YATIRIM ve FİNANS TEORİSİ VII. BÖLÜM: Sermaye Varlıklarını Fiyatlama Modeli (CAPM) VIII. BÖLÜM: Faktör Modelleri Prof. Dr. Sudi APAK

VII. BÖLÜM: Sermaye Varlıklarını Fiyatlama Modeli (CAPM) Sermaye Varlıklarını Fiyatlama Modeli (CAPM) ‘nin Tanımı ve Varsayımları Pazar Portföyü Beta Katsayısı Menkul Değer Piyasa Doğrusu (MKPD) Pazar Modeli Çeşitlendirme Piyasa Modeli ve CAPM

1. Sermaye Varlıklarını Fiyatlama Modeli (CAPM) ‘nin Tanımı ve Varsayımları CAPM yatırım yapmayı planladığımız menkul değerin sahip oluğu riske uygun bir getiri verip vermediğini araştırmakta, hatta henüz pazarda işlem yapmaya başlamamış bir varlığın vermesi gereken getiriyi açıklayan teorik bir çerçeve sağlamaktadır. 1.1. Modelin Varsayımları Yatırımcılar portföylerini bir dönemlik beklenen getiriler ve standart sapmalara bakarak değerlendirirler. Yatırımcılar daima daha yüksek getiri beklerler. Beklenen getirileri hariç her şeyi aynı olan iki portföyden, yüksek beklenen getirili olanı seçerler. Yatırımcılar riskten kaçarlar. Standart sapmaları hariç her şeyi aynı olan iki portföyden düşük standart sapmalı olanı seçerler. Bireysel varlıklar sonsuz bölünebilir, yani eğer yatırımcı çok isterse bir payın küçük bir yüzdesini bile satın alabilir.

Yatırımcının hem ödünç verebileceği hem de borç alabileceği bir risksiz oran vardır. Vergiler ve işlem maliyetleri konu dışıdır. Bu kabullere aşağıdaki kabuller eklenmiştir: Bütün yatırımcıların aynı ve bir dönemlik yatırım ufukları vardır. Risksiz oran bütün yatırımcılar için aynıdır. Bilgi bütün yatırımcılar için serbest ve anında ulaşılabilir şekildedir. Yatırımcıların beklentileri homojendir yani, menkul kıymetlerin beklenen getirilerini, standart sapmalarını ve kovaryanslarını anlama yetenekleri aynıdır.

= Pazar portföyünün toplam riski rp = Portföyün beklenen getirisi rf = Risksiz oran = Portföyün toplam riski rm = Pazar portföyünün beklenen getirisi

2.1. Bireysel Menkul Kıymetler ve Pazar Portföyü Bu formül şu şekilde de ifade edilebilir: 2. Pazar Portföyü: Pazardaki tüm riskli menkul kıymetleri içeren portföydür. 2.1. Bireysel Menkul Kıymetler ve Pazar Portföyü Markowitz modelinde portföy riski bir kovaryans matriksi hazırlanarak hesaplanmaktadır. Bir hisse senedini etkisi tüm menkul kıymetlerle ayrı ayrı kovaryans ilişkisine dayanmaktadır. Bir hisse senedinin pazar portföyüne katkısını en iyi bir şekilde, bu hisse senedi ile pazar portföyünün kovaryansı ile ölçülebilir. Riskin Ödülü (Riskin Pazar Fiyatı): Her bir birim portföy riskine karşılık olarak ne kadar getiri elde edilmesi gerektiğini gösteren risk primidir.

Varsayalım ki, tüm parasını pazar portföyüne yatırmış olan bir yatırımcı,çok küçük ( ) bir tutar parayı risksiz faiz oranından borçlanarak pazar portföyüne yatırım yapsın. Bu portföy üç tür menkul kıymetten oluşmaktadır. Yatırımcının önceki pozisyonunda yatırım yaptığı pazar portföyü (rm) Risksiz menkul kıymet yatırımındaki kısa pozisyon ( ) Yeni yatırım yaptığı pazar portföyü ( rm). Bu portföyün getirisi şu şekilde ifade edilecektir: rm+ (rm-rf) Bu ifadeden hareketle ek yatırımın marjinal beklenen getirisini de aşağıdaki gibi ifade etmek mümkün olacaktır:

Yeni oluşan portföyün varyansını hesaplamak da mümkündür: Buna göre bu portföyün varyansı şöyle olacaktır: Marjinal risk primi veya riskin marjinal fiyatı şu oran ile ifade edilecektir:

Bir portföyün betası bireysel menkul kıymetlerin betalarının ağırlıklı ortalamasıdır: Pazar portföyünün beklenen getirisi aşağıdaki gibi olacaktır: Pazar portföyünün betasının değeri birdir,çünkü Cov(m,m) daima bir değerini alacaktır. 3. Beta Katsayısı: Bir menkul kıymetin getirisinin pazar portföyünün getirisi ile olan ilişkisini gösteren kavramdır.

4. Menkul Değer Piyasa Doğrusu (MKPD) Beta = Hisse senedinin getirileri ile pazar portföyünün getirileri arasındaki kovaryans / Pazar getirisinin varyansı = 0,5 j hisse senedi pazar portföyünün yarısı kadar hareketlidir = 1 j hisse senedi pazar portföyü kadar hareketlidir = 2.0 j hisse senedi pazar portföyünden iki kat daha fazla hareketlidir. 4. Menkul Değer Piyasa Doğrusu (MKPD) Sharpe tarafından geliştirilen Menkul Değer Piyasa Doğrusu modelinde etkin bir pazarda menkul kıymetlerin beklenen getirileri ile betaları arasındaki ilişkiler incelenmiş ve böylece her menkul değerin betası hesaplanabildiğinden, değerlendirmeye menkul kıymetler de dahil edilmiştir.

Mükemmel bir şekilde çeşitlendirilmiş portföylerde ve olduğundan, toplam risk sistematik riske eşittir. Sermaye Piyasası Doğrusu’nun eşitliği şöyledir: Sermaye Piyasası Doğrusu’ndaki hisse senedi standart sapmasını şeklinde yazabiliriz: Korelasyon katsayısı , olduğundan ve olduğundan olacaktır.

5. Pazar Modeli: Bir hisse senedinin pazar endeksi ile olan ilişkisi tek faktörlü bir model olan pazar modeli ile gösterilmektedir. Pazar modeli ile bir hisse senedinin beklenen getirileri ile pazar endeksinin beklenen getirileri arasında matematiksel bir ilişkiyi vermektedir.

ri =Hisse senedinin belli bir süredeki getirisi rE=Endeksin aynı süredeki getirisi = Kesim değeri =Eğim terimi (Beta katsayısı) = Hata terimi(endeks getirisi tarafından açıklanamayan) Eğim terimi olan betanın pozitif olduğu varsayılırsa, bu denkleme göre; pazar endeksinin getirisi arttıkça , senedin getirisi de artacaktır. Pazar modelindeki eğim terimi beta olarak tanımlanır: Pazar modeline göre, varyansı olan bir j hissesinin toplam riski iki bölümden oluşur: Pazar riski (sistematik risk) Unique (Firma Riski) (sistematik olmayan risk). Buna göre;

6.1. Portföy Toplam Riski = pazar endeksinin getirisinin varyansı = j hissesinin pazar riski = j hissesinin firma riski 6.1. Portföy Toplam Riski Pazar modeline göre, bir portföyün toplam riskini hesaplamak önce bu portföyün getirisi şu şekilde hesaplanmaktadır; Bu denklem ile pazar portföyünü birleştirdiğimizde şu ifadeyi elde ederiz:

Eğer; olarak tanımlanırsa; olacaktır. Portföyün toplam riski aşağıdaki şekilde hesaplanmaktadır: 6.2. Portföyün Pazar Riski Çeşitlendirmenin artması ile portföyün betasının değişmesi, yani pazar riski söz konusu değildir. Buna göre; çeşitlendirme firma riskinin ortadan kalkmasına neden olurken pazar riskini etkilemeyecektir. Bir portföy ne kadar çeşitlendirilirse, o portföyün unique riski, dolayısıyla da toplam riski o kadar azalacaktır.

7. Piyasa Modeli ve CAPM Piyasa modeli ile CAPM arasındaki belirgin farklar aşağıdaki gibidir; Piyasa modeli bir faktör modelidir; faktörün, piyasa endeksi olduğu tek faktörlü bir modeldir. CAPM’nin aksine piyasa modeli, menkul kıymetlerin fiyatlarının nasıl belirlendiğini açıklayan bir denge modeli değildir. Piyasa modeli İMKB 100 ve S&P 500 gibi bir piyasa endeksi kullanır; oysa CAPM piyasa portföyünü kapsar.

VIII. BÖLÜM: Faktör Modelleri Faktör Modelinin Tanımı Tek-Faktör Modelleri İki veya Çok Faktörlü Modeller Çok Faktörlü Modellerle Yapılan Uygulamalar

1. Faktör Modelinin Tanımı Faktör Modelleri menkul kıymetlerin getirilerini bir veya daha çok bağımsız değişkene dayanarak açıklamaya yarayan ekonometrik modellerdir. 2. Tek-Faktör Modelleri Tek Faktörlü Modeller menkul kıymetlerin getirilerini tek bir faktöre bağlı olarak açıklamaya çalışan ekonometrik modellerdir. F, t periyodunda faktörün tahmin edilen değeri ve bi de i tahvilinin bu faktöre duyarlılığıdır. Eğer tahmin edilen faktör sıfırsa, tahvildeki getiri ai+eit ‘e eşit olacaktır. Tek faktör modeline göre, menkul kıymetlerin beklenen getirisi şöyle ifade edilmektedir; = Faktörün beklenen değeri

Tek endeksli modellerin varyans ve korelasyonlarının hesaplanmasının dayandığı varsayımlar aşağıdaki gibidir; Hata terimi ve faktörün aralarında hiçbir ilişki yoktur. Bu, faktörün sonucunun hata teriminin sonucuna dayalı olmadığı anlamına gelmektedir. İki ayrı menkul kıymetin hata terimlerinin aralarında hiç bir ilişki yoktur.Bu varsayımla, bir menkul kıymetin hata teriminin sonucunun, herhangi başka bir menkul kıymetin hata teriminin sonucuna dayanmadığı anlamına gelir. Menkul kıymetlerin riski (varyansı) ise aşağıdaki şekilde ifade edilmektedir; = F faktörünün varyansı =Hata teriminin varyansı Tek endeksli faktör modeline göre, iki ayrı menkul kıymet arasındaki korelasyon şöyle ifade edilmektedir;

Faktör Modellerinin Yararları Yukarıdaki ifadede b katsayıları faktör duyarlılıklarını vermektedir. Faktör Duyarlılık Katsayısı; faktördeki yüzde birlik değişimin menkul kıymetlerin getirilerinde yüzde kaç değişime neden olduğunu gösteren katsayıdır. Faktör Modellerinin Yararları Faktör modellerinin Markowitz modeline göre en önemli özelliği basit olmalarıdır. Tek faktörlü modelin diğer bir yararı da çeşitleme yapmaya olanak sağlamalıdır. Tek- faktör modelde, portföyün varyansı aşağıdaki şekilde hesaplanmaktadır; Bu eşitliğin sağındaki kısmın birinci terimi portföyün faktör riskini açıklamaktadır. Faktör riski; menkul kıymetin getirilerindeki değişimin faktördeki değişim tarafından açıklanan kısmıdır. İkinci kısım, faktörden kaynaklanmayan riski vermektedir.

3. İki veya Çok Faktörlü Modeller Faktörden kaynaklanmayan risk; menkul kıymetin getirilerindeki değişimin faktördeki değişim tarafından açıklanamayan kısımdır. 3. İki veya Çok Faktörlü Modeller İki Faktörlü Model: Menkul kıymetlerin getirilerini iki faktöre bağlı olarak açıklamaya çalışan ekonometrik modellerdir. Bu modelin genel ifadesi şöyledir; F1t ve F2t menkul kıymetin birinci ve ikinci faktöre olan duyarlılığını ayrı ayrı göstermektedir. Diğer katsayılar ise sabit terimle hata terimidir. İki faktörlü modellerde, menkul kıymetlerin beklenen getirileri aşağıdaki şekilde hesaplanmaktadır; = Faktörün beklenen değeri

İki Faktörlü Model, Optimal Portföy ve Çeşitleme İki faktör modelde menkul kıymetlerin riski (varyansı) ise aşağıdaki şekilde ifade edilmektedir; İki endeksli faktör modeline göre, iki ayrı menkul kıymet arasındaki korelasyon şöyle ifade edilmektedir; İki Faktörlü Model, Optimal Portföy ve Çeşitleme Çeşitleme konusunda yararlar iki faktörlü modeller kullanılarak elde edilmektedir. Bunlar; Çeşitlilik, faktör riskin ortalama bir değer olmasına yol açmaktadır. Çeşitlilik, faktörden kaynaklanmayan riski azaltır. İyi çeşitlenmiş portföylerde, faktörden kaynaklanmayan risk çok düşüktür.

rit = ai +bi1.F1t + bi2.F2t +eit Portföyü oluşturan menkul kıymetlerin ağırlıklarını Wi ile gösterirsek, portföyün getirisi şöyle olacaktır; rit değişkeni aşağıdaki gibi ifade edilebilir; rit = ai +bi1.F1t + bi2.F2t +eit Daha sonra ilk denklemdeki rit değişkeninin yerine bu ifade kullanılabilir;

4. Çok Faktörlü Modellerle Yapılan Uygulamalar Çoklu Faktör Modelleri: Menkul kıymetlerin getirilerini ikiden fazla faktöre bağlı olarak açıklamaya çalışan ekonometrik modeldir. Eğer k faktör varsa, çoklu faktör modeli şöyle yazılabilir; rit = ai + bi1.F1t + bi2.F2t +……..+ bik.Fkt + eit Herbir menkul kıymetin her bir menkul kıymete göre duyarlılığı vardır. Bu duyarlılıklar bi katsayısı ile gösterilmiştir. 4. Çok Faktörlü Modellerle Yapılan Uygulamalar Yatırım analizlerine yönelik uygulamalı çalışmalarda çeşitli türlerde faktör analizleri yapılmaktadır. Bu tür analizler üç bölümde incelenebilir; Zaman Serileri Analizleri: Belirli bir dönem boyunca menkul kıymetlerin getirisi ile önceden belirlenen bazı faktörler arasında anlamlı ilişkiler saptayan bir kantitatif yöntemdir. rit – rft = ai + bi1 (rMt – rft) + bi2.SMBt + bi3 .HMLt + eit

Faktör Modelleri ile Varlık Fiyatlama Modelleri Arasındaki İlişkiler Kesitsel Analizler: Belli bir zaman aralığında faktörlerin değeri, menkul kıymetlerin getirisine ve faktörlere duyarlılıklarına dayanarak tahmin edildikten sonra, değeri menkul kıymetler için çeşitli zaman aralığında uygulanan ekonometrik yöntemdir. Faktör Analitik Yaklaşımı: Faktör analizi birbirleri ile ilişkili veri yapılarını birbirlerinden bağımsız ve daha az sayıda yeni veri yapılarına dönüştürmek, bir oluşumu, nedeni açıkladıkları varsayılan değişkenleri gruplayarak ortak faktörleri ortaya koymak, bir oluşumu etkileyen değişkenleri gruplamak, major ve minor faktörleri tanımlamak amacıyla başvurulan bir yöntemdir. Faktör Analizi’nin iki temel amacı vardır; Değişken sayısını azaltmak Değişkenler arasındaki ilişkilerden yararlanarak bazı yeni yapılar ortaya çıkartmak. Faktör Modelleri ile Varlık Fiyatlama Modelleri Arasındaki İlişkiler İki model arasındaki ilişkileri görmek için, faktörü pazarın beklenen getiri oranı olan bir faktör modeli olduğunu varsayın;

Diğer taraftan CAPM eşitliği şu şekilde ifade edilebilir; Bu bir-faktör model ve CAPM’in parametreleri arasında şöyle ilişkiler olması gerekecektir. Bu ifade eğer beklenen getiriler CAPM’e göre belirlenmiş, gerçek getiriler de bir-faktör modeline göre bulunursa ai ve bi’nin sırasıyla ve ‘e eşit olacağı anlamına gelecektir.