60+4x2 ile 60-4x2 arasında yani 68 ile 52 arasındadır (3ss) *%99 u 60+4x3 ile 60-4x3 arasında yani 48 ile 72 arasındadır

NORMAL DAĞILIM NEDİR? ÖRNEK Rastgele 200 kisinin Hb düzeyleri ölçülüp, düsükten yüksege dogru siralaniyor. En düsük degerin 9.8 g/dL, en yüksek degerin 18.2 g/dL ve ortalama degerin 14.0 g/dL oldugu saptaniyor.

Örnek deki 200 kişinin hemoglobin (Hb) degerlerinin çogunun ortalamaya yakin oldugunu,düşük ve yüksek degerlere gidildikçe, sayinin azaldigini görürüz. Örnegin Hb’i 13.6-14.4 g/dL arasinda olan otuzalti kişi varken, 12.0-12.8 g/dL arasinda olan yirmibeş, 10.4-11.2 g/dL arasinda olan yedi ve 10.4 g/dL’den düşük olan üç kişi oldugunu görebiliriz. Yatay eksende Hb degeri, dikey eksende de denek sayisi olmak koşuluyla çubuk grafik çizilirse (yani örnegin Hb degeri 13.6-14.4 g/dL olan otuzalti denek oldugunu varsayarsak, yatay eksendeki 14.0 g/dL’den yukari dikey eksenin 36 birimi uzunlugunda çubuk çizilip, tüm Hb degerleri için bu şekilde grafik tamamlandiginda), çubuklarin tepe noktalarini birleştiren egri, Hb degerlerinin dagilim egrisidir (Şekil 4.1).

Doğadaki ve toplumdaki çok şeyin dağılımı buna benzer Doğadaki ve toplumdaki çok şeyin dağılımı buna benzer. Normal dağılım adı verilen bu dağılım şekli simetriktir. Normal dağılım eğrisi, çan şeklinde olduğu için çan eğrisi olarak da adlandırılmıştır.

Yukarıdaki örnekte Hb’i 12. 0-12 Yukarıdaki örnekte Hb’i 12.0-12.8 g/dL arasında olan yirmibeş kişi olduğunu varsaymıştık. Bu aralığın ortasında bulunan 12.4 g/dL, ortalamadan (14.0 g/dL) 1.6 g/dL azdır. Dağılım normalse, Hb değeri ortalamadan 1.6 g/dL fazla olan (yani orta değeri 15.6 g/dL, değer aralığı 15.2-16.0 g/dL olan) kişilerin sayısının da yirmibeşe yakın olması gerekir. Normal dağılım simetrik olduğu için normal dağılım gösteren değişkenlerin ortalama, ortanca ve modları eşittir. İstatistikte dağılımın normal olup olmadığının belirlenmesi çok önemlidir. Çünkü farklı dağılım gösteren verilere uygulanacak tanımlayıcı ve analitik istatistik yöntemleri de farklıdır.

Normal dağılımlar ortalama ve standart sapmada değişiklik gösterirler . Her Dağılım Kendine Özgü Tabloya Sahip Bu bir sonsuz Sayı! 18

Standart puanlar: Veri analizi yaparken alınan verilerin hatasız biçimde karşılaştırılabilmesi için aritmetik ortalama ve standart sapmadan yararlanılır. Aritmetik ortalama ve standart sapmanın aynı olduğu gruplarda karşılaştırma yapmak kolaydır ancak Aritmetik ortalaması ve standart sapması farklı olan dağılımların aynı aritmetik ortalama ve standart sapma ya sahip dağılım haline dönüştürülmesi ve sağlıklı karşılaştırma yapılabilmesi için verilerin standartlaştırılması gerekir

Alınan puanları standartlaştırmak için Z ve T puanları kullanılır:

*Z puanı: Aritmetik ortalaması sıfır (Xort= 0) , standart sapması bir (Sx = 1,00) olan puanlara Z puanı, dağılımlara ise standart normal dağılım ya da birim normal dağılım denir.

Z puanı şu şekilde bulunur: Z= alınan veri-verilerin ortalaması standart sapma

Z PUANI -3 -2 -1 0 1 2 3 T PUANI 20 30 40 50 60 70 80

Örnek Standartlaştırma Standartlaşmış Normal Dağılım Standartlaşmış Normal Dağılım Standartlaşmış Normal Dağılım Standartlaşmış Normal Dağılım Standartlaşmış Normal Dağılım Standartlaşmış Normal Dağılım Standartlaşmış Normal Dağılım Standartlaşmış Normal Dağılım Standartlaşmış Normal Dağılım Normal Dağılım Normal Dağılım Normal Dağılım Normal Dağılım Normal Dağılım Normal Dağılım Normal Dağılım Normal Dağılım Normal Dağılım

*Bir örnek: Ayşe; ortalamanın 70 ve standart sapmanın 2 olduğu matematik sınavından 77, ortalamanın 50 ve standart sapmanın 1,6 olduğu kimya sınavından 58 almıştır. Ayşe hangi derste daha başarılıdır? Görüldüğü gibi Matematik ve Kimya sınavlarında öğrencilerin durumları farklılık gösteriyor. Bu durumda Ayşe’nin içinde bulunduğu gruba göre derslerdeki başarısının karşılaştırılması için önce iki dersin de aynı standarda getirilmesi gerekir. Bunu Z puanı ile yapalım: Zmat= 77-70 = 3,5 2 Zkim=58-50= 5 1,6 Bu sonuca göre Ayşe kimya dersinden daha düşük not almasına rağmen içinde bulunduğu gruba göre kimyada daha başarılıdır.

T puanı: İşlevi Z puanı ile aynıdır *T puanı: İşlevi Z puanı ile aynıdır. Yani verileri belli bir standarda getirip karşılaştırmak için kullanılır. Z puanı ile farkı ise şudur: Z puanında 0 olarak kabul edilen aritmetik ortalama T puanında 50 kabul edilir Z puanında 1 kabul edilen standart sapma T puanında 10 kabul edilir Bu düzenleme ile veriler Z puanındaki negatif ve kesirli olabilen ifadelerden kurtularak pozitif ve tam sayı olarak ifade edilebilir

Z PUANI -3 -2 -1 0 1 2 3 T PUANI 20 30 40 50 60 70 80

Örnek: TUS puanı hesaplama Çoktan seçmeli sorulardan oluşan Bilim Sınavı cevap kâğıtları ÖSYM'de optik okuyucu ile okunarak, adayların iki testin her birindeki sorulara verdikleri doğru ve yanlış cevaplar ayrı ayrı toplanacak, doğru cevap sayısından yanlış cevap sayısının dörtte biri çıkarılarak ham puanlar elde edilecektir. Bu ham puanlar, her test için ayrı olmak üzere, ortalaması 50, standart sapması 10 olan standart puanlara dönüştürülecektir. Standart puanlar kullanılarak, tıp fakültesi mezunu adaylar için Ağırlıklı Klinik Tıp Bilimleri Puanı (K) ve Ağırlıklı Temel Tıp Bilimleri Puanı (T) olmak üzere iki ayrı puan hesaplanacaktır. Tıp fakültesi dışındaki fakültelerden mezun adaylar için ise yalnız T Puanı hesaplanacaktır.

T puanı şu şekilde bulunur: T= 50+ (10x z puan)

Örneğin; Z puanı 1,2 olan birinin T puanı T=50+ (10x1,2)=62 olarak hesaplanır

Bu puanların standart sapması : 192/3 = 64 Öğrenci No Adı soyadı Ham Başarı Puanları Z -skorları T-skorları 1030514587 Can SARAN 76 1.1 61 1030514689 Veli UZUN 56 -0.7 43 1030515854 Ayşe YÜCE 60 -0,3 47 Öğrencilerin ortalama puanı Bu puanların standart sapması : 192/3 = 64 : 10,583

z ve t puanları hipotezlerin belli güven aralıklarında doğru olup olmadığını anlamamıza da yardımcı olur

Ho:0 hipotez farksızlık hipotezidir, test edilen konu olay test konusu farklılık yaratmamıştır.

H1:Alternatif hipotez ise farklılık hipotezidir test edilen şeyin önceki durum ile sonraki durum arasında fark yaratacağını ifade eder.

Alternatif hipotez 3 şekilde kurulur:

Alternatif hipotezde ilk ortalama ile son ortalama eşit ise hipotez çift yönlüdür ve normal dağılımdaki şekli aşağıdaki gibidir.

Alternatif hipotezde uygulama öncesi ortama uygulama sonrası ortalamadan büyük ise sağ kuyruk testi ile elde edilir ve normal dağılımdaki şekli aşağıdaki gibidir:

Alternatif hipotezde uygulama öncesi ortama, uygulama sonrası ortalamadan küçükse sol kuyruk testi ile elde edilir ve normal dağılımdaki şekli aşağıdaki gibidir:

Z' nin kritik değerleri önem düzeyine göre aşağıda verilmiştir. Alternatif hipotezler test edilirken z kritik değerlerinden yararlanılır: Z' nin kritik değerleri önem düzeyine göre aşağıda verilmiştir. Önem Derecesi  Sol Kuyruk Testi   Sağ Kuyruk Testi  Çift Yönlü Test 0.10  -1.28 +1.28  ±1.65 0.05 -1.65 +1.65 ±1.96 0.01  -2.33  +2.33 ±2.58

Şimdi tüm bunları bir örnek ile gösterelim: Bir işletmenin yıllık ortalama üretim miktarı düzenli olarak kaydedilmiş ve ortalaması 500 olarak bulunmuştur. Bu yılki üretimi denetlemek isteyen yöneticiler bu yılın ortalamasını X=490, standart sapması S=4 olarak bulmuştur. 0,01 güven sınırına göre yıllık üretim miktarlarının ortalaması 500 kabul edilebilir mi? Test ediniz. *H0=kabul edilebilir iki değer arasında fark yoktur *H1=kabul edilemez iki değer birbirinden farklıdır *Hipotezde önceki ortalama 500 ve sonraki ortalamanın da 500 olup olmadığı test edildiğine göre ilk ortama ve son ortalama eşittir.Bu durumda hipotez çift yönlüdür. *Tabloya göre çift yönlü hipotezde ; 0.01 güven düzeyinde çift yönlü test z kritik değeri=2.58 soruda bulunan z değeri =490-500/4=2,5 ZHesap< ZTablo;  2.5<2.58 olduğundan H0 kabul, H1 ret edilir. Sonuç: iki ortalama arasında fark yoktur. (z=2.5, p<.01)

* Alınan veriler arasında daha sağlıklı bir karşılaştırma yapmak için Z puanından yararlanarak yüzdelik dilim hesaplaması yapılabilir.

Örnek: Bir fabrikada her işçi bir günde ortalama 80 ürün üretebiliyor ve ortalamadan standart sapma da 5 olarak belirleniyor.Bu fabrikada bir günde 70 ürün üretebilen bir işçinin performansını değerlendirelim. Z =İşçinin ürün sayısı-ortalama ürün sayısı = 70 – 80= -2 standart sapma 5 Tabloya göre z= -2 değeri 0,0227~0,023 değerine karşılık gelir.Amacımız işçinin performansını yüzde olarak değerlendirmek olduğuna göre; 0,023 x 100 = 2.3 Bunun anlamı şudur: Fabrikadaki işçilerin %2,3 ü 70 ürün ve altında üretim yapmıştır Ve bizim işçimiz tembeller arasında %2,3 lük dilime girmiştir. Yani fabrikadaki %97,7 sinin performansı bizim işçimizden yüksektir

İşçimizin normal dağılımdaki yeri:

Peki işçimiz 90 ürün üretmiş olsaydı yeri neresi olurdu? Z =İşçinin ürün sayısı-ortalama ürün sayısı = 90 – 80 = 2 standart sapma 5 Tabloya göre z= 2 değeri 0,9772 ~ 0,98 Değerine karşılık gelmektedir Bu veriyi yüzde olarak değerlendirdiğimizde 0,98 x 100 = 98 olarak bulunur ki işçimiz başarılı grubun içinde % 98 lik dilime girmiştir Performansı işçilerin %98 inden daha yüksektir

İşçimizin normal dağılımdaki yeri:

Peki yüzdelik dilimini bildiğimiz bir verinin gerçek değerini nasıl buluruz? Örneğin; işçimizin ortalama kişi başı 80 ürün ürettiği ve ortalamadan sapmanın 5 olduğu bir fabrikada performansının diğer işçilerin % 64,8 inden daha iyi olduğunu biliyoruz ve bu işçinin bir günde kaç ürün imal edebildiğini merak ediyoruz

Tabloda verilen yüzdelik dilimin z puanı karşılığı 0,38 olarak görülüyor o halde formülde yerine yazarsak: Z =İşçinin ürün sayısı-ortalama ürün sayısı = X – 80= 0,38 standart sapma 5 Bu işlem sonucunda X=82 bulunur İşçimiz bir günde 82 adet ürün imal edebilmektedir.

DİNLEDİĞİNİZ İÇİN TEŞEKKÜRLER!

Kaynaklar: Crocher, L, Algina J (1986) Induction to classical and modern test teory words worlh pub. co. Washington Demir, Mustafa : “Analitik Verilerin Değerlendirilmesi”, (68:72) , 02-2009 Desriptive Statistics , Tanımlar , Veri Analizi . digitercume.com Gazi, Veysel : “İstatistik Müh. 100 ”, (27:32) [http://obisis.erciyes.edu.tr/Files/bndseu.doc] [www.biyoistatistik.hacettepe.edu.tr/.../sikliktablolari_tek _ degiskenli_grafikler.pps] [http://ders.insaatbolumu.com/wp-content/uploads/yapi-yonetimi/pert-uygulamalari1.jpg] [http://www.anadoluarastirma.com] [http://www.mathsisfun.com/data/standard-normal-distribution-table.html] [http://yunus.hacettepe.edu.tr/~tonta/tonta.html] Işığıçok, Erkan : “Performans Ölçümü, Yönetimi ve İstatistiksel Analizi” (7:9)