Parçacık Kinematiği Bu uçaklardan her biri esasen çok daha büyük olmalarına rağmen, onların hareketleri belli bir mesafeden, her bir uçak sanki bir partikülmüş gibi analiz edilebilir.

1 2 . 2 Doğrusal Kinematik: Sürekli Hareket Dinamik konusu iki bölümde sunulacaktır: Hareketin sadece geometrik yönlerini inceleyen ; kinematik, ve Harekete neden olan kuvvetlerin analizi olan ; kinetik. Bu ilkelerin anlaşılması için, Önce parçacık dinamiği incelenecek, Daha sonra iki boyutta ve üç boyutta sunulan rijit cisim dinamiği konuları ele alınacaktır 1 2 . 2 Doğrusal Kinematik: Sürekli Hareket Bir parçanın kinematiği, parçacığın verilen herhangi bir andaki konum, hız, ve ivmesinin belirlenmesi olarak tanımlanır. Konum Parçacığın doğrusal yörüngesi tek bir s koordinat ekseni ile tanımlanabilir, Şekil 12-1a.Yörünge üzerindeki O başlangıç noktası sabit bir noktadır ve bu noktanın s koordinatı ile parçacığın herhangi bir andaki konumu belirlenir.

Yer Değiştirme Bir parçacığın yer değiştirmesi onun pozisyonundaki değişim olarak tanımlanır. Eğer şekildeki gibi parçacık bir noktadan diğer bir noktaya gidiyorsa yer değiştirme: Hız Parçacık ∆t zaman aralığında ∆s kadar bir yer değiştirme ile hareket ediyorsa, parçacığın bu zaman aralığındaki ortalama hız vektörü; Vort = ∆s ∆t ∆t’nin gittikçe küçülen değerini alırsak, ∆s’in değeri gittikçe küçülür. Sonuç olarak anlık hız vektörü; olur.

İvme Parçacığın, verilen zaman aralığı içinde hızında olan değişim ise ivme olarak tanımlanır. Parçacık hareketinin iki noktası bilindiğinde ∆t zaman aralığındaki ortalama ivmesi; aort = ∆v ∆t Anlık ivme ise de dir. Bu ifade, yol cinsinden şeklinde de yazılabilir. ve ifadelerinde dt yok edilirse elde edilir.

Sabit İvme, a= ac : İvme sabit olduğunda ac = dv/dt, Sabit İvme, a= ac : İvme sabit olduğunda ac = dv/dt, v=ds/dt ve ac ds=v dv kinematik denklemlerinin her biri integre edilebilir ve böylece ac, v, s ve t’yi bağlayan formüller elde edilir. Zamanın Fonksiyonu Olarak Hız: Başlangıçta t=0 iken v=v0 olduğunu varsayarak ac =dv/dt ‘yi integre edelim; Zamanın Fonksiyonu Olarak Konum: Başlangıçta t=0 iken s=s0 olduğunu varsayarak v=ds/dt=v0+ act ‘yi integre edelim;

Konumun Fonksiyonu Olarak Hız: denkleminden t ‘ yi çözüp denkleminde yerine koyalım veya başlangıçta s=s0 , v=v0 olduğunu varsayarak v dv = ac ds’ yi integre edelim;

Örnek 1: Bir deneme sırasında Şekildeki araba hızı v=(3t2+2t) m/s olacak şekilde bir doğru üzerinde kısa bir süre hareket ediyor. t’nin birimi saniyedir. t=3 s iken konumunu ve ivmesini belirleyiniz. t=0 ‘ da s=0 olur. (c: 36m, 20m/s2) Örnek 2: Bir roketin, yerden 40m mesafede yukarıya doğru 75 m/s hızla hareket ederken motoru duruyor. Çıkabileceği max. Mesafeyi ve dönüşte yere çarpmadan önceki hızı hesaplayınız. Roket hareketinde ivme (yer çekim ivmesi) aşağı doğru g=9,81 dir. Hava direnci ihmal edilecektir. (c: 327m, 80,1 m/s)

Soru 1: Bir mermi aşağıya doğru dikey olarak 60 m/s’lik başlangıç hızıyla bir akışkan ortam içine ateşleniyor. Mermi, a=(-0.4v3) olacak şekilde yavaşlamakta ise, merminin ateşlendikten 4s sonraki hızını ve konumunu bulunuz. Burada v m/s ile ölçülmektedir. (c: 4,43m, 0,559 m/s) Soru 2: Duran bir otomobil sabit ivme ile 200 m mesafede 15 m/s hıza ulaşıyor. Sahip olduğu ivme ve gerekli zamanı bulunuz. (c: 0,5625 m/s2, 26,7 s) Soru 3: 25 m/s hız ve sabit -3 m/s2 ivme ile hareket eden araç, 4s sonra hangi hıza ulaşır. Bu esnada ne kadar yol alır ve kaç s’de dururdu (c: 13 m/s, 76 m, 8,33s)

1 2 . 3 Doğrusal Kinematik:Düzensiz Hareket Bir parçacığın bir zaman aralığındaki hareketi düzensiz ise, konum, hız ya da ivmesini tanımlayacak sürekli bir matematiksel bir fonksiyon elde etmek zor olabilir. Bunun yerine, hareket en iyi şekilde bilgisayar çıktılarından deneysel olarak oluşturulabilecek bir dizi eğri ile grafiksel olarak tanımlanabilir. Bir grafik a= dv/dt , v= ds/dt, a ds=v dv kinematik denklemlerini kullanarak oluşturulabilir. s-t Grafiği verildiğinde v-t Grafiğini Oluşturmak: Bir parçacığın t zaman aralığındaki konumu, deneysel olarak belirlenebiliyorsa, parçacığın s-t grafiği çizilebilir. Parçacığın hızını zamanın fonksiyonu olarak belirlemek için, v-s ve t’ yi bağlayan v=ds/dt ‘yi kullanmalıyız. Bu yüzden, v-t grafiği değişik anlarda s-t grafiğinin eğimini (ds/dt) ölçerek ve sonuçları çizerek oluşturulur. Örneğin, s-t grafiğinde (0,0), (t1, s1), (t2, s2 ) ve (t3,s3) ara noktalarındaki v0, v1, v2 ve v3 eğimlerinin ölçümü, v-t grafiğine karşı gelen noktaları verir.

v-t Grafiği verildiğinde, a-t Grafiğini Oluşturmak: (a=dv/dt kullanılarak belirlenebilir.) a-t Grafiği verildiğinde, v-t Grafiğini Oluşturmak:(a=dv/dt kullanılarak oluşturulabilir) v-t Grafiği verildiğinde, s-t Grafiğini Oluşturmak: (v=ds/dt kullanılarak oluşturulabilir) a-s Grafiği verildiğinde, v-s Grafiğini oluşturmak:(v dv=a ds kullanılarak oluşturulabilir) v-s Grafiği verildiğinde, a-s Grafiğini oluşturmak:(v dv=a ds kullanılarak oluşturulabilir)

Örnek 3: Düz bir yolda, şekildeki grafikte gösterilen fonksiyonla hareketi tanımlanan bisikletli için 0-30 s aralığında v-t ve a-t grafiklerini oluşturunuz. Soru 4: şekildeki grafikte gösterilen fonksiyonla hareketi tanımlanan sürücü için a-s grafiğini oluşturunuz. 400 ft mesafeye ulaşmak için gerekli zamanı bulunuz. (c:12 s ve )

Bir otomobil tepeye yukarı gösterilen hızla hareket ediyor Bir otomobil tepeye yukarı gösterilen hızla hareket ediyor. 60 saniye sonra duruyor. Durana kadar aldığı yolu bulunuz ve a-t grafiğini çiziniz. Örnek 4: a=Dv/Dt= (0-10)/(60-30)=-0,333

Eğrisel hareket, parçacık eğrisel bir yol üzerinde hareket ettiğinde oluşur. 1 2 . 4 Genel Eğrisel Hareket Konum: O sabit noktasından ölçülen, parçacığın konumu, konum vektörü r=r(t) ile belirtilecektir. Genel olarak, parçacık eğri üzerinde hareket ettikçe büyüklüğü ve yönü değiştiğinden, bu vektör zamanın bir fonksiyonudur. Yer Değiştirme: Küçük bir ∆t zaman aralığında, parçacığın eğri üzerinde ∆s yolu alarak r′=r+∆r ile tanımlanan yeni bir P′ konumuna geldiğini varsayalım. ∆r yer değiştirmesi parçacığın konumundaki değişimi gösterir ve vektör farkı ile belirlenir; yani, ∆r=r′- r ‘dir.

Hız: ∆t zaman aralığında, parçacığın ortalama hızı ∆t olarak tanımlanır. Anlık hız, bu denklemden alınarak belirlenir ve sonuç olarak ∆r’nin doğrultusu eğrinin P noktasındaki teğetine yaklaşır. (Konum vektörlerinin oluşturduğu eğriye Yörünge denip, hız vektörü yörüngeye teğettir!) Böylece, veya ∆r uzunluğunun iken ∆s yay uzunluğuna yaklaştığını görerek, Vort=

İvme: Parçacık, t zamanında v hızına ve t+∆t’de v′=v+∆v hızına sahipse, ∆t zaman aralığında parçacığın ortalama ivmesi; ∆v ∆t aort= Burada ∆v=v′- v ‘dir. Hız vektörlerinin oluşturduğu eğriye Hodograf denir. den hareketle olur. Ayrıca yazılabilir. v her zaman yörüngeye teğet olduğu gibi a her zaman hodografa teğettir

Eğrisel Hareket: Dik Bileşenler

Örnek 5: Şekildeki uçağın kalkış yörünge denklemi y=0,001x2 olarak verilmiş olup, 10 m/s sabit hızla yükseldiğine göre y=100m de hız ve ivmesinin şiddeti ne olur. (c: 18,7 m/s, 0,791m/s2) Soru 5: Şekildeki kutu denklemi y=(0,05x2) ile verilen yüzeyde aşağı doğru kaymaktadır. Kutu x=5m de vx=-3m/s hız, ve ax=-1,5m/s2 ivme değerlerine sahip olduğuna göre hız ve ivmenin y bileşenlerini bulunuz. (c: 1,5 m/s, 0,15m/s2)

Örnek 6:

Soru 6: ( C: v =26.8 ft/s, = 72.6°, a=12.8 ft/s2, =90°)

Örnek 7: (10,2 m/s, 2 m/s2) Soru 7: Bir maddesel nokta y2=4x yörüngesinde v=4 m/s sabit hızıyla hareket etmektedir. x= 4 m de parçacığın hızını ve bileşenlerini bulunuz. (3,58 ve 1,79 m/s)

Eğik Atış: Şekildeki iki cisim de aynı anda; kırmızı serbest düşüş yaparken, sarı yatayda verilen bir hızla harekete başlamıştır. Eş zamanlı harekette düşey ve yatayda oluşan değişimi irdeleyiniz!

Örnek 8: Rampa aşağı bırakılan paket yatayda 12 m/s hıza sahip olarak 6 m yukarıdan bırakılıyor. Yere düşüş zamanını ve R Mesafesini bulunuz. (c: 1,11s, 13,3m) Soru 8: Şekildeki sporcu 300 açı ile VA hızıyla rampadan ayrılıyor. B noktasında yere indiğine göre VA hızını ve uçuş süresini hesaplayınız. (c: 6,49m/s, 0,89s)

Örnek 9: A noktasından fışkıran su jetinin hızı ifadesi ile verilebilir. Burada h=2 m dir. Suyun yere temas etmesi için gerekli zaman ve x mesafesini bulunuz.

Soru 9:

Örnek 10: (23,9 m/s) Soru 10: ( )

Eğrisel Hareket: Normal ve Teğetsel Bileşenler Bir parçacığın izlediği yol biliniyorsa, hareketi, çoğu kez, göz önüne alınan anda orijini parçacıkla çakışan ve yola normal ve teğet olarak etkiyen n ve t koordinatlarını kullanarak tanımlamak uygundur. Düzlemsel Hareket Düzlemde sabit bir eğri boyunca hareket eden P parçacığını göz önüne alalım. Parçacık, verilen bir anda eğri üzerinde O’dan s kadar mesafede bulunmaktadır. Eğrinin daima konkav tarafında olan pozitif yön, un birim vektörü ile ifade edilecektir. n ve t eksenlerinin bulunduğu düzlem, oskülatör düzlem olarak adlandırılır Şekil 12-24b’de gösterildiği gibi, her bir ds parçası ρ(ro) eğrilik yarıçaplı ve O’nun eğrilik merkezli bir çember yayından oluşur.t eksenine dik olarak seçilen n normal ekseni P’den O′ eğrilik merkezine doğru yönlenmiştir.

Hız: Parçacık hareket ettiğinden s, zamanın fonksiyonudur Hız: Parçacık hareket ettiğinden s, zamanın fonksiyonudur. Parçacığın v hız vektörü daima yola teğet olan bir doğrultuya ve s=s(t) yol fonksiyonunun zamana göre türevi alınarak belirlenen, yani v=ds/dt olan bir büyüklüğe sahiptir. burada1 dir. İvme: Parçacığın ivme vektörü, hız vektörünün zamana göre değişim oranıdır burada Olduğundan yazılır.

ifadesinde Olup, ivmenin şiddeti yazılır Bu kavramları özetlersek: 1.Parçacık, bir doğru boyunca hareket ediyorsa ρ →∞ olur ve olur. Bu durumda yazılır. Yani ivme, teğetsel ivmeye eşit olur. 2.Parçacık, bir eğri boyunca sabit bir hızla hareket ediyorsa, ve olur. Bu durumda olur ve ivmenin normal bileşeni hızın doğrultusunun zamana göre değişim oranını ifade eder. Bu bileşen, daima eğrilik merkezine doğru etkidiğinden, merkezcil ivme olarak adlandırılır.

Örnek 11: (4,87 s 10,2 m/s) Soru 11: Dairesel bir yörüngede 20m/s hızla hareket eden araç 3 m/s2 ile yavaşlamaktadır. Taşıtın ivmesi 5 m/s2 ise hareket edilen yarıçapı bulunuz. ( )

Örnek 12: Durgun halden başlayarak 50 m yarıçaplı yörüngede v=(0,8t) m/s hızla hareket eden botun 20 m yol katettiği andaki hız ve ivmesini bulun. (5,66 m/s, 1,02 m/s2) Soru 12:

Örnek 13:

Eğrisel Hareket: Silindirik Bileşenler Kutupsal (polar) koordinatlar: P parçacığının konumu, r-radyal koordinat ve q Dönüş yönünde dik çizilen q-enine koordinatla belirlenebilir. Pozitif doğrultular, şekilde birim vektörlerle belirtilmiştir. Paçacığın Konumu: İle verilirken, Parçacığın Hızı : İfadesinden hareketle olmak üzere ve şiddeti dir.

İvme: Hız ifadesinin türevi alındığında İfadesinden hareketle olmak üzere alınarak düzenleme yapılırsa bulunur. İvmenin şiddeti ise: Bu ifadelerde - açısal hız - açısal ivme olarak isimlendirilir.

Şekildeki problem, silindirik koordinatlar kullanılarak çözülebilir Şekildeki problem, silindirik koordinatlar kullanılarak çözülebilir. Burada r- sabit olup, q – zamanla artacak, z ise aşağı inildikçe azalacaktır.

Soru 14: Şekildeki çocuk, merkezden dışa doğru sabit 0,5 m/s2 ivme ile Örnek 14: Bir parçacık 300mm yarıçaplı dairesel bir yörüngede hareket etmektedir. Açısal hızı (2t2) r/s ise, t=2 s için parçacık hız ve ivmesini bulunuz. (2,4 m/s, 19,3 m/s2) Soru 13: Konumu r=(t3+4t-4) mm , q =(t3/2) rad. İle verilen parçacığın t=2s için hız ve ivmesini bulunuz. (30,1 m/s, 85,3 m/s2) Soru 14: Şekildeki çocuk, merkezden dışa doğru sabit 0,5 m/s2 ivme ile koşmaktadır. Platform sabit 0,2 m/s hızla SİTY’de döndüğüne göre; t=3 s için hız ve ivme bileşenlerini Hesaplayınız. (1,5 ve 0,45 m/s 0,41 ve 0,6 m/s2)

Örnek 15:

Soru 15: Şekildeki eğik düzlemde aşağı doğru kayan kutunun hızı sabit 2 m/s dir. Kutunun ivmesini hesaplayınız. (Not: eğik yüzey açısı: hız bileşenleri ise: dir.)

İki Parçacığın Mutlak Bağımlı Hareketi: Şekilde ; A nın aşağı hareketi B nin yukarı hareketine bağlıdır. Burada ; 𝐿 𝑇 ve 𝐿 𝐶𝐷 sabit, 𝑆 𝐴 ve 𝑆 𝐵 değişkendir. Buna göre;

Başka bir örnek; Sistemde renkli kısımlar sabit kalır. Böylece İpin uzunluğu sabit kısımlar çıkarılarak yazılırsa: l ve h hareket esnasında sabit kaldığından zamana göre türevleri alınırsa: bulunmuş olur.

Örnek 16: Soru 16: A noktası 5 m/s hızla hareket ettiğinde B’nin hızı ne olur. (20 m/s)

Örnek 17: Soru 17: Şekildeki adam, ipe bağlı çocuğu geriye doğru sabit 1,5m/s hızla giderek çekiyor. xA=4m olduğunda çocuğun hızı ne olur. İp boyu 16m ve xA=0 da yB=8m. (0,671 m/s)

Örnek 18: Soru 18:

Örnek 19:

Soru 19: Soru 20: