Problem 06-01 Homework-06 In the control system shown above, R(s) is the reference input and C(s) is the output. Write the Matlab code to draw the Bode diagram of the open loop system for K=150 and add the command to calculate the margins. In the Matlab, the command [gm, pm, w2, w1]= margin(…) gives gm=5.66, pm=57.86, w2=14 ve w1=4.29. Find the critical gain value Kcr. Determine the gain value for which the Gain Margin (GM) is 6 dB. For this gain value, the command [gm, pm, w2, w1]= margin(…) gives gm=2, pm=23.26, w2=14, w1=9.49. Find the overshoot value approximately to a unit step reference input. What kind of controller should be added to the control system in order to obtain damping ratio 65%. In this circuit (controller), if C= 1μF, determine R1 and R2 values. For the conroller found in (e), write the Matlab code to find the step response of the control system.

Problem 06-02 Thomson (Sh. 196) a) Write the Matlab code to obtain the Bode diagram and margins for K=60. Bode diagram is given in the figure. The magnitude is -7.3 dB at 2.3 rad/s. b) Find the output of the command [gm,pm,w2,w1]=margin(…) (gm, pm, w2 and w1. ) c) Find the critical gain value (Kcr=138.24). Find it also using Routh criterion. d) Find the controller gain to obtain GM= 6.2 dB. (K=67.7 ).

ÖDEV 6 ÇÖZÜMLERİ wp wg K=150 için açık sistemin Bode diyagramını çizen ve marjinleri hesaplayan MATLAB programını yazınız. clc;clear K=150; pay=6*K; payda=[1 26 196 0]; bode(pay,payda) [gm,pm,wp,wg]=margin(pay,payda) gm=5.6622 (lineer skalada genlik marjı) pm=57.8596 (derece) w2=14 rad/s w1=4.2913 rad/s K=150 için KG(s) düzlemi K=150 için sistem kararlıdır ve K değeri sistem kararlılık sınırına gelene kadar 5.6622 kat yani 15.06 dB arttırılabilir.

ÖDEV 6 ÇÖZÜMLERİ Buna göre kritik kazanç değeri Kcr veya K=849.33 için KG(s) düzlemi

Kazanç Marjı GM=6 dB olacak şekilde K kazancını belirleyelim. ÖDEV 6 ÇÖZÜMLERİ Kazanç Marjı GM=6 dB olacak şekilde K kazancını belirleyelim. K=Kcr’de Kazanç Marjı GM=0 dB’dir. GM=6 dB olabilmesi için K değeri Kcr’den 6 dB düşük olmalıdır. Veya K=150 için GM=15.06 dB idi. GM=6 dB yeterli ise K kazancı 15.06-6 =9.06 dB daha arttırılabilir. Bu durumda PM=23.1587° GM=6 dB -6 -156.8413° K=425.67 için

K=425.67 için faz marjı PM=23.1587° dir. Buna göre sönüm oranı ÖDEV 6 ÇÖZÜMLERİ K=425.67 için kapalı sistemin adım girdiye cevabında aşma değerini yaklaşık olarak bulunuz K=425.67 için faz marjı PM=23.1587° dir. Buna göre sönüm oranı clc;clear K=425.67; pay=6*K; payda=[1 26 196 6*K]; sys=tf(pay,payda); [c,t]=step(sys); plot(t,c) overs=max(c)-c(length(c)) Aşma = %51

ÖDEV 6 ÇÖZÜMLERİ Kapalı sistemin sönüm oranını % 65 yapmak için kazanç devresine ardışık nasıl bir kontrol devresi uygulanmalıdır? Bu devrede C= 1μF ise R1 ve R2 değerlerini belirleyiniz. Sönüm oranını ξ=0.65 yapmak için faz ekle devresi kullanırız. Eklenecek faz 65°-23.16°=41.84° dir. Genlik kesim frekansı (genliğin 0 dB olduğu frekans) w1=9.49 rad/s olduğu için bu frekansta faz eklenecektir (faz marjının okunduğu frekans). Buradan 41.84º 9.49 rad/s Görüldüğü gibi Faz Ekle devresi 9.49 rad/s’de sistemin faz marjını 41.84º arttırıyor.

ÖDEV 6 ÇÖZÜMLERİ

ÖDEV 6 ÇÖZÜMLERİ -7.24 dB K=60 için KG(s) düzlemi a) K=60 için açık sistemin Bode diyagramını çizen ve marjinleri hesaplayan program. clc;clear K=60; pay=K; payda=conv(conv([1,3],[1,3]),conv([1,3],[1,1])); bode(pay,payda) [gm,pm,w2,w1]=margin(pay,payda) -7.24 dB Genlik Marjı gm=2.3040 (lineer skalada genlik marjı) pm=53.6062 (derece) w2=2.3238 rad/s w1=1.3535 rad/s Faz Marjı K=60 için KG(s) düzlemi GM=20*log10(2.3040)=7.25 dB K=60 için sistem kararlıdır ve K değeri sistem kararlılık sınırına gelene kadar 2.3040 kat yani 7.24 dB arttırılabilir.

ÖDEV 6 ÇÖZÜMLERİ Buna göre kritik kazanç değeri Kcr veya GM=0 PM=0 K=138.24 için KG(s) düzlemi

Kazanç Marjı GM=6.2 dB olacak şekilde K kazancını belirleyelim. ÖDEV 6 ÇÖZÜMLERİ K=150 için KG(s) düzlemi Kararsız K=150 için Kazanç Marjı GM=6.2 dB olacak şekilde K kazancını belirleyelim. Veya K=60 için GM=7.25 dB idi. GM=6.2 dB yeterli ise K kazancı 7.25-6.2 =1.05 dB daha arttırılabilir. Bu durumda olarak bulunabilir.

ÖRNEK FAZ EKLE-ÇIKAR Örnek: R(s) + C(s) 15 - Adım Girdi Cevabı 1.5 >>pay=[15 30]; >>payda=[4 6 7 -10]; >>bode(pay,payda) Adım Girdi Cevabı 1.5 css’e göre aşma değeri

>>bode(pay,payda) ÖRNEK FAZ EKLE-ÇIKAR Overshoot’u azaltmak için sönüm ilavesi amaçlı faz ekle devresi tasarlayalım. İlk durumda ξ≈PM/100=14.4562/100=0.1445. Sönüm oranını 0.3 yapmak için φ=30-PM=30-14.4562=15.5438 derece faz ekleyelim. Faz ekleme frekansı Faz marjininin ölçüldüğü frekansdır ω=2.1209 rad/s. >>pay=[0.6206 1]; >>payda=[0.3583 1]; >>bode(pay,payda) 15.5438º 2.1209 rad/s Görüldüğü gibi Faz Ekle devresi 2.1209 rad/s’de sistemin faz marjını 15.5438º arttırıyor.

FAZ EKLE DEVRESİ TÜREVSEL KONTROLCÜYE BENZER BİR ETKİ OLUŞTURDU. ÖRNEK FAZ EKLE-ÇIKAR 15 R(s) + C(s) - Faz Ekle 1.5 >>pay=[9.309 33.618 30]; >>payda=[1.4332 6.1498 17.8171 37.035 20]; >> step(pay,payda) Overshoot azaldı! ess =0.5 değişmedi! css’e göre aşma değeri FAZ EKLE DEVRESİ TÜREVSEL KONTROLCÜYE BENZER BİR ETKİ OLUŞTURDU.

ÖRNEK FAZ EKLE-ÇIKAR Düzenli rejim hatasını azaltabilmek amacı ile ilk sisteme faz azalt devresi ekleyelim. İlk durumda faz marjı PM=14.4562° idi. Sistemin stabilitesini bozmadan 8° faz azaltalım. -8° 2.1209 rad/s Görüldüğü gibi Faz Azalt devresi 2.1209 rad/s’de sistemin Faz marjını -8º azaltıyor.

Düzenli rejim hatası ess azaldı! Overshoot arttı! ÖRNEK FAZ EKLE-ÇIKAR 15 R(s) + C(s) - Faz Azalt clc;clear pay=[8.136 36.1215 39.699]; payda=[2.1696 7.2544 17.9328 37.6975 29.699]; syst=tf(pay,payda); [c,t]=step(syst) Düzenli rejim hatası ess azaldı! Overshoot arttı! Düzenli rejime ulaşma zamanı arttı! FAZ AZALT DEVRESİ INTEGRAL KONTROLCÜYE BENZER BİR ETKİ OLUŞTURDU. css’e göre aşma değeri FAZ EKLE VE FAZ AZALT DEVRERELERİNİN BİRLİKTE KULLANILMASIYLA İSTENİLEN ÇIKTI ELDE EDİLEBİLİR.