İleri Algoritma Analizi Ders3: Asimptotik kavramlar (devam). Matematikten gerekli bilgiler Prof. Dr. Şahin EMRAH İleri Algoritma Analizi

Introduction to Algorithms (2nd edition) by Cormen, Leiserson, Rivest & Stein Bölüm 3 : Fonksiyonların artışı Prof. Dr. Şahin EMRAH İleri Algoritma Analizi

Asimptotik kavramlarla ilgili sorular Soru: Aşağıdaki iddiayı ispatlayınız veya yanlış olduğunu gösteriniz: f(n)=O(g(n)) veya g(n)=O(f(n)) dir Çözüm: Bu önerme yanlıştır. Örneğin, f(n)=2, n tek ise f(n)=0, n çift ise g(n)=0, n tek ise g(n)= 2, n çift ise olsun. Prof. Dr. Şahin EMRAH İleri Algoritma Analizi

Çözümün devamı Bu durumda tek n ler için f(n)≤C.g(n) eşitsizliği, çift n ler için ise g(n) ≤Cf(n) eşitsizliği hiçbir C>0 için sağlanamaz.( Her iki durumda sağ taraf sıfır, sol taraf 2 olur)

Soru Soru: Aşağıdaki iddiayı ispatlayınız veya yanlış olduğunu gösteriniz: Eğer f(n)=O(g(n)) ise lg f(n)=O(lg g(n)) dir Çözüm: Bu önerme yanlıştır. Örneğin, f(n)=3(n+2)/n g(n)= 22/n olsun. Önce f(n)=O(g(n)) olduğunu gösterelim. f(n)≤C.g(n) yani 3. 32/n ≤C. 22/n Buradan da (3/2)2/n ≤C/3 olmalıdır. Her n≥2 için (3/2)2/n≤3/2 olduğundan 3/2 ≤C/3 yani C ≥9/2 seçilirse f(n)=O(g(n)) olduğu kanıtlanmış olur. Diğer taraftan, Prof. Dr. Şahin EMRAH İleri Algoritma Analizi

Çözümün devamı lgf(n)=(n+2)lg3/n≤c.2/n=c.lgg(n) olabilmesi için (n+2)lg3/2 ≤c olmalıdır ama sol taraf sonsuza gittiği için hiçbir c sabiti için bu eşitsizlik doğru olamaz

Soru Aşağıdaki bağıntıları sağlayan f(n) ve g(n) fonksiyonlarına örnek gösteriniz veya bulunamayacağını gösteriniz: a)f(n)=o(g(n)) ve f(n)≠θ(g(n) b)f(n)=θ(g(n)) ve f(n)=o(g(n)) Çözüm: a)f(n)=n ve g(n)=nlgn fonksiyonları her iki koşulu sağlar b)f(n)=θ(g(n)) olduğundan öyle c1 ve c2 pozitif sabitleri vardır ki belirli bir n0 sayısından sonraki her n için c1.g(n)≤f(n) ≤c2.g(n) eşitsizliği doğrudur. f(n)=o(g(n)) olduğundan her c>0 için öyle bir n1 sabiti vardır ki her n>n1 için f(n)<cg(n) eşitsizliği doğrudur. 0<c3<c1 koşuluna uyan bir c=c3 alalım. Bu durumda her n>max(n1,n0) için c3.g(n)<c1.g(n) ≤f(n)<c3.g(n) olmalıdır ama buradan da çelişkili c3.g(n)<c3.g(n) eşitsizliği elde edilir. Prof. Dr. Şahin EMRAH İleri Algoritma Analizi

Toplam formülleri 1+2+…n=n(n+1)/2 12+22+…n2=n(n+1)(2n+1)/6 Prof. Dr. Şahin EMRAH İleri Algoritma Analizi

Geometrik dizinin ilk n teriminin toplamı ve geometrik seri r≠1olduğunda 1+r+r2+…rn-1=(rn-1)/(r-1) Eğer |r|<1 ve n→∞ ise 1+r+r2+…=1/(1-r) Prof. Dr. Şahin EMRAH İleri Algoritma Analizi

Harmonik seri 1+1/2+1/3+…1/n toplamına harmonik toplam denir. Bu toplam n→∞ koşulunda ıraksaktır ve yaklaşık değeri ln(n) dir. Prof. Dr. Şahin EMRAH İleri Algoritma Analizi

Tümevarım yöntemi P(n) bir önerme olsun. Eğer bu önermenin A)n=1 olduğunda doğru olduğu kanıtlanabiliyorsa ve B)n=k için doğru olduğu kabul edildiğinde n=k+1 için de doğruluğu kanıtlanabiliyorsa bu önerme her n≥1 için doğru olur. Prof. Dr. Şahin EMRAH İleri Algoritma Analizi

Tümevarım yöntemi P(n) bir önerme olsun. Eğer bu önermenin A)n=m olduğunda doğru olduğu kanıtlanabiliyorsa ve B)n=k için doğru olduğu kabul edildiğinde n=k+1 için de doğruluğu kanıtlanabiliyorsa bu önerme her n≥m için doğru olur. Prof. Dr. Şahin EMRAH İleri Algoritma Analizi