TAM SAYILAR

İÇİNDEKİLER TAM SAYILARDA ÇARPMA İŞLEMİ TAM SAYILARDA TOPLAMA İŞLEMİ TAM SAYILARDA ÇIKARMA İŞLEMİ TAM SAYILARDA BÖLME İŞLEMİ

Günlük yaşantımızda bazı kavramları ifade etmek için doğal sayılar yeterli değildir. Sıfırdan küçük sayılara da ihtiyaç vardır. 1. termometrede sıcaklık sıfırın altında 10 C (ya da – 10 C) 2.termometrede sıcaklık sıfırın üstünde 20 C (ya da – 20 C) dir.

Sıfırın altındaki sıcaklıkların önüne (-), sıfırın üstündeki sıcaklıkların önüne (+) işareti konulur. Sıfırdan büyük olan tam sayılara pozitif tam sayılar denir ve Z+ ile gösterilir. Z+ = {+1, +2, +3, ……} Sıfırdan küçük olan tam sayılara negatif tam sayılar denir ve Z– ile gösterilir. Z– = {…….., -3, -2, -1} Not : Tam sayılara aynı zamanda yönlü sayılar da denir. Bir yön pozitif (+) olduğunda, bu yönün tersi negatif (-) olur.

ÖRNEK : Bir ailenin aylık geliri 1000 TL -> +1000 TL Bir ailenin aylık gideri 700 TL -> -700 TL Bir malın satışından elde edilen 80 TL kar -> +80 TL Bir malın satışından edilen 35 TL zarar -> -35 TL Deniz seviyesinin 40 m altı -> -40m Deniz  seviyesinin 20 m üstü +20m

Not : Sıfırın işareti yoktur. Yani “0” ne negatif ne de pozitiftir. O halde tam sayıları tanımlayacak olursak; Negatif tam sayılar, “0” ve pozitif tam sayıların oluşturduğu kümeye tam sayılar kümesi denir ve Z ile gösterilir. Z = Z– ∪ {0} ∪ Z+ Z 0 {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} Her tam sayıya, sayı doğrusu üzerinde bir nokta karşılık gelir ve bu noktaya o tam sayının görüntüsü denir. Sıfır sayısının görüntüsü olan “0” noktası da başlangıç veya referans noktası denir

Tam Sayılarda Toplama İşlemi 1.Pullarla Toplama İşlemi

Örnek : Ardahan’da hava sıcaklığı -5 C dir. Hava sıcaklığı 4 C azalırsa son durumda Ardahan’da sıcaklığın kaç derece olacağını bulalım. Çözüm: Ardahan’da hava sıcaklığı -9 C olur. Örnek : Sayma pullarıyla modellenen işlemin matematik cümlesini bulalım. Çözüm : İşlemin matematik cümlesi, (+4) +(-3) = +1 olur.

Sayı Doğrusunda Toplama İşlemi Sayı doğrusunda toplama işlemi yapılırken eklenen sayı pozitif ise sayı doğrusu üzerinde sağa doğru, negatif ise sola doğru gidilir. Örnek:  (+5) + (-7) matematik cümlesinin sonucunu sayı doğrusunda bulalım. Çözüm : (+5) + (-7) = -2 bulunur.   Toplanan tam sayılar pozitif ise bu sayıların mutlak değerleri toplanır ve elde edilen sonucun sonuna “+” işareti konur. Yani pozitif tam sayıların toplamının sonucu pozitiftir. Örnek : (+7) + (+1) + (+12) işlemini sonucu kaçtır? Çözüm : |+7| = 7, |+1| = 1, |+12| = 12 ise (+7) + (+1) + (+12) = 7 + 1 + 12 = +20 dir. Toplanan tam sayılar negatif ise bu sayıların mutlak değerleri toplanır ve elde edilen sonucun soluna “-“ işareti konur. Yani negatif tam sayıların toplamının sonucu negatiftir.

Bir Tam Sayının Toplama İşlemine Göre Tersi Mutlak değerleri birbirine eşit zıt işaretli iki tam sayıya toplama işlemine göre birbirinin tersi denir. O halde pozitif tam sayıların toplama işlemine göre tersi negatif, negatif tam sayıların toplama işlemine göre tersi pozitiftir. Sıfırın toplama işlemine göre tersi sıfırdır.

Tam Sayılarda Çıkarma İşlemi Pullarla Çıkarma İşlemi Olduğunu öğrenmiştik.

Örnek : (-5) – (-8) işleminin sonucunu sayma pullarıyla modelleyelim. Çözüm : -5’ten -8 çıkarabilmemiz için 3 tane daha (-) pula ihtiyacımız olduğundan 3 tane sıfır çifti ekleyelim. 8 tane (-) pulu çıkardığımızda; 3 tane (+) pulu kalır. O halde, (-5) – (-8) = +3 olur.

Örnek : Yukarıda sayma pullarıyla modellenen işlemin matematik cümlesini bulalım. Çözüm : 4 tane (+) pulun yanına 3 tane sıfır çifti getirilerek 7 tane (+) pul çıkarılarak geriye 3 tane (-) pul kalmıştır. O halde işlemin matematik cümlesi; (+4) – (+7) = -3 olur.

Tam sayılarla Çıkarma İşlemi A (eksilen) – B (çıkan) = C (fark) A + (+3) = (+7) işleminde A tam sayısı, A = (+7) – (+3) A = +4 olarak bulunur. A ve b birer tam sayı olmak üzere, (+a) – (+b) = (+a) + (-b) (+a) – (-b) = (+a) + (+b)olur.

Örnek : (+42) – (+27) = (+42) + (-27) = +15

Tam Sayılarda Çarpma İşlemi Tam Sayılar çarpılırken önce işaretler çarpılır, sonra sayıların mutlak değeri çarpılır. Aynı işaretli iki sayının çarpımı (+) Ters işaretli iki sayının çarpımı (-) dir. Çarpma işlemi “x” işareti ile gösterildiği gibi “.” işareti ile de gösterilir. Örnek : (+5) . (+4) = +20 Örnek : (-5) . (-4) = +20 Örnek : (+5)  . (-4) = -20 Örnek : (-4) . (+5) = -20

a tam sayısını n kere kendisi ile çarpma işlemi: a. a. a. a. a. a a tam sayısını n kere kendisi ile çarpma işlemi: a.a.a.a....a.a.a = an şeklinde gösterilir. 5∗5∗5=5 3 (3 tane 5'in yan yana çarpılması, 5 üssü 3 veya 5'in 3. kuvveti diye okunur.) ( −7)∗(−7)∗(−7)∗(−7)=(−7) 4 (4 tane −7'nin tekrarlı çarpımı, −7 üssü 4 veya −7'nin 4. kuvveti diye okunur.) NOT: Bir sayının 2. kuvvetine o sayının karesi, 3. kuvvetine ise o sayının küpü denir.

POZİTİF SAYILARIN KUVVETLERİ P ozitif bir sayının bütün kuvvetleri pozitiftir. 7 2 = 49 3 4  = 81 SIFIRIN POZİTİF KUVVETLERİ Sıfırın pozitif kuvvetleri 0'a eşittir. 0 1  = 0 0 2  = 0.0 = 0 0 25  = 0 1'İN KUVVETLERİ 1'in bütün kuvvetleri 1'dir. 1 1  = 1 1 32  = 1 

NEGATİF SAYILARIN KUVVETLERİ Negatif bir sayının çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir. −2 2  = (−2).(−2) = + 4 (üssü çift sayı olduğu için cevap pozitiftir) −2 3  = (−2).(−2).(−2) = −8 (üssü tek sayı olduğu için cevap negatiftir) BİR SAYININ SIFIRINCI KUVVETİ Sıfırdan farklı bir sayının sıfırıncı üssü 1'e eşittir. 2 0 = 1 (−5) 0  = 1

NEGATİF SAYILARIN ÜSLERİNDE PARANTEZİN ÖNEMİ Negatif bir sayının üssü alınırken en çok karşımıza çıkan veya çıkacak sorun da parantezdir. Şimdi parantez içindeki ve parantez olmadan iki sayının üssünü bir örnekle inceleyelim. −2 4 ve (−2) 4 farkı görelim −2 4 demek 2'yi 4 kere çarp başına (−) koy ile aynı şeydir. −2 4 = − 2.2.2.2 = −16 (−2) 4 ise −2'yi 4 kere çarp demektir. (−2) 4 = (−2).(−2).(−2).(−2) = +16 Görüldüğü gibi ilki −16'ya ikincisi +16'ya eşittir. Buna dikkat etmeliyiz.

10'UN KUVVETLERİ 10 0 = 1 10 1 = 10 10 2 = 100 10 3 = 1000 ...  Yukarıda da görüldüğü gibi 10'un üzerindeki doğal sayı kaç ise 1'in yanına o kadar 0 koyarız. 10 25 = 1000....000 (1'in yanına 25 tane 0 yazarız) −1'İN KUVVETLERİ −1'in tek kuvvetleri −1, çift kuvvetleri +1'dir. (−1) 1453 = −1 (−1) 2016  = +1

Tam sayıların kendileri ile tekrarlı çarpımını üslü nicelikdir 3∗3∗3∗3∗3∗3=3 5 4∗4∗4=4 3 −6∗−6∗−6=−6 3

Çarpma İşleminin Özellikleri 1.Kapalılık Özelliği İki tam sayının çarpımı yine bir tam sayıdır. Tam sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır. Örnek : (-2) ∈ Z ve (+3) ∈ Z iken (-2).(+3) = (-6) ∈ Z dir. 2.Değişme Özelliği İki tam sayı çarpılırken çarpanların yerleri değiştirilirse, çarpım değişmez. Örnek : (+3).(-4) = (-4).(+3) (-12) = (-12) değişme özelliği vardır.

3.Birleşme Özelliği Tam sayılar kümesinde çarpma işleminin birleşme özelliği vardır. Bu nedenle ikiden fazla tam sayı birbiri ile çarpılırken çarpma işlemine istediğimiz sayıdan başlayabiliriz. Çarpım değişmez. Örnek : [(-3).(+2)](-5) = (-3).[(+2).(-5)] (-6).(-5) = (-3).(-10) (+30) = (+30) dur. Birleşme özelliği vardır.   4.Etkisiz Eleman (+1) çarpma işleminin etkisiz (birim) elemanıdır. Bu nedenle bir tam sayı (+1) ile çarpıldığında, sonuç aynı tam sayıdır. A ∈ Z iken a.(+1) = (+1).a = a dır. Örnek : (-5).(+1) = (-5) tir.

5.Yutan Eleman Sıfırın herhangi bir sayı ile çarpımı sıfırdır. Sıfır, çarpma işlemine göre yutan elemandır. A ∈ Z iken a.0 = 0.a = 0 dır. Örnek : (-5).0 = 0 dır.   6.Ters Eleman İki sayının çarpımı, çarpmanın etkisiz elemanı (+1) i veriyorsa, bu iki sayı çarpma işlemine göre birbirinin  tersidir. (+1)(+1) = (+1) dir. (-1)(-1) = (+1) dir. (+1) ve (-1) in dışında diğer tam sayıların çarpma işlemine göre ters elemanı yoktur.

7.Çarpmanın Toplama ve Çıkarma Üzerine Dağılma Özelliği A ∈ Z, b ∈ Z, c ∈ Z ise , a . (b+c) = (a.b) + (a.c) dir. 1.(b-c) = (a.b) – (a.c) dir.   Örnek : (+2). [(-3) + (-4)] = [(+2).(-3)] + [(+2).(-4)] (+2).(-7) = (-6) + (-8) (-14) = (-14) tür.

Tam Sayılarda Bölme İşlemi Tam sayılar bölünürken, önce işaretler bölünür. Daha sonra sayıların mutlak değerleri bölünür. Aynı işaretli iki sayının bölümü pozitif, farklı işaretli iki sayının bölümü negatiftir. Örnek : (+15) : (+3) = (+5) ya da (+15) / (+3) = (+5) Örnek : (-24) : (-8) = (+3) ya da (-24) / (-8) = (+3)

Bölme İşleminin Özellikleri Tam sayılar kümesinde bölme işleminin kapalılık, değişme, birleşme özellikleri ile etkisiz elemanı yoktur. Bir tam sayının 1 e bölümü, sayının kendisine eşittir. A : (+1) = a Örnek : (-8) : (+1) = (-8) dir. Sıfırın, sıfırdan farklı bir tam sayıya bölümü sıfırdır. 0/3 = 0   0:8 = 0

Sıfırdan farklı bir sayının sıfıra bölümü tanımsızdır. A : 0 = a/0 = Tanımsız Pozitif iki sayı arasında bölme işlemi yapılırken, parantez olmadan da bölme işlemi yapılabilr. (+4) : ( +2) = 4 : 2 gibi. Negatif sayılar paranteze alınarak yazılmalıdır. (-4) : (-2) gibi

KAZANIMLAR 7. SINIF KAZANIMLARI 7.1. Sayılar ve İşlemler 7.1.1. Tam Sayılarla Çarpma ve Bölme İşlemleri 7.1.1.1. Tam sayılarla çarpma ve bölme işlemlerini yapar. • Bir sayıyı -1 ile çarpmanın veya bölmenin sayının işaretini değiştirdiği vurgulanır. Tam sayılarla çarpma ve bölme işleminin anlamlandırılmasına yönelik uygun modellerle yapılacak çalışmalara yer verilir. 7.1.1.2. Tam sayılarla işlemler yapmayı gerektiren problemleri çözer. 7.1.1.3. Tam sayıların kendileri ile tekrarlı çarpımını üslü nicelik olarak ifade eder. • Kuvvetin tek veya çift doğal sayı olması durumları incele

KAYNAKÇA http://testleri.gen.tr/7-sinif-matematik-tam-sayilar-konu-anlatimi.aspx

BENİ DİNLEDİĞİNİZ İÇİN TEŞEKÜR EDERİM. İREM YATKIN 140403077 2/A

GÜNLÜK Bu ödevi yaparken kazanımlardan yola çıkarak bu konuyu seçtim. Konuyla ilgili gerekli araştırma yaparak konuyu öğrencilere slayt yoluyla sundum. Slaytdı yaparken öğrencilerin dikkatlerinin tamamen konuda olabilmesi için slaytta geçişler, köprüler ve renklendirmeler yaptım. Yaparken bazı aşamalarında zorlandım. Öğretim materyali olarak slaytla öğrencilerin dikkatini daha iyi toplayabileceğimizi ve daha kolay anlaşılabilir olabileceğini düşünüyorum. İrem YATKIN 140403077 2/A