DİFERANSİYEL DENKLEM TAKIMLARI Örnek: Bir mekanik sistemin matematik modeli aşağıdaki diferansiyel denklem takımı ile ifade edilmektedir. Burada f girdi, x1 ve x2 ise çıktılardır. t=0’da x1=2 ve x2=-1 dir. Sistemin özdeğerlerini bulunuz. f girdisi 3 şiddetinde adım girdi ise x1(t)’yi bulunuz. f girdisi 3 şiddetinde adım girdi ise x2(t)’yi bulunuz. x1’in ilk şartlara bağlı cevabını x1(t) bulunuz. x2’nin ilk şartlara bağlı cevabını x2(t) bulunuz. [sI-A]-1 MATLAB ile nasıl bulursunuz?

DİFERANSİYEL DENKLEM TAKIMLARI Sol tarafta 1. mertebeden türevli terimler, sağ tarafta ise türevsiz terimler bulunacak şekilde diferansiyel denklem takımını düzenleyelim. Durum değişkenleri formu A B D(s)

DİFERANSİYEL DENKLEM TAKIMLARI a) Özdeğerler D(s) polinomunun kökleridir. Veya özdeğerler A matrisinin Eigenvalue’leridir. Veya GENEL ÇÖZÜM İLK ŞARTLARA BAĞLI ÇÖZÜM HOMOJEN ÇÖZÜM ZORLAMAYA BAĞLI ÇÖZÜM ÖZEL ÇÖZÜM İlk Şartlar b) Zorlamaya bağlı x1(t) clc;clear; pay=[4.5 67.5]; payda=[1 15 -280 0]; [r,p,k]=residue(pay,payda)

DİFERANSİYEL DENKLEM TAKIMLARI Pozitif kökten dolayı sistem kararsızdır. c) Zorlamaya bağlı x2(t) clc;clear; pay=[6 174]; payda=[1 15 -280 0]; [r,p,k]=residue(pay,payda) x2ö’nin Laplace Dönüşümü

DİFERANSİYEL DENKLEM TAKIMLARI d) x1’in ilk şartlara bağlı cevabını x1(t) bulunuz clc;clear; pay=[2 -25]; payda=[1 15 -280]; [r,p,k]=residue(pay,payda) e) x2’nin ilk şartlara bağlı cevabını x2(t) bulunuz clc;clear; pay=[-1 4]; payda=[1 15 -280]; [r,p,k]=residue(pay,payda) f) [sI-A]-1 MATLAB ile nasıl bulursunuz? clc;clear; syms s; i1=eye(2) A=[-20 15;12 5]; a1=inv(s*i1-A) pretty(a1)

DİFERANSİYEL DENKLEM TAKIMLARI Örnek: Bir sistemin matematik modeli aşağıda verilmiştir. Burada V(t) girdi q1(t) ve q2(t) çıktılardır. Denklemleri durum değişkenleri formunda yazınız. Sistemin özdeğerlerini MATLAB ile bulan programı yazınız. [sI-A]-1 matrisini MATLAB ile bulan programı yazınız. b ve c şıklarının bilgisayarla bulunan sonuçları aşağıda verilmiştir. 2 t (s) V2(t) t=0’da ve V(t) 2 şiddetinde adım girdidir. ‘nın ilk şartlara bağlı çözümünün Laplace transformunu bulunuz. e) q1’in girdiye bağlı çözümünün Laplace transformunu bulunuz.

DİFERANSİYEL DENKLEM TAKIMLARI a) Durum değişkenleri q1, q2 ve dur. Sol tarafta 1. mertebeden türevli terimler, sağ tarafta da türevsiz terimler olmak üzere denklme takımı düzenlenir ise A B Durum değişkenleri b) Sistemin özdeğerlerini bulan MATLAB programı A=[-1.5 1.5 0;0 0 1;3.75 -3.75 0]; eig(A) c) [sI-A]-1 bulan MATLAB programı clc;clear A=[-1.5 1.5 0;0 0 1;3.75 -3.75 0]; syms s; i1=eye(3); sia=inv(s*i1-A); pretty(sia)

DİFERANSİYEL DENKLEM TAKIMLARI

DİFERANSİYEL DENKLEM TAKIMLARI Örnek 1: Aşağıda verilen mekanik sistemin hareket denklemini durum değişkenleri formunda yazınız. Sistem üzerine etki eden kuvvet F(t)=100 u(t) olup (100 Newton genliğinde basamak girdi) t=0’da x0=0.05 m ve dx/dt=0’dır. x(t) ve v(t)’yi bulunuz. Durum değişkenleri x ve v=dx/dt dir. m=20 kg c=40 Ns/m k=5000 N/m Özdeğerler için MATLAB programı >>a=[0 1;-250 -2];eig(a)

DİFERANSİYEL DENKLEM TAKIMLARI Her iki tarafa Laplace dönüşümü uygular ve düzenler isek İlk Şartlara Bağlı Çözüm Zorlamaya Bağlı Çözüm

DİFERANSİYEL DENKLEM TAKIMLARI clc;clear; syms s; A=[0 1;-250 -2]; i1=eye(2); %2x2'lik birim matris siA=s*i1-A; x0=[0.05;0]; %Baslangic sartlari B=[0;0.05]; Fs=100/s; X=inv(siA)*x0+inv(siA)*B*Fs; pretty(X) x(t) için clc;clear; pay=[0.05 0.1 5]; payda=[1 2 250 0]; [r,p,k]=residue(pay,payda)

DİFERANSİYEL DENKLEM TAKIMLARI Düzenli rejim değeri (Son değer) Başlangıç değeri, x0

DİFERANSİYEL DENKLEM TAKIMLARI v(t) için clc;clear; pay=[-7.5]; payda=[1 2 250]; [r,p,k]=residue(pay,payda)

DİFERANSİYEL DENKLEM TAKIMLARI Örnek: Şekilde verilen iki serbestlik dereceli mekanik sistemin matematik modeli aşağıda verilmiştir. F(t) 50 Newton şiddetinde bir adım girdi ise x ve θ’nın Laplace dönüşümlerini bulunuz. R=0.2 m m=10 kg k=2000 N/m c=20 Ns/m Durum değişkenleri

DİFERANSİYEL DENKLEM TAKIMLARI clc;clear A=[0 0 1 0;0 0 0 1;-400 80 0 0;2000 -600 0 -2]; syms s; eig(A) i1=eye(4); sia=inv(s*i1-A); pretty(sia) Başlangıç şartları sıfır ise sadece zorlamaya bağlı çözüm mevcuttur. Özdeğerler : Tüm özdeğerlerin reel kısımları negatif olduğu için sistem kararlıdır.

DİFERANSİYEL DENKLEM TAKIMLARI