JEODEZİK AĞLARIN İSTATİSTİK ANALİZİ (DUYARLIK VE GÜVEN ÖLÇÜTLERİ, OPTİMİZASYON) Prof. Dr. Mualla YALÇINKAYA

DUYARLIK VE GÜVEN ÖLÇÜTLERİ Duyarlık ölçütleri, jeodezik ağların kalitesini gösterir. Jeodezik ağın duyarlığı, ölçü aletlerinin hassasiyetine, ölçü planına, ağın geometrik yapısına bağlı olarak değişir. Güven ölçütleri, dengeleme modelinin geçerli olup olmadığını yada model hatası oluşup oluşmadığını denetler. Jeodezik ağın güvenirliği, ağın geometrik yapısına göre değişir.

DUYARLIK VE GÜVEN ÖLÇÜTLERİ Jeodezik ağların kuruluş amaçları için yeterli olup olmadıklarının denetlenmesi duyarlık ölçütleriyle yapılır. Ağın planlama aşamasında duyarlık yönünden zayıf, kullanım amaçları için yetersiz görünen noktalar ve bu yetersizliklerin oluştuğu doğrultular, duyarlık ölçütleriyle belirlenebilmekte, gereğinde önlemler alınabilmektedir. Kentsel teknik hizmetler ve kadastral amaçlarla yerleşme alanlarında kurulan ağlar ile ülke nirengi ağlarının kendilerinden beklenen işlevleri yerine getirebilmeleri için duyarlık yönünden homojen olmaları istenir. Buna karşın bölgesel yerkabuğu hareketlerinin araştırılması, barajlar, asma köprüler, viyadükler, tüneller ve maden ocakları gibi büyük mühendislik yapılarında ve bunların yakın çevrelerinde oluşan deformasyonları belirlemek amacıyla kurulan Jeodezik ağlarda, konuma yada doğrultuya bağlı duyarlık istekleriyle karşılaşılır.

DUYARLIK VE GÜVEN ÖLÇÜTLERİ Duyarlık ölçütleri, dengeleme hesabının geçerli bir model hipotezi ile yapıldığı varsayımına dayanarak elde edilen büyüklüklerdir. Dengeleme modelininin ölçülerle bilinmeyenler arasındaki geometrik ilişkilere uygun olup olmadığı, ölçülerin duyarlıklarını ve aralarındaki korelasyonları yeterince yansıtıp yansıtmadığı, güven ölçütleri ile denetlenmektedir.

DUYARLIK VE GÜVEN ÖLÇÜTLERİ Fonksiyonel Model Stokastik Model l + v = A x Dengeleme bilinmeyeni Düzeltmeler Koordinatların ters ağırlık matrisi Düzeltmelerin ters ağırlık matrisi

DUYARLIK ÖLÇÜTLERİ I- Lokal Duyarlık Ölçütleri II- Global Duyarlık Ölçütleri

DUYARLIK ÖLÇÜTLERİ I- Lokal Duyarlık Ölçütleri Koordinatların Ortalama Hatası Koordinat Bilinmeyenlerinin Güven Aralıkları Helmert Nokta Konum Hatası Werkmeister Nokta Konum Hatası Hata ve Güven Elipsleri Bağıl Hata ve Güven Elipsleri

I- Lokal Duyarlık Ölçütleri DUYARLIK ÖLÇÜTLERİ (Lokal) I- Lokal Duyarlık Ölçütleri

DUYARLIK ÖLÇÜTLERİ (Lokal) Koordinatların Ortalama Hatası : Koordinat bilinmeyenlerinin ortalama hatası Koordinat bilinmeyenlerinin güven aralığı Güven Aralığının Alt Sınırı Güven Aralığının Üst Sınırı

Helmert Nokta Konum Hatası DUYARLIK ÖLÇÜTLERİ (Lokal) Helmert Nokta Konum Hatası : Ters ağırlık matrisinin özdeğerler Werkmeister Nokta Konum Hatası

DUYARLIK ÖLÇÜTLERİ (Lokal) Hata Elipsi i noktasına ilişkin koordinat bilinmeyenleri vektörü bu alt vektörün ters ağırlık matrisi HELMERT Hata Elipsi elemanları: Büyük yarı eksen Küçük yarı eksen Büyük yarı eksenin doğrultusu

DUYARLIK ÖLÇÜTLERİ (Lokal) Güven Elipsi Ağ dengelemesi sonucunda hesaplanan birim ölçünün ortalama hatası ile gerçek düzeltmelerden hesaplanan varyansın oranı F dağılımındadır. Güven Elipsinin büyük yarı ekseni Güven Elipsinin küçük yarı ekseni Büyük yarı eksenin doğrultusu

Bağıl (Relatif) Hata Elipsi DUYARLIK ÖLÇÜTLERİ (Lokal) Bağıl (Relatif) Hata Elipsi Pi ve Pk noktalarının koordinat farkları d = F x Koordinat farkları vektörünün ters ağırlık matrisi

DUYARLIK ÖLÇÜTLERİ (Lokal) Bağıl Hata Elipsinin elemanları Büyük yarıeksen Küçük yarıeksen Büyük yarıeksenin doğrultusu

DUYARLIK ÖLÇÜTLERİ (Lokal) Bağıl Güven Elipsi Büyük yarıeksen Küçük yarıeksen Büyük yarıeksenin doğrultusu

II- Global Duyarlık Ölçütleri DUYARLIK ÖLÇÜTLERİ II- Global Duyarlık Ölçütleri Güven Hiperelipsoidi Hacim Kriteri Varyans Kriteri Ortalama Koordinat Hatası Özdeğer Kriteri Ana Varyans Bileşenleri Kriterium Matrisleri

DUYARLIK ÖLÇÜTLERİ (Global) Güven Hiperelipsoidi Deneysel güven hiperelipsoidinin yarıekseni

DUYARLIK ÖLÇÜTLERİ (Global) Hacim Kriteri Deneysel güven hiperelipsoidlerinin hacimleri Varyans Kriteri Ortalama Koordinat Hatası

DUYARLIK ÖLÇÜTLERİ (Global) Özdeğerler Kriteri Ağ homojen ve izotrop olması için Varyans kovaryans matrisinin özdeğerleri

Ana Varyans Bileşenleri DUYARLIK ÖLÇÜTLERİ (Global) Ana Varyans Bileşenleri Kuramsal varyans-kovaryans matrisi : özdeğerler : özvektörler Ana varyans bileşeni b1 ağın duyarlık yönünden en zayıf noktasını ve bu zayıflığın doğrultusunu gösterir. Başka bir deyişle ağda kuramsal güven hiperelipsoidinin en büyük yarı ekseninin bulunduğu noktayı ve bu zayıflığın büyüklüğünü gösterir.

DUYARLIK ÖLÇÜTLERİ (Global) Kriterium Matrisleri Cxx: Elde edilmesi istenen yapay varyans-kovaryans matrisi Kxx: Gerçekleştirilen varyans kovaryans matrisi Homojen ve izotrop ağda: Tüm noktalarda güven elipsleri homojen ve izotrop görünümde, d yarıçaplı daireler biçiminde Pi ve Pj noktaları arasında hesaplanacak bağıl güven elipsleri daire görünümünde olmalı ve yarıçapları r = c skm büyüklüğünde x ile y koordinatları arasındaki cebirsel korelasyon göz ardı edilebilecek Yapay varyans kovaryans matrisi, iki nokta için

DUYARLIK ÖLÇÜTLERİ (Global) Bu yapma varyans kovaryans matrisini (D), gerçekleştirilen varyans-kovaryans matrisi Kxx ile karşılaştırmak için datum uyumunun sağlanması gerekir. E: Birim matris G: Koordinat eksenleri yönünde iki öteleme, bir dönme ve bir ölçek parametresi ile yapılacak benzerlik dönüşümünün katsayılar matrisi Kriterium matrisi Gerçekleştirilen Varyans-Kovaryans matrisi Kxx in duyarlık isteklerini içeren yapma Varyans-Kovaryans matrisi Cxx e eşdeğer olup olmadığı

GÜVEN ÖLÇÜTLERİ Redundanz Payı İç Güven Ölçütü Dış Güven Ölçütü

GÜVEN ÖLÇÜTLERİ Redundanz Payı Fonksiyonel ve Stokastik Modelin gerçeğe uygun olup olmadığı güven ölüçütleri ile denetlenir. Güvenilir bir ağda uyuşumsuz ölçüler ortaya çıkarılabilmektedir. Redundanz Payı Jeodezik ağlarda redundanz payı önemli bir güven ölçütüdür. Herhangi bir ölçüde yapılacak hatanın yüzde kaçının, bu ölçüye ilişkin düzeltmeye yansıyacağını gösterir. Herhangi bir ölçünün redundanz payı Redundanz paylarının 1=%100’e yakın olmaları istenir. Ölçülerin redundanz payları; genellikle zorunlu hallerde OLMALI

GÜVEN ÖLÇÜTLERİ İç Güven Ölçütü İç güven ölçütü, bir ağda yapılan ölçülerden herhangi birinin diğer ölçüler yardımıyla kontrol edilebilir olmasının ölçütüdür. İç güven ölçütü, bir ölçüdeki hatanın model hipotezinin testi ile açığa çıkarılabilmesi için en az ne büyüklükte olması gerektiğini gösterir. Dış Merkezlik Parametresi İyi kontrol edilebilir ağda iç güven ölçütleri birbirine yakın ve oldukça küçük sayısal değerler almalı ve gözlemlerden hiçbirinin sınır değeri aşmamalıdır.

GÜVEN ÖLÇÜTLERİ Dış Güven Ölçütü Dış güven ölçütü Ortaya çıkarılamayan bir model hatasının koordinat bilinmeyenlerine etkisi, dengeli ölçülere etkisinden çok daha önemlidir. Dengeli bir ağdan söz edildiğinde ilk akla gelen, hemen her zaman kullanılan dengeli koordinatlar olur. Herhangi bir ölçüde yapılan hatanın koordinat bilinmeyenlerine etkisi Dış güven ölçütü Sınır Değer

GÜVEN ÖLÇÜTLERİ İyi planlanmış bir ağda: Redundanz payları İç güven ölçütü Dış güven ölçütü