DOĞRUSAL OLMAYAN REGRESYON MODELLERİ TOLGA YILMAZ 20995242

ÖZÜNDE DOĞRUSAL VE ÖZÜNDE DOĞRUSAL OLMAYAN REGRESYON MODELLERİ Bazı modeller görünüşte katsayılarda doğrusal görünmese de, transformasyon sonucu katsayılarda doğrusal regresyon modellerine çevrilebildiği için özünde doğrusaldır.

Ama eğer katsayılarda doğrusal hale getirilemiyorsa böyle modellere özünde doğrusal olmayan regresyon modelleri denir. Bundan sonra, doğrusal olmayan bir regresyon modeli dediğimizde özünde doğrusal olmayan modellerden söz ediyoruz demektir. Bunlara kısaca DOBM diyeceğiz.

Şimdi ünlü Cobb-Douglas (C-D) üretim fonksiyonuna bakalım Şimdi ünlü Cobb-Douglas (C-D) üretim fonksiyonuna bakalım. Y=üretim, X2=emek girdisi, X3=sermaye girdisi olsun. Bu fonksiyonu üç değişik biçimde yazacağız. yada Burada =ln1’ dir. Bu kalıpta Cobb-Douglas fonksiyonu özünde doğrusaldır.

Cobb-Douglas fonksiyonunun şu biçimini alalım. yada Burada =ln1’ dir Cobb-Douglas fonksiyonunun şu biçimini alalım. yada Burada =ln1’ dir. Bu model de katsayılarda doğrusal regresyon modelidir.

Ama bir de Cobb-Douglas fonksiyonunun aşağıdaki biçimini alalım: Bu model doğrusal olmayan bir regresyon modelidir. Çünkü transformasyon uygulandıktan sonrada katsayılarda doğrusal yapabilmenin yolu yoktur.

Bir başka ünlü ama özünde doğrusal olmayan fonksiyon, ikame esnekliği sabit (CES) üretim fonksiyonudur. Cobb-Douglas fonksiyonu bunun özel bir durumudur. CES fonksiyonu aşağıdaki gibidir: Burada Y=üretim, K=sermaye girdisi, L=emek girdisi, A=ölçek katsayısı, =bölüşüm katsayısı (0<  <1), β=ikame katsayısıdır (β -1).

Rassal bozucu (ui) olasılıklı hata terimini bu üretim fonksiyonuna nasıl koyarsanız koyun, hiçbir yolla bunu (katsayılarda) doğrusal regresyon modeli yapamazsınız.

DOĞRUSAL OLAN VE DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERİN TAHMİN EDİLMESİ Doğrusal olan ve doğrusal olmayan modellerin tahmin edilmesindeki farkı görmek için şu modelleri inceleyelim.

Yukarıdaki ilk modelimiz öğrendiklerimize göre doğrusal bir regresyon modeliyken, ikinci modelimiz doğrusal olmayan bir regresyon modelidir.

Üstel regresyon modeli olarak bilinen ikinci modelimizin bağlanımı, çoğu zaman nüfus, GSYH ya da para arzı gibi değişkenlerin büyümesini ölçmekte kullanılır. Bu iki modelin katsayılarını sapmasız(sıradan) en küçük karelerle (SEK) tahmin edelim. SEK’te en küçüğe indirgediğimiz kalıntı kareleri toplamı (KKT), ilk modelimiz için şöyledir.

Burada ve her zamanki gibi β ların SEK tahmin edicileridir Burada ve her zamanki gibi β ların SEK tahmin edicileridir. Doğrusal regresyon modelindeki normal denklemlerin aksine, doğrusal olmayan regresyonun normal denklemlerinde bilinmeyenler ( ‘lar) eşitliklerin hem sol hem sağ yanlarındadır. Bu nedenle, bilinmeyenlerin bilinenler cinsinden açık çözümlerini bulamayız.

Başka türlü söylersek, bilinmeyenler, hem veriler hem kendileri cinsinden ifade edilmiştir. Dolayısıyla doğrusal olmayan regresyon modellerine en küçük kareler uygulayabiliriz ama bilinmeyenlere açık çözümler bulamayız. Bu arada, doğrusal olmayan regresyon modeline uygulanan SEK, doğrusal olmayan en küçük kareler (DOEK) adını alır.

Doğrusal Olmayan Regresyon Modellerinin Tahmini: Deneme – Yanılma Yöntemi Birazdan ele alacağımız çizelge ABD’de önde gelen bir yatırım fonunun, varlıklarını yöneten yatırım danışmanlarına ödediği yönetim ücretlerini göstermektedir. Ödenen para fonun varlık değerine bağlıdır. Çizimde de açıkça göreceğiniz gibi, fonun varlık değeri ne kadar yüksekse danışma ücreti de o kadar azdır.

Danışma Ücreti ile Varlık Değeri Varlık, milyar dolar cinsinden reel varlık değerini gösterir.

Danışma ücreti ile fon varlıkları arasındaki ilişki Varlık, milyar dolar

’deki üstel regresyon modelinin çizelgedeki verilere ne kadar uyduğunu görmek için deneme-yanılmaya başvurabiliriz. Başlangıç olarak β1=0.45, β2=0.01diyelim. Bu ön tahminler bazen geçmiş deneyime, eski çalışmalara dayanır, hatta bazen, kullanılması burada uygun olmasa da doğrusal regresyon modelinden elde edilir. Bu aşamada bu değerlerin nasıl bulunduğuna aldırmayın.

β1 ve β2 değerlerini bildiğimize göre bunları modelinde yerine yazalım: Dolayısıyla: Y, X, β1 ve β2 değerleri bilindiğine göre hata kareleri toplamını kolayca buluruz. SEK’te amacımızın hata kareleri toplamını olabildiğince düşüğe indiren katsayı değerlerini bulmak olduğunu unutmayın.

Bu da modelden tahmin edilen Y değerlerinin gerçek Y değerlerine olabildiğince yakın olması demektir. Verili değerlerle bulunur.Bunun elde edebileceğimiz en düşük hata kareleri toplamı olduğunu şurdan biliyoruz; β1 ve β2 için başka değerler, diyelim 0.50 ve -0.01 seçersek, az önceki süreci tekrarlayarak elde ederiz. Bunun daha önceki 0.3044’ten çok daha küçük olduğu açıktır.

Ama tamamen farklı bir β değerleri kümesi seçerek başka bir hata kareleri toplamı elde edebileceğimize göre, olabilecek en küçük hata kareleri toplamına eriştiğimizi nasıl bileceğiz? Görüldüğü gibi böyle bir deneme-yanılma süreci ya da yinelemeli süreç kolayca uygulayarak bilebiliriz.

Doğrusal Olmayan Regresyon Modellerinin Tahmin Edilmesine Yönelik Yaklaşımlar DOBM’ler için çeşitli yaklaşımlar ya da yordamlar vardır: 1) Doğrudan Arama ya da Deneme-Yanılma, 2) Doğrudan Eniyileme(Optimizasyon), 3) Yinelemeli Doğrusallaştırma.

1) Doğrudan Arama ya da Deneme-Yanılma yahut Türevsiz Yöntem Birincisi, DOBM çeşitli katsayılar içeriyorsa bu yöntem çok karmaşık ve zaman alıcı olabilir. Bir DOBM 5 katsayılıysa ve her biri için 25 değişik değer düşünülürse, hata kareleri toplamını kez hesaplamamız gerekir. İkincisi, bulduğunuz son katsayı değerlerinin kesinlikle en küçük hata kareleri toplamını vereceğinin garantisi yoktur. Matematik diliyle, mutlak değil yerel bir en küçük değer bulmuş olabilirsiniz.

2) Doğrudan Eniyileme (Optimizasyon) Doğrudan eniyilemede hata kareleri toplamının her bilinmeyen katsayıya göre türevleri alınır, bunlar sıfıra eşitlenir, bulunan normal denklemler eşanlı olarak çözülür. Bu normal denklemleri ile bu modellerde görmüştük. Ama anlaşıldığı gibi bu denklemler açıkça çözülemez. Yinelemeli bir yol gerekir. Böyle bir yol en hızlı düşüş yöntemidir.

3) Yinelemeli Doğrusallaştırma Yöntemi Bu yöntemde doğrusal olmayan denklem, katsayıların başlangıç değerleri dolayında doğrusallaştırılır. Doğrusallaştırılan denklem SEK ile tahmin edilip başlangıç değerleri düzeltilir. Bu düzeltilmiş değerler denklemi yeniden doğrusallaştırmada kullanılır, yine SEK tahminleri yapılarak tahmin edilen değerler yeniden düzeltilir.

Bu süreç, son yinelemelerin tahmin değerlerinde pek fark kalmayıncaya kadar sürer. Doğrusal olmayan bir denklemi doğrusallaştırmada kullanılan ana teknik matematikteki Taylor seri açınımıdır. Bu açınım kullanılarak DOBM tahmin etmek için Gauss-Newton yinelemeli yöntemi ve Newton Raphson yinelemeli yöntemi denen iki yordam vardır. Bu yöntemler bilgisayar programıyla hesaplanıp açıklanabilir.