DERSİMİZİ ŞU ANA BAŞLIKLAR HALİNDE İNCELEYECEĞİZ. 1. 2.DERECE DENKLEM TANIMI 2. 2.DERECE DENKLEME DÖNÜŞTÜRÜLEBİLEN DENKLEMLER 3. 2.DERECE DENKLEMİN KÖKLERİ VE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR 4. 3.DERECE DENKLEMİN KÖKLERİ VE 5. KÖKLERİ VERİLEN BİR DENKLEMİN YAZILMASI

2.DERECE DENKLEM TANIMI a , b , c sabit birer gerçel (reel) sayı ve a = 0 olmak üzere; a x2 + b x + c = 0 biçimindeki eşitliklere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

İkinci derece denklemin köklerinin varlığı araştırılırken; Δ = b2 - 4ac ifadesine bakılır. Bu değere ikinci derece denklemin DİSKRİMİNANTI (Delta) denir.

Şimdi diskriminantın durumlarını inceleyelim. 1.  > 0 ise birbirinden farklı iki kök vardır. Bu kökler; ’dır.

2.  = 0 ise birbirine eşit iki kök vardır. Bu kökler; ’dır. 3.  < 0 ise denklemin reel sayılarda çözümü yoktur.

denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 3x2-10x+3=0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK: ÇÖZÜM : a=3 , b= -10 , c=3 ve Δ=b2-4ac eşitliğinden; Δ=(-10)2-4.3.3=100-36=64 bulunur. Δ>0 olduğundan iki kök vardır. Bu kökler;

DÖNÜŞTÜRÜLEBİLEN DENKLEMLER 2.DERECE DENKLEME DÖNÜŞTÜRÜLEBİLEN DENKLEMLER Bu tür denklemlerde değişken değiştirerek denklem düzenlenir. Konuyu örneklerle izah edelim. ÖRNEK: x4-5x2+4=0 denkleminin çözüm kümesini bulalım. ÇÖZÜM : x2=u dönüşümü yapılırsa denklem, u2-5u+4=0 haline dönüşür. u2-5u+4=0  (u-4)(u-1)=0  u=4 ve u=1 olur. Öyleyse; x2=4 ve x2=1 olacağından x= 2 ve x= 1 bulunur. Ç=-2,-1,1,2 ’dir.

ÖRNEK: (x2-5x)2 -2 (x2-5x) -24=0 denkleminin çözüm kümesini bulalım. ÇÖZÜM : x2-5x=u dönüşümü yapılırsa; u2 -2u -24=0 olur ki;  (u-6)(u+4)=0  u=6 ve u=-4 bulunur. Öyleyse; x2-5x=6 ve x2-5x=-4 olacağından x2-5x-6=0  (x-6)(x+1)=0  x=6 ve x=-1 olur. x2-5x+4=0  (x-4)(x-1)=0  x=4 ve x=1 olur. Ç=-1,1,4,6 ’dir.

ÖRNEK: 4m+2m-6=0 denkleminin çözüm kümesini bulalım. ÇÖZÜM : 2m=u dönüşümü yapılırsa denklem, u2+u-6=0 haline dönüşür. u2+u-6=0  (u+3)(u-2)=0  u=-3 ve u=2 olur. Öyleyse; 2m=-3  çözüm yoktur. ve 2m=2  m=1 olacağından Ç=1 ’dir.

2.DERECE DENKLEMİN KÖKLERİ VE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR ax2 + bx + c = 0 ikinci dereceden denkleminin kökleri, x1 ve x2 olmak üzere; b + = - x x 1 2 a c = x . x 1 2 a

ÖRNEK: x2 - 6x +8 = 0 denkleminin kökler toplamını bulunuz. ÇÖZÜM : x1+x2= - b /a olduğundan x1+x2= 6 bulunur. ÖRNEK: -3x2 - 8x +1 = 0 denkleminin kökler çarpımını bulunuz. ÇÖZÜM : x1.x2= c /a olduğundan x1.x2= -1 /3 bulunur.

3.DERECE DENKLEMİN KÖKLERİ VE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR ax3 + bx2 +cx +d = 0 üçüncü dereceden denkleminin kökleri, x1, x2 ve x3 olmak üzere; bulunur.

KÖKLERİ VERİLEN BİR DENKLEMİN KURULUŞU ikinci dereceden bir denkleminin kökleri, x1 ve x2 olmak üzere, denklem; x2 - (x1+x2)+x1.x2=0 biçimindedir.

ÖRNEK: Kökleri -2 ve 3 olan ikinci derece denklemi bulunuz. ÇÖZÜM : x1+x2= (-2)+3=1 x1+x2= (-2).3=-6 bulunur. x2 - (x1+x2)+x1.x2=0 x2 - (1)x+(-6)=0 x2 - x - 6 = 0 bulunur.