Ders II Pasif Filtreler Aktif Filtre Tasarımı Ders II Pasif Filtreler

Transfer Fonksiyonu Filtreler çalışma karakteristikleri frekansa bağımlı olan kapasitör ve indüktör gibi elemanlar kullanılarak tasarlanır. Bu elemanlar aynı zamanda üzerlerine uygulanan akım voltaj arasında 90o’lik bir faz kaymasına neden olmaktadır. Karmaşık (complex) empedanslar sırasıyla bobin için ZL=sL olurken, kapasitör için ZC=1/sC olmaktadır. Burada karmaşık frekans s=σ+jw ile verilmektedir.

Transfer Fonksiyonu s=σ+jw ifadesinde: σ=sönümleme sabiti (neper frekansı- Np/s) w=açısal frekans (rad / s) Transfer fonksiyonu, başlangıç şartları sıfır alınmak şartıyla, s-ortamında, bir dinamik sistemin giriş ve çıkışı arasındaki dinamik ilişkiyi veren denklemdir. Transfer fonksiyonu H(s) ile tanımlanabilir.

Transfer Fonksiyonu Xo elektronik bir sistemin çıkışındaki akım ya da voltajı temsil etsin. Benzer şekilde Xi de aynı sistemin girişini temsil etsin. O halde böyle bir sistemin transfer fonksiyonu: H(s)=Xo/Xi ile tanımlanır. Burada Xo(t)=L-1[H(s)Xi(s)] ile bulunabilir. L-1 (Laplace transformunu) Xi(s) ise Xi(t)’nin s domenindeki karşılığını verir.

Transfer Fonksiyonu Genelleştirilmiş transfer fonksiyonu tanımı: Burada N(s) ve D(s) m’inci ve n’inci dereceden gerçel değerlere sahip s domenindeki polinomlar olarak ifade edilmiştir. Ayrıca paydanın derecesi filtrenin derecesini belirlemektedir.

Transfer Fonksiyonu Pay ve paydanın kökleri yani N(s)=0, ve D(s)=0, sırasıyla sıfırlar ve kutuplar olarak adlandırılır ve z1,z2,…,zm ve p1,p2,…,pn ile tanımlanır. Böylece transfer fonksiyonu H(s): haline gelir. Burada Ho=am/bm (ölçeklendirme faktörü olarak adlandırılır.

Transfer Fonksiyonu Transfer fonksiyonunun kökleri aynı zamanda filtrenin kritik (köşe) frekanslarını da tanımlamaktadır. Kökler gerçel ya da karmaşık olabilir. Transfer fonksiyonunun sıfır ve kutupları karmaşık ise aynı zamanda eşleniktir (conjugate). Örnek olarak pk= σk+jwk ve pk= σk-jwk gibi.

Transfer Fonksiyonu Transfer fonksiyonunun kökleri gerçel ve sanal düzlemde noktalar halinde temsil edilirler. Gerçel katsayılar σk yatay olan gerçel düzlemde gösterilirken, karmaşık katsayılar ise wk ise yatay olan sanal (imaginer) düzlemde gösterilirler. Kökler gösterilirken sıfırlar “o” ile tanımlanırken, kutuplar ise “x” ile gösterilirler.

Transfer Fonksiyonu Örnek:Aşağıda görülen devrenin transfer fonksiyonunu elde ederek, kutup ve sıfırlarının yerlerini grafik düzlemde belirleyiniz.

Transfer Fonksiyonu Örnek: Devrede Vo=[R.Vi/(sL+1/sC+R)] ile elde edilebilir. Buradan devrenin transfer fonksiyonunu yazmak istersek: H(s)=Vo/Vi=RCs/[LCs2+RCs+1] elde edilir. Transfer fonksiyonu düzenlendiğinde: H(s)=R/L x s/[s2+(R/L)s+1/LC] haline getirilir. Böylece genelleştirilmiş ifadeye benzetilir.

H(s)=2 x 103 x s/{[s-(-1+j2) x 103] x [s-(-1-j2) x 103]} Transfer Fonksiyonu Örnek: Eleman değerleri yerine yazıldığında transfer fonksiyonu: H(s)=2 x 103 x s/{[s-(-1+j2) x 103] x [s-(-1-j2) x 103]} Yani bu devrenin transfer fonksiyonu orijinde 2 x 103 değerine sahip bir sıfıra ve -1 + j2 eşlenik karmaşık kutup değerlerine sahiptir. Diğer bir değişle pasif filtrenin köşe frekans değerleri elde edilmiştir.

Transfer Fonksiyonu ve Kararlılık Bir elektronik sistem sınırlı bir girişe karşı sınırlı bir çıkış üretiyorsa kararlı olarak adlandırılır. Bir elektronik devrenin kararlı olup olmadığını anlayabilmek için devrede herhangi bir kaynak aktif değilken, devrenin enerji depolayan elemanları bir miktar enerjilendirilir ve devrenin bu duruma karşı davranışı incelenir. Bu durumda elde edilen devre cevabı kaynak bağımsız ya da doğal devre cevabı olarak adlandırılır.

Transfer Fonksiyonu ve Kararlılık Enerji depolayan devre elemanlarının enerjilendirilmesi en basit şekliyle devreye bir darbe girişinin (impulsive input) uygulanması ile olabilir. Darbe girişinin laplace dönüşümü 1’e eşittir. Böylece H(t)=L-1[H(s)] olmaktadır. Burada dikkat çekmesi gereken nokta bu durumun transfer fonksiyonunun kutuplarınca belirlenmesidir.

Filtre Cevabı Karakteristikleri Filtre cevabı karakteristikleri Butterworth, Bessel ve Chebyshev yaklaşımları kullanılarak modellenebilmektedir. Şekilde bir alçak geçiren filtre için üç farklı yaklaşım gösterilmektedir.

Butterworth filtre Butterworth filtre passband içinde mümkün olduğu kadar düz bir frekans responsa (frekans tepkisi) sahip olabilmek için dizayn edilmiş bir Sinyal işleme filtre tipidir. Ayrıca maksimum düz magnitüd filtre olarak da tarif edilir. İlk defa 1930 yılında ingiliz mühendis ve fizikçi Stephen Butterworth tarafından "On the Theory of Filter Amplifiers“ makalesinde tarif edilmiştir. In Wireless Engineer (also called Experimental Wireless and the Wireless Engineer), vol. 7, 1930, pp. 536–541

Butterworth filtre Durdurma bandında ve geçiş bandında dalgalanma olmaz. Geçiş bandı içinde maksimum düz bir frekans tepkisine sahiptir, durdurma bandı içinde ise sıfıra doğru yaklaşır. Butterworth filtre derecesi arttığında diğer filtrelerden farklı olarak durma bandında sert düşüş dışında frekans genlik eğrisinde şeklini korur.

Butterworth filtre Butterworth filtre, Chebyshev filtrelere göre daha geniş geçiş bölgesine sahip olduğundan, durma bandı özelliklerinin doğru olarak uygulanabilmesi için yüksek derecelere ihtiyaç duyar. Chebyshev filtreye göre daha doğrusal bir frekans tepkisine sahiptir.

Chebyshev Filtre Chebyshev filtreleri bir çeşit yüksek-Q filtreleridir. Bu filtreler; söndürme bandında dik iniş istenildiğinde, geçiş bandının düz olmasının gerekli olmadığı durumlarda kullanılır. Bu filtre cevabında, geçiş bandı dalgalanmasına izin verilir. Butterworth cevabına oranla söndürme bandındaki başlangıç inişleri daha keskindir.

Chebyshev Filtre Bu karşılaştırma Şekilde eğriler n=3 derecesindeki filtreler içindir. Chebyshev filtresi, geçişbandında 3 dB’lik dalgalanma yapar. Butterworth filtresinden 10 dB kadar söndürme bandında daha fazla zayıflama yapar. Chebyshev Filtre Parametrelerinin Yapay Sinir Ağları. Kullanılarak Hesaplanması. Oğuzhan Yavuz, M. Can Bayram, Tülay Yıldırım,

Bessel Filtre Buttenworth ve Chebyshev filtreleri, daha önce gösterildiği gibi sıçrama davranışlarında önemli bir salınma göstermektedirler. Optimal kare biçimi davranışı, frekansa bağımlı olmayan gecikme zamanlı, yani frekansla orantılı faz kaymalı filtreler göstermektedir. Bessel filtresi -Thomson filtresi diye de adlandırılır.