Limit L i M i T 1981 yılından günümüze, bu konuyla ilgili 17 soru soruldu. Bu konu, türev ve integral konusunun temelini oluşturur. matcezir
x 3– x 3+ Limit x = 2,5 x = 2,8 x = 2,9 x = 2,99 x = 2,999 … Soldan yada Sağdan Yaklaşma x 3– x = 2,5 x = 2,8 x = 2,9 x = 2,99 x = 2,999 … x, 3 e soldan yaklaşıyor. x 3+ x = 3,5 x = 3,2 x = 3,1 x = 3,01 x = 3,001 … x, 3 e sağdan yaklaşıyor. -matcezir-
Limit Soldan yada Sağdan Yaklaşma x, 3 e yakın ancak 3 ten küçük değerlerden itibaren 3 e doğru artarak yaklaşıyorsa bunun adı x in 3 e soldan yaklaşmasıdır. Bu yaklaşım, x 3– şeklinde gösterilir. -matcezir-
Limit Soldan yada Sağdan Yaklaşma x, 3 e yakın ancak 3 ten büyük değerlerden itibaren 3 e doğru azalarak yaklaşıyorsa bunun adı x in 3 e sağdan yaklaşmasıdır. Bu yaklaşım, x 3+ şeklinde gösterilir. -matcezir-
Limit Soldan yada Sağdan Yaklaşma Genel ifadesiyle; x değişkeni a ya, a dan küçük değerlerle yaklaşıyorsa böyle yaklaşıma soldan yaklaşma denir ve xa– şeklinde gösterilir. x değişkeni a ya, a dan büyük değerlerle yaklaşıyorsa böyle yaklaşıma sağdan yaklaşma denir ve xa+ şeklinde gösterilir. -matcezir-
Limit Fonksiyonda Soldan yada Sağdan Yaklaşma f(x) = 2x – 1 fonksiyonunun tablosunu inceleyelim. Tablodan da görüldüğü gibi x, 3 e sağdan yaklaşan değerler alırken f(x) fonksiyonu 5 e doğru azalarak yaklaşmakta; x, 3 e soldan yaklaşan değerler alırken f(x) de, 5 e doğru artarak yaklaşmaktadır. -matcezir-
Limit Fonksiyonda Soldan yada Sağdan Yaklaşma -matcezir-
Limit Limit Kavramı Yanda grafiği verilen f(x) fonksiyonu için, a noktasının solunda bulunan ve giderek a ya yaklaşan; A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3), D(x4,y4) noktalarını göz önüne alalım. Bu noktaların apsisleri olan x1, x2, x3, x4 a noktasına yaklaştıkça, ordinatları olan y1, y2, y3, y4 değerleri de b ye yaklaşır. Bu durum, x a ya soldan yaklaşırken f(x) b ye yaklaşır şeklinde belirtilir. Bu durum, f(x) in x = a noktasındaki soldan limiti b dir şeklinde ifade edilir. -matcezir-
Limit Limit Kavramı Benzer şekilde; x = a noktasının sağında bulunan ve giderek a ya yaklaşan; H(x5,y5), G(x6,y6), F(x7,y7), E(x8,y8) noktalarını göz önüne alalım. Bu noktaların apsisleri olan x5, x6, x7, x8 a noktasına yaklaştıkça, ordinatları olan y5, y6, y7, y8 değerleri de c ye yaklaşır. Bu durum, x a ya sağdan yaklaşırken f(x) d ye yaklaşır şeklinde belirtilir. Bu durum, f(x) in x = a noktasındaki sağdan limiti d dir şeklinde ifade edilir. -matcezir-
Grafiği verilen f(x) fonksiyonunda gördüğümüz gibi; Limit Limit Kavramı Grafiği verilen f(x) fonksiyonunda gördüğümüz gibi; -matcezir-
Limit Limit Kavramı f(x) fonksiyonunun x = a daki soldan limiti sağdan limitine eşitse fonksiyonun x = a da limiti vardır. Bu durumda; x = a daki sağdan limiti ve soldan limiti, fonksiyonun x = a daki limitidir. f(x) fonksiyonunun x = a daki soldan limiti sağdan limitine eşit değilse fonksiyonun x = a da limiti yoktur. -matcezir-
Limit Limit Kavramı Örnek: f(x) = 5x – 1 fonksiyonunun x = 1 noktasındaki soldan ve sağdan limitlerine bakalım. Fonksiyonun tablosunu yapalım ve bulduğumuz değerleri inceleyelim.. 1 x 0,7 0,8 0,9 0,99 1 1,01 1,1 1,2 1,3 f(x) 2,5 3 3,5 3,95 4 4,05 4,5 5 5,5 -matcezir-
Limit Limit Kavramı 1 x 0,7 0,8 0,9 0,99 1 1,01 1,1 1,2 1,3 f(x) 1 x 0,7 0,8 0,9 0,99 1 1,01 1,1 1,2 1,3 f(x) 2,5 3 3,5 3,95 4 4,05 4,5 5 5,5 Tabloda gördüğümüz gibi x, 1 e soldan yani kendisinden küçük değerlerden itibaren artarak yaklaştığında fonksiyonun değeri giderek 4 e yaklaşıyor. Fonksiyonun x = 1 deki soldan limiti 4 tür. -matcezir-
Limit Limit Kavramı 1 x 0,7 0,8 0,9 0,99 1 1,01 1,1 1,2 1,3 f(x) 1 x 0,7 0,8 0,9 0,99 1 1,01 1,1 1,2 1,3 f(x) 2,5 3 3,5 3,95 4 4,05 4,5 5 5,5 Benzer şekilde x, 1 e sağdan yani kendisinden büyük değerlerden itibaren azalarak yaklaştığında fonksiyonun değeri yine giderek 4 e yaklaşıyor. Fonksiyonun x = 1 deki sağdan limiti 4 tür. -matcezir-
Limit Limit Kavramı Fonksiyonun x = 1 deki soldan limiti sağdan limitine eşit olduğundan bu noktada limit vardır ve bu limit 4 tür. Öyleyse; -matcezir-
Limit Limit Kavramı Örnek: f(x) = 3x – 3 fonksiyonunun x = 2 noktasındaki soldan ve sağdan limitlerine bakalım. Yine bir tablo yapalım. 2 x 1,7 1,8 1,9 1,99 2 2,01 2,1 2,2 2,3 f(x) 2,4 2,7 2,97 3 3,03 3,3 3,6 3,9 -matcezir-
Limit Limit Kavramı 2 x 1,7 1,8 1,9 1,99 2 2,01 2,1 2,2 2,3 f(x) 2 x 1,7 1,8 1,9 1,99 2 2,01 2,1 2,2 2,3 f(x) 2,4 2,7 2,97 3 3,03 3,3 3,6 3,9 Tabloda gördüğümüz gibi x, 2 ye soldan yani kendisinden küçük değerlerden itibaren artarak yaklaştığında fonksiyonun değeri giderek 3 e yaklaşıyor. Fonksiyonun x = 2 deki soldan limiti 3 tür. -matcezir-
Limit Limit Kavramı x in değeri 2 ye yaklaştıkça y nin değeri 3 e yaklaşıyor. -matcezir-
Limit Limit Kavramı 2 x 1,7 1,8 1,9 1,99 2 2,01 2,1 2,2 2,3 f(x) 2 x 1,7 1,8 1,9 1,99 2 2,01 2,1 2,2 2,3 f(x) 2,4 2,7 2,97 3 3,03 3,3 3,6 3,9 Benzer şekilde x, 2 ye sağdan yani kendisinden küçük değerlerden itibaren azalarak yaklaştığında fonksiyonun değeri yine 3 e yaklaşıyor. Fonksiyonun x = 3 deki sağdan limiti 3 tür. -matcezir-
Limit Limit Kavramı x in değeri 2 ye yaklaştıkça y nin değeri 3 e yaklaşıyor. -matcezir-
Limit Limit Kavramı Fonksiyonun x = 2 deki soldan limiti sağdan limitine eşit olduğundan bu noktada limit vardır ve bu limit 3 tür. Öyleyse; -matcezir-
Limit Limit Kavramı Örnek: Yanda grafiği verilen fonksiyonda, x in aldığı 2, 3, 4 değerlerinden bazıları için var olan limitlerin toplamı kaçtır? (1984 – ÖYS) -matcezir-
O halde; x=2 için limit 3 tür. Limit Kavramı x, 2 ye soldan giderken limit 3… x, 2 ye sağdan giderken limit 3… O halde; x=2 için limit 3 tür. -matcezir-
O halde; x=3 için limit yoktur. Limit Kavramı x, 3 e soldan giderken limit 2… x, 3 e sağdan giderken limit 0… O halde; x=3 için limit yoktur. -matcezir-
O halde; x=4 için limit 1 dir. Limit Kavramı x, 4 e soldan giderken limit 1… x, 4 e sağdan giderken limit 1… O halde; x=4 için limit 1 dir. Limit değerlerinin toplamı da; 3 + 1 = 4 -matcezir-
Limit Limit Kavramı Örnek: Yanda grafiği verilen fonksiyona göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? Cevap : E -matcezir-
Limit Limit Kavramı Örnek: fonksiyonunun x = 2 deki limitini araştıralım. -matcezir-
Limit Limit Kavramı 2 x 1,3 1,5 1,7 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,5 f(x) -1 2 x 1,3 1,5 1,7 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,5 f(x) -1 1 -matcezir-
Limit Limit Kavramı olduğundan -matcezir-
Sancak Production Proudly Presented. Limit Yararlanılan Kaynaklar Güvender Matematik-2 2006 Cahit KAYAER Google -matcezir-