MİMARLIK BÖLÜMÜ STATİK DERSİ KUVVET VEKTÖRLERİ Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

Skalerler ve Vektörler Skaler, pozitif veya negatif bir sayı ile karakterize edilen bir büyüklüktür. Kütle, hacim ve uzunluk statikte sıkça kullanılan skaler büyüklüklerdir. Vektör ise bir büyüklük ve bir doğrultuya sahip bir büyüklüktür. Statikte sık karşılaşılan vektörel büyüklükler konum, kuvvet ve momenttir. Bir vektör elle yazılırken, genellikle, gibi bir harfin üstüne ok konarak ifade edilir. Dersimizde vektörler koyu harfle gösterilecek, yani A, ‘‘A’’ vektörünü ifade edecektir. Bir vektör, grafiksel olarak büyüklük, doğrultu ve yönünü tanımlamada kullanılan bir okla gösterilir. Vektörün büyüklüğü okun uzunluğuyla ifade edilir, doğrultusu bir referans ekseni ve okun etki çizgisi arasındaki açı ile tanımlanır ve yönü ok ucuyla gösterilir. Örneğin şekilde gösterilen A vektörü 4 birim uzunluğundadır, doğrultusu yatay ile saatin tersi yönde ölçülen 20°’dir ve yönü sağa ve yukarı doğrudur. 0 noktasına vektörün başlangıcı, P noktasına ucu denir. 24.11.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

Vektörel İşlemler Bir vektörün bir skalerle çarpımı veya bölümü yine aynı vektör doğrultusunda yeni bir vektör verir. Bu vektörün şiddeti, skaler ile mevcut vektörün şiddetinin çarpımına eşittir. Aynı tipten A ve B vektörü, paralelkenar kuralı kullanılarak toplanabilir ve R = A + B ‘‘bileşke’’ vektörü elde edilir. Bunun için, A ve B vektörleri başlangıç noktalarında birleştirilir. Her bir vektörün uçlarından çizilen paralel doğrular, bir noktada kesişerek paralelkenarın bitişik kenarlarını oluşturur. Şekilde gösterildiği gibi, R bileşkesi, A ve B’nin başlangıcından doğruların kesişim noktasına uzanan paralelkenarın köşegenidir. 24.11.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

Paralelkenar Kuralı B’yi A’ya, paralelkenar kuralının özel bir hali olan üçgen oluşturmayı kullanarak ta ekleyebiliriz. B vektörü ‘‘uç-başlangıç’’ usulü ile, yani A’nın ucu B’nin başlangıcına bağlanmak suretiyle A vektörüne eklenir. R bileşkesi A’nın başlangıcından B’nin ucuna uzanır. Benzer şekilde, R, A B’ye eklenerek de elde edilebilir. Sonuç olarak vektör toplamının değişme özelliğine sahip olduğu görülmektedir. Yani, R = A + B = B + A’dır. Üçgen Kuralı 24.11.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

Aynı tipten A ve B vektörleri arasındaki fark bileşke vektörü, R = A –B = A + (-B) olarak tanımlanır. Fark, toplamın bir özel hali olarak tanımlanmıştır. Paralelkenar Kuralı Üçgen Kuralı Bir vektör, paralelkenar kuralı kullanılarak etki çizgileri bilinen iki ‘‘bileşen’’e ayrılabilir. Şekildeki R vektörünü a ve b doğruları boyunca etkiyen bileşenlere ayırmak için R’nin ucundan başlayarak, b’yi kesinceye kadar a’ya paralel bir doğru çizilir. Bunun gibi, R’nin ucundan, a ile kesişinceye kadar b’ye paralel bir doğru çizilir. Daha sonra A ve B bileşeni R’nin başlangıcından kesişim noktalarına uzatılarak çizilir. 24.11.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

Kuvvetlerin Vektörel Toplamı Deneysel gözlemler, bir kuvvetin vektörel bir büyüklük olduğunu göstermiştir. Çünkü kuvvetler, belli bir büyüklük, doğrultu ve yöne sahiptir ve paralelkenar kuralına göre toplanır. Statikteki iki genel problem, bileşenlerden bileşke kuvveti bulmayı veya bilinen bir kuvveti iki bileşene ayırmayı içerir. İkiden fazla kuvvet toplanacaksa, bileşke kuvveti bulmak için paralelkenar kuralı arka arkaya uygulanabilir. 24.11.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

Soru Çözümlerinde İzlenecek Yol İki kuvvetin toplanmasını gerektiren ve en fazla iki bilinmeyen içeren problemler aşağıdaki iki yöntemle çözümlenebilir: Paralelkenar Kuralı Paralelkenar kuralını kullanarak vektör toplamını gösteren bir şekil çiziniz. Mümkün oluyorsa, problemin geometrisinden paralelkenarın iç açılarını belirleyiniz. Bu açıların toplamının 360° olduğunu unutmayınız. Bileşenlerin üçgensel uç-başlangıç toplamını görselleştirmek için oluşturulan paralelkenarın yarısını yeniden çiziniz. Trigonometri Trigonometri kullanılarak, üçgen üzerindeki verilerden iki bilinmeyen belirlenebilir. Üçgen 90°’lik bir açı içermiyorsa, çözüm için sinüs ve/veya kosinüs kanunu kullanılabilir. 24.11.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

Sinüs Kanunu 𝐴 sin 𝑎 = 𝐵 sin 𝑏 = 𝐶 sin 𝑐 Kosinüs Kanunu 𝐶= 𝐴 2 + 𝐵 2 −2𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠 𝑐 24.11.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

ÖRNEK SORU Yandaki şekilde V1 ve V2 vektörleri gösterilmektedir. Buna göre; Bu vektörlerin toplam vektörü olan S vektörünün şiddetini, S vektörü ile pozitif x-ekseni arasındaki açı değerini bulunuz. a) 𝑺= 3 2 + 4 2 −2.3.4.𝑐𝑜𝑠105° 𝑺=5.59 birim b) Sinüs kanunu kullanılarak sin 105° 5.59 = sin (α+30) 4 α+30=43.72° ⟹ α=13.72° 24.11.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

ÖRNEK SORU Şekildeki kanca F1 ve F2 kuvvetlerine maruzdur. Bileşke kuvvetin büyüklüğünü ve doğrultusunu bulunuz. 24.11.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

Fr kosinüs kanunu kullanılarak bulunur. 𝑭 𝒓 = 100 2 + 150 2 −2.100.150.𝑐𝑜𝑠115° 𝑭 𝒓 =212.6 𝑁=213 𝑁 θ açısı, Fr ’nin hesaplanan değeri kullanılarak, sinüs kanununun uygulanmasıyla bulunur. 150 sin θ = 213 sin 115° θ=39.66° Buna göre, Fr ’nin yataydan ölçülen ϕ doğrultusu aşağıdaki gibi bulunur. ϕ=39.66°+15°=54.66° 24.11.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

ÖRNEK SORU Şekilde gösterilen pim üzerine etkiyen 200 N’luk kuvveti, x ve y, x' ve y doğrultularındaki bileşenlerine ayırınız. 24.11.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

a) 𝐹 𝑥 =200. cos 40° =153 𝑁 𝐹 𝑦 =200. sin 40° =129 𝑁 b) Paralelkenar Kuralı Üçgen Kuralı b) Paralelkenar Kuralı Üçgen Kuralı 24.11.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

𝐹 𝑥′ sin 50° = 200 sin 60° ⟹ 𝐹 𝑥′ = 177 N 𝐹 𝑦 sin 70° = 200 sin 60° ⟹ 𝐹 𝑦 = 217 N 24.11.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

Kartezyen Vektör Gösterimi Bir kuvvetin bileşenlerini kartezyen birim vektörler cinsinden ifade etmek de mümkündür. İki boyutluda x ve y eksenlerinin doğrultularını belirtmek için sırasıyla i ve j kartezyen birim vektörleri kullanılır. Şekilde gösterildiği gibi F’nin (pozitif) Fx ve Fy skalerleriyle ifade edilen bileşenlerinin büyüklüğü daima pozitiftir. F = Fxi + Fyj 24.11.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

Düzlemsel Kuvvetlerin Bileşkeleri F' = Fx'i + Fy'(-j) veya F' = Fx'i - Fy'j Düzlemsel Kuvvetlerin Bileşkeleri Üç veya daha çok vektörün bileşkesi için, R = P + Q + S şeklinde yazılabilir. Her vektör dik bileşenlerine ayrılıp, toplanırsa; şeklinde yazılabilir. 24.11.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

Bileşkenin büyüklüğü ve yönü aşağıdaki formüller yardımıyla bulunur: Bileşkenin skaler bileşenleri verilen kuvvetlerin karşılıklı skaler bileşenlerinin toplamına eşittir. Bileşkenin büyüklüğü ve yönü aşağıdaki formüller yardımıyla bulunur: 24.11.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

ÖRNEK SORU Şekildeki halkaya F1 ve F2 kuvvetleri uygulanmaktadır. Bileşke kuvvetin büyüklüğünü ve doğrultusunu belirleyiniz. Skaler Çözüm: 24.11.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

Vektörel Çözüm: 24.11.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

? Şekildeki halkaya FA ve FB kuvvetleri uygulanmaktadır. Bileşke kuvvetin büyüklüğünü ve doğrultusunu vektörel olarak belirleyiniz. FR = FA + FB FA = -FAx - FAy FB = FBx - FBy FAx = -6Cos60 = -3 N FAy = -6Sin60 = -5,2 N FA = (-3i - 5,2j) N FBx = 2Cos45 = 1,414 N FBy = -2Sin45 = -1,414 N FB = (1,414i – 1,414j) N FRx = ΣFX FRx = -3 + 1,414 N = -1,6 N FRy = ΣFy FRy = -5,2 - 1,414 N = -6,6 N 24.11.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

𝑭 𝑹 = (−1,6) 2 + (−6,6) 2 =6,79 𝑁 24.11.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

- Bir Vektörün Dik Bileşenleri Kartezyen Vektörler Koordinat sistemi, sağ el kuralına göre belirlenir. Bir kartezyen koordinat sisteminde sağ elin parmakları pozitif z ekseni etrafında bükülüp, pozitif x ekseninden pozitif y eksenine yöneldiğinde, sağ elin baş parmağı pozitif z eksenini gösteriyorsa, söz konusu koordinat sistemine sağ el koordinat sistemi denir. - Bir Vektörün Dik Bileşenleri Bir A vektörünün x, y, z koordinat eksenlerine göre yönelimine bağlı olarak, bu eksenler üzerinde bir, iki veya üç dik bileşeni olabilir. Ancak, A x, y, z sisteminin bir sekizliğinde yer aldığında şekilde olduğu gibi paralelkenar kuralını iki kez art arda uygulayarak vektörü A = A' + Az ve sonra A' = Ax + Ay şeklinde bileşenlere ayırabiliriz. Bu denklemler birleştirilerek A, üç dik bileşenin vektörel toplamı olarak gösterilir. 24.11.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

A = Ax + Ay + Az - Birim Vektör Genel olarak birim vektör büyüklüğü 1 olan vektördür. A, büyüklüğü A ≠ 0 olan vektörse, A ile aynı yönlü birim vektör 𝒖 𝑨 = 𝐀 𝐴 şeklinde gösterilir. Bu denklemi yeniden düzenlediğimizde, A = AuA olur. 24.11.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

- Kartezyen Birim Vektörler A (pozitif bir skaler), A’nın büyüklüğünü tanımlar ve uA (boyutsuz bir vektör) A’nın doğrultusunu ve yönünü tanımlar. - Kartezyen Birim Vektörler Üç boyutlu uzayda i, j, k kartezyen birim vektörleri sırasıyla x, y, z eksenlerinin doğrultusunu göstermek için kullanılır. Bu vektörlerin yönleri (veya uçları) pozitif veya negatif x, y, z eksenleri boyunca yönelmelerine bağlı olarak artı ve eksi işareti ile analitik olarak tanımlanacaktır. Pozitif birim vektörler şekilde gösterilmiştir. 24.11.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

i x doğrultusundaki birim vektör j y doğrultusundaki birim vektör k z doğrultusundaki birim vektör - Kartezyen Vektör Gösterimi Kartezyen birim vektörler kullanılarak üç vektör bileşeni kartezyen vektör formunda yazılabilir. Bileşenler pozitif i, j ve k yönünde etkidiğinden, A = Axi + Ayj+ Azk olur. 24.11.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

- Kartezyen Vektörün Büyüklüğü Kartezyen vektör formunda ifade edilen bir A vektörünün büyüklüğünü elde etmek her zaman mümkündür. Şekildeki renkli dik üçgenden A = 𝐴 ′2 + 𝐴 𝑧 2 ve koyu dik üçgenden A' = 𝐴 𝑥 2 + 𝐴 𝑦 2 olduğu görülür. Bu denklemler birleştirilerek A = 𝐴 𝑥 2 + 𝐴 𝑦 2 + 𝐴 𝑧 2 elde edilir. 24.11.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

- Kartezyen Vektörün Doğrultusu A vektörünün yönelimi, A’nın başlangıç noktası ve bu noktada yer alan pozitif x, y, z eksenleri arasında ölçülen α, β ve γ koordinat doğrultu açıları ile tanımlanır. Bu açıların her birinin, A’nın doğrultusundan bağımsız olarak 0° ile 180° arasında olacağına dikkat ediniz. 24.11.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

24.11.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

𝒖 𝑨 = 𝐀 𝐴 = 𝑨𝒙 𝐴 𝐢+ 𝑨𝒚 𝐴 𝐣+ 𝑨𝒛 𝐴 𝐤 α, β ve γ’yı belirlemek için, A’nın x, y, z eksenleri üzerindeki izdüşümlerini ele alalım. Her bir şekildeki renkli dik üçgene bakarak, cos α = 𝐴𝑥 𝐴 cos β = 𝐴𝑦 𝐴 cos γ = 𝐴𝑧 𝐴 yazabiliriz. Bu sayılar A’nın doğrultu kosinüsleri olarak bilinir. Doğrultusu ve yönü A vektörü ile aynı olan birim vektör uA, 𝒖 𝑨 = 𝐀 𝐴 = 𝑨𝒙 𝐴 𝐢+ 𝑨𝒚 𝐴 𝐣+ 𝑨𝒛 𝐴 𝐤 olur. uA’nın i, j ve k bileşenleri A’nın doğrultu kosinüslerini gösterir, yani 𝒖 𝑨 =cos α𝐢 + cos β𝐣 + cos γ𝐤 dir. Bir vektörün büyüklüğü, bileşenlerinin büyüklüklerinin karelerinin toplamının pozitif kare köküne eşit ve uA’nın büyüklüğü 1 olduğundan, 24.11.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

= A cos α𝐢+𝐴cos β𝐣+Acos γ𝐤 = Axi + Ayj+ Azk cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1 elde edilir. Sonuç olarak, A’nın büyüklüğü ve koordinat doğrultu açıları verildiğinde A kartezyen vektör formunda 𝐀=𝐴𝒖 𝑨 = A cos α𝐢+𝐴cos β𝐣+Acos γ𝐤 = Axi + Ayj+ Azk şeklinde ifade edilebilir. Kartezyen Vektörlerde Toplama ve Çıkarma A = Axi + Ayj+ Azk ve B = Bxi + Byj+ Bzk olmak üzere, R bileşke vektörü, A ve B’nin i, j, k bileşenlerinin skaler toplamlarından oluşan bileşenlere sahiptir, yani R = A + B = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j + (Az + Bz)k dir. Toplamanın özel bir hali olan vektörlerde çıkarma, A veya B’nin karşılıklı i, j ve k bileşenleri arasında çıkartma yapılmasını gerektirir. Yani, R' = A - B = (Ax - Bx)i + (Ay - By)j + (Az - Bz)k 24.11.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

- Aynı Noktadan Geçen Kuvvet Sistemleri Yukarıda verilen vektörel toplama kavramı genelleştirilebilir ve çok sayıdaki aynı bir noktadan geçen kuvvetin oluşturduğu bir sisteme uygulanabilir. Bu durumda bileşke kuvvet, sistemdeki tüm kuvvetlerin vektörel toplamıdır. 24.11.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

ÖRNEK SORU Şekildeki halkaya etkiyen bileşke kuvvetin büyüklüğünü ve koordinat doğrultu açılarını belirleyiniz. α, β ve γ koordinat doğrultu açıları, FR doğrultusunda etkiyen birim vektörün bileşenlerinden belirlenir. 24.11.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

β ˃ 90° olduğuna dikkat ediniz, çünkü uFR’nin j bileşeni negatiftir. 24.11.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

? Şekildeki kancaya iki kuvvet etkimektedir. F2’nin koordinat doğrultu açılarını, FR bileşke kuvveti pozitif y ekseni boyunca etkiyecek ve büyüklüğü 800 N olacak şekilde belirleyiniz. 24.11.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

24.11.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

24.11.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

24.11.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

şeklinde ifade edilebilir. Konum Vektörleri Uzaydaki noktaların konumu, x, y, z eksenleri boyunca peş peşe yapılan ölçümlerle, koordinatların O orijinine göre belirlenir. Örneğin A noktasının koordinatları, O’dan başlayıp, x ekseni boyunca xA = +4 m, y ekseni boyunca yA = +2 m, z ekseni boyunca zA = -6 m ölçülerek elde edilir. Buradan A(4, 2, -6) yazılır. Benzer şekilde B’nin koordinatları B(0, 2, 0) yazılır. Ayrıca, C(6, -1, 4) olarak yazılır. r konum vektörü, bir noktanın uzaydaki konumunu diğer bir noktaya göre belirleyen sabit bir vektördür. Örneğin, r, koordinatların O orijininden P(x, y, z) noktasına uzanıyorsa, r kartezyen vektör formunda, 𝐫 = xi + yj + zk şeklinde ifade edilebilir. 24.11.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

O orijininden başlayıp, +i yönünde x kadar, sonra +j yönünde y kadar ve en son +k yönünde z kadar gidildiğinde P(x, y, z) noktasına ulaşılır. Daha genel bir halde, konum vektörü uzaydaki A noktasından B noktasına yönelebilir. Yandaki şekilde görüldüğü gibi, bu vektörde r sembolü ile gösterilmektedir. Şekilden, vektörlerin uç uca eklenmesiyle, 𝐫A + r = rB yazılır. 24.11.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

𝐫 = rB – rA = (xBi + yBj + zBk) – (xAi + yAj + zAk) veya 𝐫 = (xB – xA)i + (yB – yA)j + (zB – zA)k elde edilir. 24.11.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

ÖRNEK SORU Şekilde gösterildiği gibi, A ve B noktalarına elastik bir bant tutturulmuştur. Bantın uzunluğunu ve A’dan B’ye ölçülen doğrultusunu belirleyiniz. Önce, A’dan B’ye giden bir konum vektörü oluşturulmalı. A(1, 0, -3) şeklindeki başlangıç noktası koordinatları, B(-2, 2, 3) şeklindeki uç koordinatlarından çıkartılarak bulunur. 24.11.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

24.11.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

F = Fu = F( 𝐫 𝑟 ) Bir Doğru Boyunca Yönelen Kuvvet Vektörü Üç boyutlu statik problemlerinde bir kuvvetin doğrultusu, çoğu zaman, etki çizgisinin geçtiği iki nokta ile belirlenir. AB kablosu boyunca yönelen şekildeki F kuvveti buna örnektir. F’yi, kablo üzerinde A noktasından B noktasına yönelen r konum vektörü ile aynı doğrultu ve yöne sahip olduğundan F’yi bir kartezyen vektör şeklinde formüle edebiliriz. Ortak doğrultu, u = r/r birim vektörü ile belirlenir. F = Fu = F( 𝐫 𝑟 ) 24.11.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

Soru Çözümlerinde İzlenecek Yol F, A noktasından B noktasına uzanan bir doğru boyunca etkiyorsa, aşağıdaki şekilde kartezyen vektör formunda ifade edilebilir: Konum Vektörü A’dan B’ye yönelen konum r vektörü belirlenir ve r büyüklüğü hesaplanır. Birim Vektör Hem r hem de F’nin doğrultusu ve yönünü tanımlayan u = r/r birim vektörü belirlenir. Kuvvet Vektörü F büyüklüğü ve u doğrultusu birleştirilerek, yani F = Fu yazılarak, F belirlenir. 24.11.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

ÖRNEK SORU Şekilde gösterilen adam, ipi 70 N’luk bir kuvvetle çekmektedir. A mesnedine etkiyen bu kuvveti kartezyen vektör şeklinde ifade ediniz ve doğrultusunu belirleyiniz. Konum Vektörü A(0, 0, 7.5) ve B(3, -2, 1.5)’dir. Birim Vektör Kuvvet Vektörü 24.11.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

24.11.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

? Kablolar, şekilde gösterildiği gibi, A’daki halkaya FAB = 100 N ve FAC = 120 N kuvvetleri uygulamaktadır. A’da etkiyen bileşke kuvvetin büyüklüğünü hesaplayınız. 24.11.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

24.11.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ