MİMARLIK BÖLÜMÜ STATİK DERSİ KUVVET SİSTEMİ BİLEŞKELERİ Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

A ve B vektörlerinin vektörel çarpımı, C = A x B şeklinde yazılan ve ‘‘C eşittir A vektörel çarpım B’’ diye okunan bir C vektörü verir. C’nin büyüklüğü, A ve B’nin büyüklükleri ile bunlar arasındaki θ açısının (0°≤ θ ≤ 180°) sinüsünün çarpımı olarak tanımlanır. Buna göre, C = ABsinθ olarak yazılır. C vektörünün doğrultusu, A ve B’yi içeren düzleme diktir. Yönü sağ el kuralıyla belirlenir. Şekilde gösterildiği gibi, sağ elin parmakları A’dan B’ye doğru kıvrıldığında, baş parmak C’nin yönünü işaret eder. 17.09.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

C’nin doğrultusunu ve yönünü biliyorsak, C = A x B =(ABsinθ)uc yazabiliriz. Burada, ABsinθ C’nin büyüklüğünü, uc birim vektörün doğrultusunu tanımlar. İşlem Kuralları 1. Değişme özelliği yoktur. 2. Skaler ile çarpım: 3. Dağılma özelliği vardır. 17.09.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

Kartezyen Vektör Gösterimi C = A x B =(ABsinθ)uc denklemi, kartezyen birim vektör çiftlerinin vektörel çarpımlarını bulmada kullanılabilir. i x j vektörünün büyüklüğü (i)(j)(sin90°) = (1)(1)(1) = 1 olup, doğrultusu sağ el kuralıyla belirlenir. Şekilde gösterildiği gibi vektör +k yönündedir. Buna göre, i x j = (1)k’dır. 17.09.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

dir. Vektörel çarpım işlemleri yapılır ve terimler düzenlenirse, Kartezyen vektör şeklinde ifade edilen genel A ve B vektörlerinin vektörel çarpımı, dir. Vektörel çarpım işlemleri yapılır ve terimler düzenlenirse, elde edilir. Bu denklem, determinant kullanılarak şeklinde de yazılabilir. 17.09.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

17.09.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

Bir Kuvvetin Momenti – Skaler Gösterim Bir kuvvetin bir noktaya veya bir eksene göre momenti, kuvvetin bir cismi bu nokta veya eksen etrafında döndürme eğiliminin bir ölçüsüdür. Fx kuvveti boruyu z ekseni etrafında döndürme eğilimindedir. Bu dönme eğilimine tork da denilir fakat genellikle buna bir kuvvetin momenti veya kısaca (Mo)z momenti denir. 17.09.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

İngiliz anahtarına Fz kuvveti uygulanırsa bu kuvvet boruyu z ekseni etrafında döndürmez, onu x ekseni etrafında döndürme eğilimindedir. Gerçekte boruyu bu şekilde döndürmesi mümkün olmadığı halde, yine de Fz döndürme eğilimi yaratır, dolayısıyla (Mo)x momenti üretilir. 17.09.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

Mo momenti vektörel bir büyüklüktür, çünkü belirli bir büyüklük ve doğrultuya sahiptir. Mo’nun büyüklüğü Mo = Fd’dir. Buradaki d, moment kolu veya O noktasındaki eksenden kuvvetin etki çizgisine dik uzaklık olarak adlandırılır. Moment büyüklüğünün birimi kuvvet çarpı uzaklıktan oluşur. (N.m) Mo’nun doğrultusu sağ el kuralı kullanılarak belirlenir. Bunun için, sağ elin parmakları, kuvvet O noktası etrafında dönme sağlayabildiğinde ortaya çıkan dönme yönünü izleyecek şekilde kıvrılır. Bu takdirde, baş parmak F ve d’yi içeren taralı düzleme dik ve yukarı doğru olan moment vektörünün doğrultu ve yönünü veren moment eksenini işaret eder. 17.09.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

Düzlemsel Kuvvet Sisteminin Bileşke Momenti Şekildeki gibi bir kuvvet sistemi x-y düzleminde yer alırsa, her bir kuvvetin O’ya göre momenti z ekseni yönünde olacaktır. Bundan dolayı, sistemin MRo momenti, bütün kuvvetlerin momentlerinin cebirsel toplamı alınarak belirlenebilir, çünkü bütün moment vektörleri aynı doğrultudadır. Bu vektörü sembolik olarak, şeklinde yazabiliriz. Burada, denklemin yanındaki saatin tersi yönündeki yay, skaler işaret uylaşımıyla, herhangi bir kuvvetin momentinin, z ekseni yönündeyse pozitif, -z ekseni yönündeyse negatif olacağını göstermek amacıyla kullanılmıştır. 17.09.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

ÖRNEK SORU 800 N’luk kuvvetin A, B, C ve D noktalarına göre momentlerini belirleyiniz 17.09.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

ÖRNEK SORU Şekildeki çizimlerle gösterilen her bir durum için uygulanan kuvvetin O noktasına göre momentini bulunuz. 17.09.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

17.09.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

ÖRNEK SORU Şekilde gösterilen çubuk üzerine etkiyen dört kuvvetin O noktasına göre bileşke momentini belirleyiniz. 17.09.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

Bir Kuvvetin Momenti – Vektörel Gösterim Bir F kuvvetinin O noktasına veya O’dan geçen ve O ve F’yi içeren düzleme dik eksene göre momenti, vektörel çarpım ile belirlenebilir. Burada r, O’dan F’nin etki çizgisi üzerinde yer alan herhangi bir noktaya çizilen konum vektörünü gösterir. Yukarıdaki vektörel çarpımın büyüklüğü Mo = rFsinθ olarak bulunur. Buradaki θ, r ve F vektörleri arasındaki açıdır. Moment kolu d = rsinθ olduğundan, olur. 17.09.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

Kuvvetin Taşınabilirliği Mo’nun doğrultu ve yönü vektörel çarpıma uygulandığı şekliyle sağ el kuralı ile belirlenir. Buna göre, r’yi kesikli çizgili konuma uzatır ve sağ el parmaklarını r’den F’ye doğru kıvırırsak, ‘‘r çarpı F’’ başparmak yukarıya ya da r ve F’yi içeren düzleme dik yönlenir. Kuvvetin Taşınabilirliği F, kayan vektör özelliğine sahiptir ve bu nedenle etki çizgisi üzerindeki herhangi bir noktaya etkiyebilir ve O noktasına göre yine aynı momenti üretir. 17.09.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

Kartezyen Vektör Formülasyonu x, y, z koordinat eksenlerini oluşturursak, r konum vektörünü ve F kuvvetini kartezyen vektörler olarak ifade edebiliriz. Burada; rx, ry, rz O noktasından kuvvetin etki çizgisi üzerindeki herhangi bir noktaya çizilen konum vektörünün x, y, z bileşenlerini, Fx, Fy, Fz kuvvet vektörünün x, y, z bileşenlerini göstermektedir. Determinantı açarsak, sonucunu elde ederiz. 17.09.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

Kuvvet Sisteminin Bileşke Momenti Bir kuvvet sisteminin O noktasına göre bileşke momenti, yukarıdaki denklemin ardışık uygulanması sonucu oluşan vektörlerin toplamı ile belirlenebilir. Bu bileşke, sembolik olarak şeklinde yazılabilir. 17.09.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

ÖRNEK SORU Şekildeki direk C’den B’ye yönelmiş 60 N’luk kuvvete maruzdur. Bu kuvvetin A’daki mesnede göre ürettiği momentin büyüklüğünü belirleyiniz. Konum Vektörleri 17.09.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

Kuvvet Vektörü Moment Vektörü 17.09.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

17.09.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

ÖRNEK SORU Şekilde gösterilen çubuk üzerine üç kuvvet etki etmektedir. Bu kuvvetlerin O’daki flanşa göre ürettikleri bileşke momenti ve moment ekseninin doğrultusunu belirleyiniz. Flanş, iki makine veya tesisat elemanının sızdırmaz şekilde birleştirilmesine yarayan genelde standart olarak üretilen bir konstrüksiyon elemanıdır. Konum Vektörleri 17.09.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

Kuvvet Vektörleri Moment Vektörü 17.09.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

17.09.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

Doğrultu Kosinüsleri 17.09.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

Momentler İlkesi (Varignon Teoremi) İlk olarak Fransız matematikçi Varignon tarafından geliştirildiğinden Varignon teoremi olarak da anılan momentler ilkesi, bir kuvvetin bir noktaya göre momentinin, bu kuvvetin bileşenlerinin bu noktaya göre momentlerinin toplamına eşit olduğunu ifade eder. 17.09.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

ÖRNEK SORU Şekilde gösterilen dirsek üzerine 200 N’luk bir kuvvet etki etmektedir. Kuvvetin A noktasına göre momentini belirleyiniz. 200 N’luk kuvvet, x ve y bileşenlerine ayrılabilir. Momentler ilkesine göre, F’nin A noktasına göre hesaplanan momenti, iki kuvvet bileşeni tarafından üretilen momentlerin toplamına denktir. 17.09.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

17.09.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

ÖRNEK SORU F kuvveti şekildeki desteğin köşesinde etki etmektedir. Kuvvetin O noktasına göre momentini belirleyiniz. Skaler Analiz 17.09.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

Vektörel Analiz 17.09.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ