Ders 5: Fourier Transformu İşaret ve Sistemler Ders 5: Fourier Transformu

Giriş Periyodik fonksiyonların fourier serisi açılımı kullanılarak frekans bileşenleri ve fazları frekans bölgesinde gösterilebilir. Kısacası periyodik işaretler karmaşık üstel fonksiyonların toplamı olarak ifade edilebilir. Karmaşık üstel fonksiyonların her birisi periyodik işaretin, belli bir frekanstaki bileşeninin genliğini ve fazını gösterir. Periyodik işaretler için geliştirilen Fourier serisine benzer bir açılımla, bütün t değerleri için geçerli olacak, periyodik olmayan bir işaret karmaşık üstel fonksiyonların toplamı olarak ifade edilebilir mi? Eğer periyodik olmayan işareti, periyodik işaretin limitteki durumu olarak düşünürsek böyle bir seri açılımı yapılabilir. İşaret ve Sistemler

Giriş İşaret ve Sistemler

Fourier Dönüşümü Periyodik m(t) işaretinin Fourier serisi açılımını İşaret ve Sistemler

Fourier Dönüşümü Periyodik işarete dönüştürülen m(t+T0) işaretinin Fourier serisi açılımından elde edilen spektrum: İşaret ve Sistemler

Fourier Dönüşümü Bu ifade de limit durumu için ifadele tek tek incelenirse, aşağıdaki ifadeler elde edilir. İşaret ve Sistemler

Fourier Dönüşümü Fourier serisi eşitliği de benzer olarak İşaret ve Sistemler

Fourier Dönüşümü Fourier serisi eşitliği de benzer olarak İşaret ve Sistemler

Fourier Dönüşümü Fourier dönüşümü veya periyodik olmayan işaretlerin frekans spektrumu üstel fonksiyonların sürekli bir toplamıdır. Bir başka ifade ile periyodik işaretlerin frekans bileşenleri n tam sayı olmak üzere n.f0 Hz’lerde frekans bileşenleri, harmonikler içermektedir. Periyodik olmayan işaretlerin frekans bileşenleri ise kesikli değer almaz, süreklidir. Bununda nedeni periyodik olmayan işaretlerin açılımı, periyodik işarete benzetilerek, periyodu sonsuza götürüldüğünden frekans bileşenleri birbirine yaklaşır ve sürekli bir işarete dönüşür. Bir işaretin Fourier dönüşümünün alınabilmesi için tanımlı olduğu bölgedeki enerjisi; koşulunu sağlaması gerekir. Bu nedenle periyodik olmayan işaretlerin enerjisi sonludur. Bu tür işaretlere de sonlu enerjili işaretler veya enerji işareti de denir. İşaret ve Sistemler

Fourier Dönüşümü M(f), fourier dönüşümünü Euler teoremini kullanarak kutupsal düzlemde yazarsak: İşaret ve Sistemler

Fourier Dönüşümü Fourier dönüşüm ifadesi fazör olarak: İşaret ve Sistemler

Fourier Dönüşümü İşaret ve Sistemler

Fourier Dönüşümü İşaret ve Sistemler

Fourier Dönüşümü İşaret ve Sistemler

Fourier Dönüşümü İşaret ve Sistemler

Fourier Dönüşümü İşaret ve Sistemler

Fourier Dönüşümü İşaret ve Sistemler

Örnek 5.1 m(-t)=m(t), çift simetrik olduğundan B(f)=0 olacağından; İşaret ve Sistemler

Örnek 5.1 İşaret ve Sistemler

Örnek 5.1 M(f)’in değişiminden görüldüğü gibi spektrumun negatif bileşenleri vardır. Bundan dolayı m(t)’nin genlik ve faz spektrumu ifadeleri sırası ile; İşaret ve Sistemler

Örnek 5.1 İşaret ve Sistemler

3 dB Band Genişliği İşaret ve Sistemler

3 dB Band Genişliği Örnek 5.1’de verilen darbe işaretinin 3dB band genişliği: Darbe işaretinin spektrumu olduğundan, 3dB band genişliğin tanımdan İşaret ve Sistemler

3 dB Band Genişliği İşaret ve Sistemler