Ünite 8: Olasılığa Giriş ve Temel Olasılık Hesaplamaları Öğr. Elemanı: Dr. M. Cumhur AKBULUT

Ünitede Ele Alınan Konular Olasılık Kavramı ve Temel Olasılık Hesaplamaları Ünitede Ele Alınan Konular 8. Olasılık Kavramı ve Temel Olasılık Hesaplamaları 8.1. Temel Kavramlar 8.1.1. Deney, Sonuç, Örnek uzay 8.1.1. Olay 8.1.2. Olasılığın Tanımı 8.2. Temel Olasılık Kuralları 8.2.1. Bir Alt Kümenin (Olayın) Olasılığı 8.2.2. Tümleyen Kümenin Olasılığı 8.2.3. Birleşim Kümesinin olasılığı 8.2.4. Kesişim Kümesinin olasılığı 8.2.5. Koşullu Olasılık ve Olayların Bağımsızlığı

Olasılığın Tanımı Olasılığın Tanımı Olasılık, bir olayın gerçekleşme ihtimali veya şansının ölçülmesine denir. Olasılık P ile gösterilir. Bir A olayının olasılığı ise P(A) şeklinde gösterilir ve 0 ile 1 arasında bir değer alır. Olasılığın Tanımlanması ve hesaplanmasında 4 anahtar sözcük (Kavram) önemli rol oynamaktadır. Deney Sonuç Örnek uzay Olay

Deney, Sonuç, Örnek uzay Deney, Sonuç, Örnek uzay Deney: Deney, teorik olarak belirli koşullar altında sonsuz defa tekrarlanabilen, her tekrarında farklı sonuçlar elde edilebilen ve olası sonuçların çok iyi tanımlandığı bir süreçtir. Bu süreç sonunda araştırılan konuya ilişkin sonuçlar (değerler) elde edilir. Sonuç: Deney sonucunda elde edilen veriye de deneyin sonucu ya da kısaca sonuç denir. Örnek Uzay: herhangi bir deney sonucunda elde edilebilecek mümkün (olası) sonuçlar örnek uzay olarak tanımlanır ve S ile gösterilir

Örnek 1 Örnekler

Olay Olay Olay: Örnek uzayın belirli bir koşulu sağlayan herhangi bir alt kümesine “Olay” denir. Deneyin sonucu bu alt kümelerden örneğin A kümesinin elemanı ise bu deneyde A olayının gerçekleştiği; deneyin sonucu A kümesinin elemanı değilse A olayının gerçekleşmediği söylenir.

Zarın bir defa atılması deneyinde Mümkün olan sonuçlar nelerdir?

Zarın bir defa atılması deneyinde A olayı görünen yüzdeki sayının çift sayı olması durumu olsun. 1 3 4 5 2 6 S A S={1,2,3,4,5,6} A={2,4,6}

Örnek Zarın bir defa atılması durumunda A olayı görünen yüzün 1 gelmesi durumu olarak; B olayı da görünen yüzdeki sayının çift sayı olması durumu olarak tanımlansın. Örnek uzayı, A ve B olaylarının elemanlarını küme ve Venn şeması ile gösteriniz. Çözüm:

Olasılığın Tanımı Olasılığın Tanımı Olasılığın Klasik Tanımı: S, olası sonuçlardan her birinin gerçekleşme şanslarının eşit olduğu bir örnek uzayı ve A ise bu uzayda tanımlı bir olayı göstersin. Bu durumda A olayının olasılığı; Olasılığın Frekans tanımı: Bir deney N defa tekrarlandığında ilgilenilen A olayının toplam gözlenme sıklığı (frekansı) fA şeklinde saptansın. Bu durumda A olayının olasılığı;

Hilesiz bir zarın bir defa atılması deneyinde; A= zarın 1 gelmesi Örnek 8–5 Örnek 2 Hilesiz bir zarın bir defa atılması deneyinde; A= zarın 1 gelmesi B= Zarın çift sayı gelmesi C= Gelen sayının 3 ten büyük olması Olayları tanımlansın. A, B ve C olayının meydana gelme olasılıklarını hesaplayınız.

Bu nedenle Klasik tanımı kullanarak olasılığı hesaplayabiliriz. Örnek 8–5 Çözüm 2 Hilesiz bir zar atıldığında mümkün sonuçlardan her birinin gerçekleşme şansları eşittir. Bu nedenle Klasik tanımı kullanarak olasılığı hesaplayabiliriz. 1 3 4 5 2 6 S A B S={1, 2, 3, 4, 5, 6} ve n(S)=6 C A={1} ve n(A)=1 olduğundan B={2, 4, 6} ve n(B)=3 olduğundan C={4, 5, 6} ve n(C)=3 olduğundan

Örnek 8–7 Örnek 3 Klima üreten bir fabrikada üretilen klimalardan rastgele 200 tanesi seçilmiş ve 10 tanesinin kusurlu olduğu saptanmıştır. Üretilen bir klima rastgele seçildiğinde bunun kusurlu olması olasılığı nedir? Çözüm 3: A olayı rastgele seçilen bir klimanın kusurlu olması olayı olsun. Her bir klimanın seçilmesi işlemini bir deney olarak ele alalım. Her deneyin sonucunda klimanın kusurlu ya da sağlam olduğu kaydedilsin. Dikkat edilirse sonuçların aynı sıklıkta gözlenmediği görülmektedir. Olasılığın frekans tanımını kullanarak hesaplama yapalım.

Tümleyen Kümenin Olasılığı

Örnek 8–9 Örnek 4 Bir bilgisayar Laboratuvarında bulunan 25 bilgisayardan 5 tanesi bozuktur. Bu bilgisayarlardan bir tanesinin rastgele seçilerek açılması deneyinde birbirini Tümleyen (bütünleyici) olayları tanımlayınız ve bunların olasılıklarını bulunuz. Çözüm 4: Rastgele seçilen bilgisayar ya bozuktur ya da sağlamdır. Dolayısıyla bu deney için birbirini Tümleyen (bütünleyici) iki sonuç vardır. Bunlar;

Birleşim Kümesinin olasılığı (Toplama Kuralı) A ve B gibi iki olay S örnek uzayında tanımlansın. Bu olayların AUB şeklinde gösterilen birleşimi, A olayını ya da B olayını ya da her iki olayı da birlikte sağlayan sonuçların oluşturduğu kümedir. AUB olayı, bu iki olaydan en az biri gerçekleştiğinde gerçekleşir. Olayların birleşimine ilişkin olasılık, söz konusu iki olayın gerçekleşme olasılıklarının toplamından olayların birlikte görülmesi olasılığının çıkarılmasıyla elde edilmektedir.

Örnek 8–10 Örnek 5 Zarın bir defa atılması deneyinde A olayı gelen sayının çift olması, B olayı da gelen sayının 3 ten büyük olması şeklinde tanımlansın. Gelen sayının 3’ten büyük ya da çift olması olasılığını bulunuz. Çözüm 5: Olayları sağlayan temel sonuçları kümeler ve Venn şeması kullanarak gösterelim. 1 3 4 5 2 6 A B S

Kesişim Kümesinin olasılığı (Çarpma Kuralı) A ve B gibi birlikte ortaya çıkan olayların olasılığı P(A∩B) şeklinde ifade edilir. İki olayın kesişiminin olasılığı, bir olayın olasılığı ile ikinci olayın koşullu olasılığının çarpımına eşittir ve bu kurala çarpma kuralı denir. Koşullu olasılık P(B|A) biçiminde gösterilir. P(B|A) gösterimi, A olayının gerçekleştiği bilindiğinde B olayının olasılığını ifade eder. A ve B olayları aynı örnek uzayında tanımlanmış iki olay olsun. A olayının gerçekleştiği bilgisi elimizdeyken B olayının ( A koşulu altında) olasılığı (P(A) > 0 ); Eğer A ve B olaylarından birinin gerçekleşmesi diğerini etkilemiyor ise yani bu olaylar bağımsız ise o zaman;

Örnek 6 Bir torbada 2 kırmızı 3 mavi bilye vardır. Bu torbadan ardı ardına iki bilye çekiliyor. İki bilyenin de Mavi olması olasılığı nedir? Çözüm 6: M1 = çekilen 1. Bilyenin Mavi olması olayı M2 = çekilen 2. Bilyenin Mavi olması olayı olarak tanımlansın. İstenen olasılık M1 ve M2 olaylarının kesişimi olup, bu olayların birlikte meydana gelmesi çarpım kuralı ile hesaplanabilir. Bu olasılık;

A olayı erkeğin 5 yıl daha yaşaması Örnek 8–17 Örnek 7 Bir erkeğin 5 yıl daha yaşaması olasılığı 1/5 ve eşinin 5 yıl daha yaşaması olasılığı ise 1/4 olarak hesaplanmıştır. Bu verilere göre; Her ikisinin birlikte 5 yıl daha yaşaması olasılığı nedir? Çözüm 7: A olayı erkeğin 5 yıl daha yaşaması B olayı ise eşinin 5 yıl daha yaşaması olsun. Her birey kendi ömrünü tüketeceğinden A ve B olayları bağımsızdır.

Bu verilere göre; En az birinin 5 yıl daha yaşaması olasılığı nedir? Örnek 8–17 Örnek 7-Devam Bir erkeğin 5 yıl daha yaşaması olasılığı 1/5 ve eşinin 5 yıl daha yaşaması olasılığı ise 1/4 olarak hesaplanmıştır. Bu verilere göre; En az birinin 5 yıl daha yaşaması olasılığı nedir? Çözüm 7: A olayı erkeğin 5 yıl daha yaşaması B olayı ise eşinin 5 yıl daha yaşaması olsun.

Örnek 8–17 Örnek 7-Devam Bir erkeğin 5 yıl daha yaşaması olasılığı 1/5 ve eşinin 5 yıl daha yaşaması olasılığı ise 1/4 olarak hesaplanmıştır. Bu verilere göre; Bu süre içinde Erkeğin ölmesi ve Kadının yaşaması olasılığı nedir?

Örnek 8–17 Örnek 7-Devam Bir erkeğin 5 yıl daha yaşaması olasılığı 1/5 ve eşinin 5 yıl daha yaşaması olasılığı ise 1/4 olarak hesaplanmıştır. Bu verilere göre; Bu süre içinde Erkeğin yaşaması ve Kadının ölmesi olasılığı nedir?

Örnek 8–17 Örnek 7-Devam Bir erkeğin 5 yıl daha yaşaması olasılığı 1/5 ve eşinin 5 yıl daha yaşaması olasılığı ise 1/4 olarak hesaplanmıştır. Bu verilere göre; Bu süre içinde Erkeğin ve Kadının ölmesi olasılığı nedir?

Bir erkek ve kadın için ölme ve yaşama için mümkün sonuçlar 4 tanedir. Örnek 8–17 Örnek 7-Devam Bir erkek ve kadın için ölme ve yaşama için mümkün sonuçlar 4 tanedir. 1- Erkek ve kadın yaşar (0,05) 2- Erkek ölür kadın yaşar (0,20) 3- Erkek yaşar kadın ölür (0,15) 4- Erkek ve kadın ölür (0,60) Toplam (Örnek Uzay) (1.00 yani %100)

Koşullu Olasılık Koşullu Olasılık Koşullu olasılık P(B|A) biçiminde gösterilir. P(B|A) gösterimi, A olayının gerçekleştiği bilindiğinde B olayının olasılığını ifade eder.

Makale_ Örnek

Makale_ Örnek

Örnek Başarı/Cinsiyet Toplam P (Olasılık) Başarılı (>=60) 31 % 81,6 BAS A istatistik dersinden 60 ve üzerinde alanlar başarılı sayılmaktadır. Aşağıda öğrencilerin cinsiyetlerine göre başarı durumlarının dağılımı görülmektedir? Başarı Durumu Cinsiyete Bağımlı mıdır? Başarı/Cinsiyet Toplam P (Olasılık) Başarılı (>=60) 31 % 81,6 Başarısız (<60) 7 % 18,4

Örnek Başarı/Cinsiyet E % K Başarılı (>=60) 10 %83,3 21 %80,8 BAS A istatistik dersinden 60 ve üzerinde alanlar başarılı sayılmaktadır. Aşağıda öğrencilerin cinsiyetlerine göre başarı durumlarının dağılımı görülmektedir? Başarı Durumu Cinsiyete Bağımlı mıdır? Başarı/Cinsiyet E % K Başarılı (>=60) 10 %83,3 21 %80,8 Başarısız (<60) 2 %16,7 5 %19,2 Toplam 12 26 P (Olasılık) % 81,6 % 18,4

SPSS 2Analizi

Örnek Bir Sigorta acentesi bir aylık bir dönemde trafik sigortası yaptıran 100 müşterinin trafik kaskosu durumunu araçların menşeine göre sınıflandırmış ve aşağıdaki tabloyu elde etmiştir. Araç Yerli Yabancı Toplam Kaskosu var 5 30 35 Kaskosu yok 55 10 65 P (Olasılık) 60 40 100 A- Rastgele seçilen bir aracın Kaskolu olması ihtimali kaçtır? B- Rastgele seçilen bir aracın Yabancı olma ihtimali kaçtır? C- Rastgele seçilen bir aracın Yerli ve kaskosuz olma ihtimali kaçtır? D- Rastgele seçilen bir aracın Yerli olduğu bilindiğine göre kaskolu olması ihtimali nedir?

A- Rastgele seçilen bir aracın Kaskolu olması ihtimali kaçtır? Yerli Yabancı Toplam Kaskosu var 5 30 35 Kaskosu yok 55 10 65 P (Olasılık) 60 40 100 A- Rastgele seçilen bir aracın Kaskolu olması ihtimali kaçtır?

B- Rastgele seçilen bir aracın Yabancı olma ihtimali kaçtır? Yerli Yabancı Toplam Kaskosu var 5 30 35 Kaskosu yok 55 10 65 P (Olasılık) 60 40 100 B- Rastgele seçilen bir aracın Yabancı olma ihtimali kaçtır?

C- Rastgele seçilen bir aracın Yerli ve kaskosuz olma ihtimali kaçtır? Yabancı Toplam Kaskosu var 5 30 35 Kaskosu yok 55 10 65 P (Olasılık) 60 40 100 C- Rastgele seçilen bir aracın Yerli ve kaskosuz olma ihtimali kaçtır?

Araç Yerli Yabancı Toplam Kaskosu var 5 30 35 Kaskosu yok 55 10 65 P (Olasılık) 60 40 100 D- Rastgele seçilen bir aracın Yerli olduğu bilindiğine göre kaskolu olması ihtimali kaçtır?

Örnek BAS A istatistik dersinden 60 ve üzerinde alanlar başarılı sayılmaktadır. Aşağıda öğrencilerin cinsiyetlerine göre başarı durumlarının dağılımı görülmektedir? Başarı Durumu Cinsiyete Bağımlı mıdır? Başarı/Cinsiyet E K Toplam P (Olasılık) Başarılı (>=60) 10 (%83,3) 21 (%80,8) 31 %81,6 Başarısız (<60) 2 (%16,7) 5 (%19,2) 7 %18,4 12/38 %31,6 26/38 %68,4 38 38/38=1

Olayların Bağımsızlığı Bir deney yapıldığında bir B olayının gerçekleşme olasılığı A olayının gerçekleşme olasılığını etkilemiyorsa bu iki olay “bağımsızdır” denir. Başka bir ifadeyle, B olayının gerçekleştiğine ilişkin ek bilgi A olayının olasılığının güncelleştirilmesini gerektirmiyorsa bu iki olay bağımsızdır. A ve B bağımsız ise P(A|B)= P(A) veya P(B|A)= P(B) yazabiliriz.

Bir probleme ilişkin deney sonuçlarının oluşturduğu örnek uzayı S ={1,2,3,4,5,6,7,8} şeklinde verilmiş olsun. A={1,2} B={2,4,6,8} olsun . A ve B olayları bağımsız mıdır? 3 8 2 4 1 6 7 5 A B S n(S)=8 n(A)=2 n(B)=4 n(A∩B)=1

Çözüm 9: n(S)=8 n(A)=2 S ={1,2,3,4,5,6,7,8} n(B)=4 A={1,2} n(A∩B)=1 Örnek 9 Çözüm 9: n(S)=8 n(A)=2 n(B)=4 n(A∩B)=1 S ={1,2,3,4,5,6,7,8} A={1,2} B={2,4,6,8} 3 8 2 4 1 6 7 5 A B S

Örnek 9 Çözüm 9: n(S)=8 n(A)=2 n(B)=4 n(A∩B)=1 3 8 2 4 1 6 7 5 A B S