DİFERENSİYEL DENKLEMLERİN TARİHSEL GELİŞİMİ

Diferensiyel denklemler özellikle matematikte ve mühendislikte vazgeçilmez yeri olan olan bir branştır. Diferensiyel denklemleri anlamak bir problem olduğu gibi denklemler üzerinde kestirim ve çözüm yapmak bir hayli güçtür. 18. ve 19. yy’da matematiksel analizin gelişimi bilhassa türevin ve kısmı integrasyonun bulunması diferensiyel kavramının gelişimine yol açtı. Euler ve Bernoulli bu ekolün yadsınamaz temsilcilerinden bazılarıdır. Daha çok uygulamalı matematikçilerin çalıştığı konuların başında gelse de profesyonel anlamda matematik ile uğraşan herkes diferensiyel denklemler ile haşir neşir olmuştur.

Bugün bilinen ve günlük hayatımızda işimizi kolaylaştıran makinelerin prensipleri klasik diferensiyel denklemler ile düzenlenmektedir. Diferensiyel denklemler klasik ve modern şekilde ikiye ayrılsa da bazı matematikçiler bu dönemlerin olmaması tarafında…

Mühendislik ve matematikçilerin ortak konusu olması diferensiyel denklemlerin gelişimini hızlandırdı ve yeni sorular, denklemlerin üretilmesine neden oldu. Uzay bilimlerinde dünya yörünge dışına atılan uydular ve hava araçlarının bir çoğu bu denklemlerin oluşturduğu çözümler sonucunda oluşmaktadır. 18. yy ve gelmiş geçmiş en iyi ve en üretken matematikçi olan LeonhardEuler akışkanlar mekaniğini analiz konularının parçası yaparak diferensiyel denklemler ile ilgili 100 e yakın açıklama getirmiştir.

Diferensiyel denklemler matematikte, fonksiyon veya fonksiyonların, bir veya birden çok değişkene göre türevlerini ilişkilendiren denklemlerdir. Fizik, kimya, mühendislik, biyoloji ve ekonomi alanlarında matematiksel modeller genellikle diferensiyel denklemler kullanılarak ifade edilirler. Diferensiyel denklemler temel olarak iki kola ayrılırlar: Normal diferansiyel denklemler (veya adi diferansiyel denklemler) Kısmi diferensiyel denklemler

Şimdi diferensiyel denklemlerin tarihsel gelişim süreçlerine bakalım; Diferensiyel denklemler konusunda yapılan ilk çalışmalar, 17. yüzyılın ikinci yarısında, diferansiyel ve integral hesabın keşfinden (ortaya çıkmasından) hemen sonra, İngiliz matematikçi Newton (1642- 1727) ve Alman matematikçi Leibniz (1641-1716) ile başlar.

Daha sonraları, matematik tarihinde büyük isim yapmış olan, İsviçreli matematikçilerden Bernouilli kardeşler, 18. yüzyılda da, Euler, Clairaut, Lagrance, D’Alembert, Charbit, Monge, Laplace ile 19. yüzyılda da, Chrystal, Cauchy, Jacobi, Ampere, Darboux, Picard , Fusch ve F.G. Frobenius, diferensiyel denklemler teorisini bugünki ileri seviyeye getiren matematikçilerdir.

Belli tip diferensiyel denklemlerin, belli şartlar altında bir çözümlerinin mevcut olmasının ispatı, diferensiyel denklemler teorisinde varlık teoremi konusunu teşkil etmekte olup, bu da, ilk olarak 1820 ile 1830 yılları arasında, Fransız matematikçi A.L. Cauchy tarafından tesis edilmiş ve daha sonra gelenler tarafından geliştirilmiştir.

Newton ve Diferensiyel Denklem İngiliz matematikçi Newton (1642-1727), diferensiyel denklemler üzerindeki çalışmalarına 1665 yılında başlamıştır. 1671 yılında yayınladığı bir makale ile, diferensiyel denklemleri 3 ayrı sınıfta göstermiştir. Bunlar: Birinci Sınıf Diferensiyel Denklemler: Bu sınıfa ayırdıkları, dy/dx tipinde olanlardır. Burada y, x’in bir fonksiyonudur veya bunun tersi de söz konusudur.   İkinci Sınıf Diferensiyel Denklemler: Bu sınıfa ayırdıkları, (dy/dx) = f(x,y) tipinde olanlardır. Üçüncü Sınıf Diferensiyel Denklemler: Bu sınıftaki diferensiyel denklemler ise, kısmi diferensiyel tipinde olanlardır.

Leibniz ve Diferensiyel Denklem Alman filozof ve matematikçi Leibniz (1646-1716), diferensiyel denklemler üzerine çalışmalarına 1673 yılında başlamıştır. Bu konudaki çalışmalarını, 1684 ile 1686 yılları arasında yazdığı Aklaerudilorum adında bir eseri ile ortaya koymuştur. Leibniz’in bu eseri, yayınlandığı yıllarda Almanya’da gereken ilgiyi görmemiştir. Fakat, İsviçre’de, Jaques ve Jean Bernouilli kardeşler tarafından ilgiyle incelenmiştir. 1690 yılında, Jaques Bernouilli bu konuda önemli bir eser yayınlanmıştır. Yine aynı yıllarda; Leibniz ve Bernouilli kardeşler tarafından, diferensiyel üzerinde önemli araştırmalar yapılmış, yeni çözüm yolları geliştirilmiştir. Leibniz 1691 yılında; f (x,y) = f (x.g (y)) şeklinde olan diferensiyel denklemin çözümünü yapmıştır.

Euler ve Diferensiyel Denklem Alman matematikçi Leonard Euler (1707- 1783), 1728 yılında, diferensiyel denklemler üzerinde geniş çalışmalar yapmıştır. Diferensiyel denklemlerin derecesini düşürme yöntemlerini geliştirmiştir. Seri çözümleri: (1-x4)-1/2dx + (1-y4)1/2dy = 0 şeklinde olan Abel’in teoreminin cebirsel çözümünü bulmuştur. Bu çözüm, eliptik fonksiyonlarda önemli rol oynamıştır.

Euler’in Denklemi ai ler sabit olmak üzere, denklemin genel şekli:   a0xnyn + a1xn-1yn-1 + … + an-1 xy + an = q(x) olan bu denklem, y’ye ve türevlerine göre lineerdir, fakat katsayılar değişkendir.