G(s) 2b-1 Laplace Dönüşümü: Laplace dönüşümü adi diferansiyel denklemlerin çözümünde kullanılabilir. Adi diferansiyel denklem Laplace dönüşümü ile cebirsel denklemlere dönüşür. Girdisi x(t), çıktısı y(t) olan bir sistem düşünelim. G(s) x(t) y(t) G(s) sistemin transfer fonksiyonudur. Transfer fonksiyonu, İlk şartlar sıfır iken, çıktının ve girdinin Laplace dönüşümlerinin oranıdır. Bir f(t) fonksiyonunu Laplace dönüşümünü ve bir F(s) fonksiyonunun ters Laplace dönüşüm aşağıdaki integraller ile alınabilir. Laplace operatörü şöyle gösterilir:

Türevin Laplace dönüşümü aşağıdaki gibi verilir. Yüksek mertebeden türevlerde benzer şekilde alınabilir. Son değer teoremi: t sonsuza giderken, fonksiyonun düzenli rejim değeri Laplace dönüşümünün limitinden hesaplanabilir. Eksponansiyel/harmonik fonksiyonların düzeli rejim değerine ulaştığı zamandaki değerine düzenli rejim değeri olarak adlandırılır.

Impuls ve adım fonksiyonlarının Laplace dönüşümü: Zamana bağlı impulse ve adım fonksiyonlarının Laplace dönüşümü aşağıdaki tabloda verilmiştir. Birim adım fonksiyonu ani bir şekilde sıfır değerinden 1’e yükselir ve sistemde etkisi sonsuza kadar sürer. Impuls fonksiyonu Δ(s)=1 u(t):Adım fonsiyonu 1 İmpuls fonksiyonu enerjisi sınırlı bir pulstur, birim impulsun altında kalan alan değeri 1’ e eşittir. Etkisi çok kısa sürer ve bu zamandan daha sonra değeri sıfırdır.

Ters Laplace Dönüşümü: Eğer özdeğerler gerçel ise, ters Laplace dönüşümü aşağıdaki gibi verilir. ters Laplace dönüşümü Eğer özdeğerler karmaşık ise, ters Laplace dönüşümü aşağıdaki gibi verilir. ters Laplace dönüşümü

2b-2 Adım girdi cevabı: Örnek 2.4 Aşağıda kapalı sistem transfer fonksiyonu verilen bir sistemin birim adım girdi cevabını bulunuz. Örnek 2.4 r(t): Birim adım girdi Kapalı sistemin özdeğerleri: p1=-5, p1=-6 (Cevabın formu) Cevabın Laplace Dönüşümü: Kapalı sistemin zaman cevabı:

Örnek 2.5 Aşağıda kapalı sistem transfer fonksiyonu verilen bir sistemin birim adım girdi cevabını bulunuz. r(t): Birim adım girdi Kapalı sistemin özdeğerleri: p1,2=-4±5i

Aşağıda kapalı sistem transfer fonksiyonu verilen bir sistemin birim adım girdi cevabını bulunuz. Örnek 2.6 r(t): Birim adım girdi Kapalı sistemin özdeğerleri: p1,2=-3±4i, p1=-2

Örnek 2.7 r(t): Birim adım girdi c(t), cevabın formu yazılabilir. Örnek 2.3 te hesaplanan kapalı sistem transfer fonksiyonu aşağıda tekrar verilmiştir. Kapalı sistemin birim adım girdi cevabını bulunuz. Kapalı sistemin özdeğerleri: p1=-4.526, p2,3=-0.4993±2.7883i, p4=-0.4753 r(t): Birim adım girdi Basit kesirlere ayırma: Bir fonksiyonun daha basit paydalı kesirler ve polinomların toplamı şeklinde ifadesidir. Basit kesirlere ayırma işlemi ile C(s) aşağıdaki gibi yazılabilir. c(t), cevabın formu yazılabilir. bilinmeyen pay değerleridir.

basit kesitlere ayırma işlemi ile belirlenir.

veya Cevabın Laplace dönüşümünün C(s), basit kesirlere ayrılmış hali: C(s)’de her bir terimin ters Laplace dönüşümü alınarak c(t) bulunur. Im Re -0.3824 -0.7952 veya

Adım girdide A4’ün değeri son değer teoremi ile de bulunabilir. Kapalı sistemin zamana bağlı adım girdi cevabının grafiği, c(t)