Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş TBF 122 - Genel Matematik II DERS – 3 : Matrislerde İşlemler, Ters Matris Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş Başkent Üniversitesi

Matrislerle ilgili temel tanımlarımızı anımsayalım. m tane satır ve n tane sütun oluşturacak biçimde dizilmiş mn tane sayının oluş-turduğu tabloya bir m  n matris denir. Bir m × n matris A genellikle aşağıdaki gibi gösterilir. veya A = [aij] , 1  i  m ; 1  j  n. A matrisini oluşturan sayılardan her birine A nın bir girdi(entry)si denir. A matrisinin mn tane girdisi m satır(row) ve n sütun(column) oluşturacak biçimde düzenlenmiştir. A matrisinin i–inci satırında ve j–inci sütununda bulunan aij girdisine A nın i-j girdisi denir. m × n ifadesine A matrisinin büyüklüğü(magnitude), m ve n sayılarına da A mat-risinin boyutları(dimensions) denir. Sadece bir satırdan oluşan bir matrise satır matrisi , sadece bir sütundan oluşan bir matrise sütun matrisi denir. Örneğin, aşağıda A bir 1×3 satır matrisi, B bir 2×1 sütun matrisidir.

Bir matrisin her bir satırı bir satır matrisi, her bir sütunu da bir sütun matrisi olarak düşünülebilir. Örneğin A = [aij] , 1  i  m ; 1  j  n matrisinin birinci satırı ikinci satırı birinci sütunu ikinci sütunu dir.

A = [aij] , 1  i  m ; 1  j  n ve B = [bij] , 1  i  r ; 1  j  s İki Matrisin Eşitliği. Büyüklükleri ve karşılıklı girdileri eşit olan matrisler birbirine eşittir. Başka bir ifade ile A = [aij] , 1  i  m ; 1  j  n ve B = [bij] , 1  i  r ; 1  j  s matrisleri için A = B  m = r , n = s ve her i = 1, ... ,m ; j = 1, .. ,n için aij = bij . İki Matrisin Toplamı. Büyüklükleri aynı olan iki matrisin karşılıklı girdileri toplanarak elde edilen aynı büyüklükteki matrise bu iki matrisin toplamı denir. Örneğin, Büyüklükleri farklı olan iki matrisin toplamı tanımsızdır. Matris toplamının birleşme ve değişme özellikleri vardır: A, B ve C , büyüklükleri aynı olan matrisler ise A +(B+C) = (A + B) + C A + B = B + A

Bir Matrisle bir Skalerin Çarpımı Bir Matrisle bir Skalerin Çarpımı. Matrislerle birlikte sayılardan söz ederken, sayı sözcüğü yerine skaler sözcüğünü kullanmak adettir. Bir matris ile bir skalerin çarpımı, matrisin her girdisinin o skalerle çarpılmasıyla elde edilen matristir. Örnek. Örnek. Aşağıdaki matris işlemlerini yapınız

Sıfır Matrisi. Her girdisi sıfır olan matrise sıfır matrisi denir Sıfır Matrisi. Her girdisi sıfır olan matrise sıfır matrisi denir. Her büyüklükten sıfır matrisi düşünülebilir. Örneğin Sıfır matrisi genellikle büyük O harfi ile gösterilir. Büyüklük vurgulanmak istenirse, Omn gösterimi kullanılır. M bir matris ve O onunla aynı büyüklükte sıfır matrisi ise M + O = O + M = M dir. Her matrisin sıfır skaleri ile çarpımı o matrisle aynı büyüklükteki sıfır matrisidir. Bir Matrisin Toplamsal Tersi. Bir M matrisinin her girdisinin işareti değiştirilerek elde edilen matrise o matrisin toplamsal tersi denir ve M nin toplamsal tersi -M ile gösterilir. Her M matrisi için M + (-M) = (-M) + M = O dır. Her M matrisi için (-1) (M) = -M dir.

İki Matrisin Farkı. A ve B aynı büyüklükte iki matris ise, A ve B nin farkı A - B = A + (-B) olarak tanımlanır. Örnekler.

Bir Satır ile bir Sütunun Çarpımı Bir Satır ile bir Sütunun Çarpımı. Aynı sayıda girdiye sahip olan bir satır ve bir sütunun çarpımı şöyle tanımlanır: Sayısal örnekler verelim:

cij= ai1b1j + ai2b2j + . . . + aipbpj , 1  i  m ; 1  j  n . İki Matrisin Çarpımı. A bir m p matris ve B bir p n matris (A nın sütun sayısı ile B nin satır sayısı aynı) ise, A ile B nin çarpımı; i-j girdisi A nın i-inci satırı ile B nin j-inci sütununun çarpımı olan m n matristir. Bu çarpım AB ile gösterilir. A = [aij] , 1  i  m ; 1  j  p ve B = [bij] , 1  i  p ; 1  j  n ise, AB = [cij] , cij= ai1b1j + ai2b2j + . . . + aipbpj , 1  i  m ; 1  j  n . Başka bir anlatımla matrisleri için cij= ai1b1j + ai2b2j + . . . + aipbpj , 1  i  m ; 1  j  n .

Örnekler. 1.1 + (-2).2 + 0.4 + 3.3= 6 6 6 0. (-2) + 1. (-1) + 7.1 + 0.2 = 6 4. (-2) + 1. 5 = -3 -3 tanımsız . . .

A (B + C) = (A B) + (A C ) , (A + B) C = (A C) + (B C) . Matris çarpımının birleşme özelliği vardır: A, B ve C aşağıdaki çarpım gerçekleşe-cek büyüklükte matrisler ise, gösterilen eşitlik geçerlidir: A (B C) = (A B) C . Matris çarpımının değişme özelliği yoktur: AB  BA olan matrisler vardır. matrisleri için olup AB  BA dır. Matris çarpımının toplama üzerinde dağılma özelliği vardır: A, B ve C aşağıdaki işlemler gerçekleşecek büyüklükte matrisler ise, gösterilen eşitlikler geçerlidir: A (B + C) = (A B) + (A C ) , (A + B) C = (A C) + (B C) .

(AT)T=A (sA)T= s AT (A+B)T= AT+BT (AB)T= BT AT Bir Matrisin Devriği(Transpozesi). Bir mn matris A verildiğinde, A nın devriği ( ya da transpozesi) denilen ve AT ile gösterilen nm matris şöyle tanımlanır: her i ve j için AT nin i-j girdisi, A nın j-i girdisidir. Bu tanımdan kolayca görülebileceği üzere, AT nin i-inci satırı A nın i-nci sütunu ve AT nin j-inci sütunu A nın j-inci satırıdır. Örnek. Özellikler. (AT)T=A (sA)T= s AT (A+B)T= AT+BT (AB)T= BT AT

Kare Matrisler. Satır sayısı sütun sayısına eşit olan bir matrise kare matris adı verilir. köşegen bir n n kare matristir. Bu matrisin a11 , a22 , . . . , ann girdilerine matrisin köşegen girdileri denir. Birim Matris. Köşegen girdilerinin her biri 1, geri kalan tüm girdileri 0 olan bir matrise birim matris adı verilir. Büyüklüğü n n olan birim matris In ile, büyüklüğün ne olduğu biliniyorsa veya büyüklüğe gönderme yapılması gerekmiyorsa, birim matris I ile gösterilir. köşegen Birim matrisin önemli bir özelliğini kaydedelim: Her m n matris A için A In = A = Im A .

Kare matrislerle ilgili önemli bir özellik de şudur Kare matrislerle ilgili önemli bir özellik de şudur. Bir indirgenmiş kare matrisin sıfır satırı yoksa, o kare matris birim matristir. Çünkü, her satırı sıfırdan farklı olan bir indirgenmiş kare matrisin her satırının soldan itibaren sıfırdan farklı ilk girdisi olan 1 o satırdaki yegane sıfırdan farklı girdidir ve indirgenmiş olma koşulu bu girdinin kare matrisin bir köşegen girdisi olmasını gerektirir. Örnek. matrisinin indirgenmiş biçimi birim matristir:

Bir Kare Matrisin Tersi Bir Kare Matrisin Tersi. A bir n n matris ve In , n n birim matris olmak üzere A (A -1 ) = (A -1 ) A = In olacak biçimde bir A -1 matrisi varsa, bu matrise A matrisinin çarpımsal tersi veya kısaca tersi denir. Bir matrisin çarpımsal tersi bulunmayabilir; ancak, varsa tektir. Örnek. matrisinin tersi var mıdır? Başka bir deyimle olacak biçimde bir var mıdır? Aşağıda görülüyor ki, böyle bir matris yoktur.

Örnek. matrisinin tersi var mıdır? Başka bir deyimle olacak biçimde bir var mıdır? Önceki örnekteki gibi ilerleyelim Bir matrisin çarpımsal tersini bulurken yukarıda olduğu gibi daima bir denklem sistemi çözmemiz gerekmez. İleride bir matrisin tersini bulmak için daha elverişli yöntemler göreceğiz. Yukarıda, A matrisinin tersini bulurken sadece A (A-1) = In eşitliğini sağlayan bir A-1 matrisi bulduğumuza dikkat etmişsinizdir. Bunun yeterli olduğu, yani A (A-1 )=In eşitliği sağlanıyorsa, (A-1) A = In eşitliğinin de sağlanacağı gösterilebilir.

Şu ana kadar matrislerle ilgili tüm işlemleri tanımlamış bulunuyoruz Şu ana kadar matrislerle ilgili tüm işlemleri tanımlamış bulunuyoruz. Daha önce, doğru-sal denklem sistemlerinin çözümünde matrisleri kullanmıştık(ilaveli matris). Şimdi doğru-sal denklem sistemleri ile matrisler arasında daha yakın bir ilişki olduğunu göreceğiz: denklem sisteminin katsayıları bir m × n matris, değişkenleri bir n × 1 sütun matrisi ve sağ taraf sabitleri de bir m × 1 sütun matrisi oluştururlar: Kolayca görülebileceği üzere, x1 , x2 , . . . , xn sayılarının yukarıdaki sistemin bir çözümü olması için gerek ve yeter koşul, bu sayıların oluşturduğu X matrisinin matris denklemini sağlamasıdır. A matrisine sistemin katsayılar matrisi denir. Sistemin ilaveli matrisinin katsayılar matrisi ile sağ taraf sabitleri matrisinin yan yana getiril-mesiyle elde edildiğine dikkât ediniz.

Denklem sayısı değişken sayısına eşit olan bir doğrusal denklem sisteminin katsayılar matrisi bir kare matristir. Böyle bir sistemin bir ve yalnız bir çözümü olması için gerek ve yeter koşul, sistemin ilaveli matrisinin indirgenmiş biçimindeki sıfırdan farklı satır sayısının sütun sayısından bir fazla olmasıdır ki, bu, sistemin katsayılar matrisinin indir-genmiş biçiminin birim matris olmasına denktir. Bu durum katsayılar matrisinin tersinin var olmasına da denktir ve çözümün bulunmasında ters matristen yaralanılabilir. Denklem sayısı değişken sayısına eşit olan bir doğrusal denklem sistemi düşünelim. Bu sisteme denk olan matris denklemi dir. Eğer A matrisinin tersi A -1 varsa, sistemin çözümü şöyle bulunur:

Denklem sayısı değişken sayısına eşit olan bir sistemin bir ve yalnız bir çözümü olması için gerek ve yeter koşul, sistemin ilaveli matrisinin indirgenmiş biçimindeki sütun sayısının sıfırdan farklı satır sayısından bir fazla olması, yani hiç sıfır satırı bulunmamasıdır ki, bu, sistemin katsayılar matrisinin indirgenmiş biçiminin birim matris olmasına denktir. Katsayılar matrisi A nın indirgenmiş biçimi I ise, ilaveli matris [A | B] nin indirgenmiş biçimi [I | C] biçimindedir ve C nin girdileri sistemin tek türlü belirli çözümünü verir. Dolayısıyla, bu durumda AC=B olur ve AX=B matris denkleminin bir ve yalnız bir çözümü vardır. Yukarıdaki gösterimlerle, AX=B matris denkleminin bir ve yalnız bir çözümü bulunsun. Eğer birim matris I nın sütunları, sırasıyla, B1, B2, . . . , Bn ile gösterilirse, AX1=B1 , AX2=B2 , . . . , AXn=Bn olacak biçimde, tek türlü belirli, X1, X2, . . . , Xn sütun matrisleri vardır. Bu sütun matrislerini, sırasıyla, birinci, ikinci, . . . , n – inci sütun alarak oluşturulan matris A nın tersi olur. Bu gözlemleri bir teorem olarak ifade edelim. Teorem. A bir nn matris ise, aşağıdakiler denktir: a) A nın tersi, A-1, vardır. b) AX=B denkleminin bir tek çözümü vardır. c) A nın indirgenmiş biçimi nn birim matris, In , dir.

matrisinin tersini bu yöntemle bulalım: Denklem sayısı değişken sayısına eşit olan doğrusal denklem sistemlerinin çözümünde ters matris kullanılabileceğini gördük. Bir kare matrisin tersi nasıl bulunur? Tersinir bir matrisin tersini bulmak için yukarıdaki gözlemlerden hareketle elde edilen pratik bir yol vardır. A tersinir bir n n kare matris ise, A nın indirgenmiş biçiminin n n birim matris, In , olacağını ve birim matrisin sütunları, sırasıyla, B1, B2, . . . , Bn ile gösterilirse, AX1=B1 , AX2=B2 , . . . , AXn=Bn olacak biçimde tek türlü belirli sütun matrisleri X1, X2, . . . , Xn bulunacağını biliyoruz. Bu sütun matrisleri, A -1 in sütunlarını oluştururlar ve bunların varlığı ve tekliği , [A | I] matrisinin indirgenmiş biçiminin [I | A-1] olduğunu gösterir. Satır işlemleri Örnek. matrisinin tersini bu yöntemle bulalım:

Örnek. matrisinin tersini bulalım: Hata yapıp yapmadığımızı görmek için A A -1 çarpı-mını hesaplayabiliriz.

Şimdi önceki örnekte bulduğumuz ters matrisi denklem sistemi çözümünde kullanalım. Tersini bulduğumuz A matrisi daha önce Gauss-Jordan yok etme yöntemi ile çözdüğümüz aşağıdaki doğrusal denklem sisteminin katsayılar matrisidir. Ç = { (1 , 1 , 5) } . Yukarıdaki biçimde denklem sistemi çözmeye ters matris yöntemi ile çözüm denir. Ters matris yöntemi ile çözüm yapılabilmesi için değişken sayısı ile denklem sayısının eşit olması ve katsayılar matrisinin tersinir olması gerektiğini unutmayınız.

Örnek. denklem sisteminin katsayılar matrisi A matrisi tersinir bir matristir ve tersi aşağıda hesaplanmıştır: Çözüm kümesi : Ç = { (-19 , 34 , 3)} .

Ters matris yöntemi ile çözüme bir örnek daha verelim. denklem sisteminin katsayılar matrisi A matrisi tersinir bir matristir ve tersi aşağıda hesaplanmıştır: İzleyen slaytta devam edelim.

Çözüm kümesi : Ç = { 1/4, 0 , 1/2 , 1/2)} .

Aşağıdaki matrislerin her birinin tersinin bulunup bulunmadığını belirleyiniz, tersi olanların tersini bulunuz. Sonucunuzu kontrol ediniz.

Ters matrisle ilgili birkaç özelliği listeleyelim: 1. In tersinir matristir ve (In )-1 = In dir. 2. Bir kare matrisin satırlarından birinin tüm girdileri sıfır ise, o matrisin tersi yoktur. 3. Bir kare matrisin satırlarından ikisi aynı ise, o matrisin tersi yoktur. 4. A ve B tersinir n n matrisler ise, A B de tersinir ve (A B)-1 =B-1A-1 dir. 5. A tersinir kare matris ise, AT de tersinir ve (AT)-1 = (A-1)T dir. 6. A tersinir kare matris ise, A-1 de tersinir ve (A-1)-1 = A dır.

Örnek. olduğuna göre A yı bulalım. A-1 in tersi A olduğundan verilen matrisin tersini bulmamız yeterlidir.