Sistem Özellikleri: Yönetilebilirlik, Gözlenebilirlik Yönetilebilirlik: ilk koşulu verilen bir sistemi sonlu zaman içinde durumuna götüren bir girişi bulunabilinir mi? Gözlenebilirlik: Sonlu zaman aralığında çıkışlarını gözleyerek sistemin ilk koşulu belirlenebilir mi? Lineer, zamanla değişmeyen sistemlerde, durum denklemlerini belirleyen (A,B,C,D) matrislerinden faydalanarak bu sorular yanıtlanır. Önbilgi Cayley-Hamilton Teoremi: nxn kare A matrisine ilişkin karakteristik çok terimli olsun. A matrisi karakteristik çok terimlisini sağlar.

Zamana bağlı fonksiyonların lineer bağımsızlığı Önbilgiye devam Zamana bağlı fonksiyonların lineer bağımsızlığı Tanım: 1xm boyutlu, elemanları zamanın fonksiyonu olan bir vektör olmak üzere fonksiyonlar kümesi aralığında lineer olarak bağımsızdır. Biraz daha açık yazarsak Dikkat!!

negatif olmayan skaler bir fonksiyon Teorem 1: 1xm boyutlu fonksiyonları aralığında lineer bağımsızdır tersinir nxn matris Tanıt: ‘lerin aralığında lineer bağımsız iken ‘in tersinir olduğu gösterilecek. Varsayım: ‘ler aralığında lineer bağımsız olsun, ama tekil olsun. tekil negatif olmayan skaler bir fonksiyon ‘ler lineer bağımsız değil Varsayıma aykırı tersinir 3

tersinir , ’lerin aralığında lineer bağımsız olduğu gösterilecek. Varsayım: tersinir ancak ‘ler aralığında lineer bağımlı tersinir değil, varsayıma aykırı ‘ler aralığında lineer bağımsız Örnek: fonksiyonlarının [1,2] zaman aralığında lineer bağımsızlığını inceleyiniz. 4

sağlayan bir var ise ‘ler aralığında lineer bağımsızdır. Teorem: 1xm boyutlu fonksiyonlarının aralığında (n-1). mertebeye kadar sürekli türevleri olsun, sağlayan bir var ise ‘ler aralığında lineer bağımsızdır. Örnek: fonksiyonlarının [0,1] zaman aralığında lineer bağımsızlığını inceleyiniz.

Yönetilebilirlik: ilk koşulu verilen bir sistemi sonlu zaman içinde durumuna götüren bir girişi bulunabilinir mi? Tanım: Yönetilebilirlik: 1) Durum denklemleri ile verilen dinamik sistem aralığında yönetilebilir. 2) anındaki herhangi bir başlangıç durumunu anındaki bir durumuna götüren aralığında tanımlı bir giriş vardır. Lineer sistemler için : 3) anındaki başlangıç durumunu anındaki herhangi bir durumuna götüren aralığında tanımlı bir giriş vardır. 4) anındaki herhangi bir başlangıç durumunu anındaki durumuna götüren aralığında tanımlı bir giriş vardır. başlangıç durumunu durumuna götüren giriş

başlangıç durumunu durumuna götüren giriş

Teorem 2: Lineer zamanla değişmeyen sistemi anında yönetilebilir matrisinin satırları aralığında lineer bağımsızdır. Tanıt: ‘ nin satırları lineer bağımsız kabul edilip sistemin yönetilebilir olduğu gösterilecek anındaki çözüm matrisinin satırlarının aralığında lineer bağımsız olduğunu hipotezden dolayı söyleyebiliyoruz. Teorem 1’den yararlanarak aşağıdaki ifadeyi yazabiliriz tersinirdir. başlangıç durumunu durumuna götüren giriş aşağıdaki ifade ile belirlenebilir,

‘ nin satırları lineer bağımsız ise başlangıç durumunu durumuna götüren girişin var olduğu dolayısıyla lineer zamanla değişmeyen sistemin yönetilebilir olduğu gösterildi.

yönetilebilirlik matrisi Teorem 3: Lineer zamanla değişmeyen sistemi yönetilebilir yönetilebilirlik matrisi Tanıt: Teorem 2 yönetilebilir ‘nin satırları lineer bağımsız Lemma Cayley-Hamilton Teoreminden ‘nın lineer kombinasyonu olarak yazılabilir ve (-) işareti rankı değiştirmez

sistemi yönetilebilir mi?

Gözlenebilirlik: Sonlu zaman aralığında çıkışlarını gözleyerek sistemin ilk koşulu belirlenebilir mi? Tanım: Gözlenebilirlik aralığındaki giriş-çıkış çiftinden tek olarak belirlenebiliyorsa sistem aralığında gözlenebilirdir.

gözlenebilirlik matrisi Teorem 4: Lineer zamanla değişmeyen sistemi gözlenebilir matrisinin sütunları aralığında lineer bağımsız. Teorem 3: Lineer zamanla değişmeyen sistemi gözlenebilir gözlenebilirlik matrisi

ile verilen sistem hangi pi i=0,1,2 değerleri için gözlenebilir midir?

Frekans Tanım Bölgesinde Yönetilebilirlik ve Gözlenebilirlik Varsayım: A’nın özdeğerleri lineer katsız (*) ’ler birbirinden ....... ise .................................dolayısıyla sistem........... ise .................................dolayısıyla sistem...........

(*) sistemine ilişkin transfer fonksiyonu: ve/veya ise sistem yönetilemez ve/veya gözlenemez

sıfır kutup sadeleşmesi olmamasıdır. Lemma: sisteminin özdeğerleri katsız ise, sistemin yönetilebilir olması için gerek ve yeter koşul transfer fonksiyonunda sıfır kutup sadeleşmesi olmamasıdır. Gözlenebilirliği ve yönetilebilirliği ayrı ayrı incelemek istiyorsak: Yönetilebilirlik için Gözlenebilirlik için t-tanım bölgesinde yönetebilirlik ve gözlenebilirlik için baktığımız matrisler ile verilen sistemin yönetilebilirliğini ve gözlenebilirliğini inceleyiniz?