Mekanizmaların Kinematiği Mekanizmaların kinematik analizi, gerekli olan tüm boyutları bilinen mekanizmadaki elemanların veya elemanlar üzerindeki noktaların konum, hız ve ivmelerinin hesaplanmasını kapsamaktadır.

Yine mekanizma üzerinden Raven Yöntemi A0AB0 üçgenini göz önüne alalım. Burada iki kenar uzunluğu (r2, r3) ile bu iki kenar arasındaki açı (2) bilinmektedir. Bilinmeyen s kenar uzunluğu ve  açısı bu üçgende kosinüs teoremi kullanılarak bulunabilir. 2 1 3 4 A0 y A B r1 B0 r2 r3 r4 3 4 x s 2    A0BB0 üçgeninin üç kenar uzunluğu da bilinmektedir. Kosinüs teoremi kullanılarak bu üçgenin açıları bulunabilir. Yine mekanizma üzerinden

Oxy dik (kartezyen) koordinat sisteminde P noktasının konumu OP=r vektörü ile gösterilebilir. P(x,y) r y  x O x Polar (kutupsal) koordinatlarda P noktasının konumu ise: P r +  SYT (Saat Yelkovanının Tersi yönü) -  SY (Saat Yelkovanı yönü)  ref. O

Karmaşık sayıları kullanarak P noktasının konumu x y z  P O Im(z) Re(z) Euler denklemi kullanılarak bir üstel fonksiyon şeklinde yazılabilir: r : uzunluk ; ei : OP yönünde birim vektör

Bir Rijit Cismin Kinematiği: A ve B noktaları yerine, A noktasının konumu ile bu iki noktayı birleştiren AB vektörünün referans ekseni ile yaptığı açı  yardımıyla da rijit cismin konumu belirlenebilir: B B rAB y y A A  y rA AB  x x O O x

Dörtçubuk mekanizması vektörel çevrim denklemi Mekanizmaların Vektörel Çevrim Denklemleri: Dörtçubuk mekanizması vektörel çevrim denklemi 2 3 4 y A0 A B x B0 vektörel çevrim denklemi 4 B Bir konum vektörü uzunluk ve yön olmak üzere iki skalerle ifade edilebilir. *** Vektörlerin yönleri vektörün pozitif x ekseni ile saat ibreleri ters yönünde (SİTY) yaptığı açı ile gösterilecektir. r3 A 3 r4 r2 2 1 A0 r1 B0

Bir vektörel denklemden iki skaler denklem yazılabilir: 2 3 1= rad 4 r2 r3 A A0 B0 r1 r4 B vektörel çevrim denklemi Üstel formda Kompleks sayılar ile: Kompleks eşleniği Hatırlatma: Kompleks sayılar ile: Oxy eksen takımında:

Krank-biyel mekanizması çevrim denklemi 3 y 2 B 4 x A0 C 3 A r3 r2 3/2 B d 2 A0 1 s C

Bir vektörel denklemden iki skaler denklem yazılabilir: 2 A0 A B 3 1 r2 r3 s d 3/2 Oxy eksen takımında: Kompleks sayılar ile:

Vektörel çevrim denklemleri yazılırken vektör toplam işaretlerine dikkat edilmelidir! 3 r2 B veya A0 2 d s /2 C 2 3 4 r2 r3 A A0 B0 r1 r4 B veya

Kol-kızak mekanizması Kol-kızak mekanizmasında 4 uzvu 3 uzvu üzerinde kayma yapmaktadır. Değişken olan S43 vektörü 4 uzvunun 3 uzvuna göre bağıl konum vektörüdür. 4+/2 2 3 4 A0 A x B0 r4 r2 r1 s43 2 4 B Vektörel çevrim denklemi

Skaler denklemler: *** Üstel formda Kompleks sayılar ile: Oxy eksen takımında:

Çok gözlü mekanizmalar için vektörel çevrim denklemleri: y B 3 A 3 5 5 4 I 2 II 2 4 6 x A0 B0 s C Vektörel çevrim denklemleri

Analitik Yöntem ile Konum Analizi Krank-biyel mekanizması d y r2 r3 3 x q 2 1 3 4 A0 B A s 3, s = ? Oxy eksen takımında:

Karelerini alıp taraf tarafa toplarsak Burada: Çözüm:

Dört çubuk mekanizması :Kompleks sayılar yöntemi ile çözüm ve Freudenstein Denklemi -3 -4 -q 2 1 3 4 A0 iy A B r1 B0 3 4 x q Vektörel çevrim denklemi: Kısıt (bağ) denklemeleri : (kompleks eşleniği)

4 ‘ü hesaplamak için: Bu denklemleri taraf tarafa çarparsak: ve olduğunu hatırlarsak

Yukarıda verilen eşitlik kullanıldığında: elde edilir. Bu denkleme bunu ilk tanımlayan kişiye atfen Freudenstein denklemi denmektedir. Bu denklemde:

Freudenstein denklemi 4 ve 2 arasındaki ilişkiyi vermektedir Freudenstein denklemi 4 ve 2 arasındaki ilişkiyi vermektedir. Bu denklem cos(a-b)=cosa cosb+sina sinb bağıntısı kullanılarak aşağıdaki gibi de yazılabilir: yarım açı formülleri kullanıldığında elde edilir. Burada:

değişken dönüşümü ile biçiminde ikinci dereceden bir denklem elde edilir. Bu denklemin kökleri:

Benzer yolla 3 ‘ü de bulabiliriz Burada “-” işaretli çözüm dört çubuk mekanizmasının açık montajlı olması haline, “+” işareti çözüm ise çapraz montajlı olması haline karşılık gelmektedir. (B2 - 4AC) < 0 ise verilmiş olan 2 açısında mekanizma monte edilemez. 2 1 3 4 A0 A B B0 Açık montaj Çapraz montaj Benzer yolla 3 ‘ü de bulabiliriz

Örnek (Kol-Kızak Mekanizması) Şekilde boyutları verilen kol-kızak mekanizmasında 2=0o için 4 ve s43 ‘ü hesaplayınız. 2 1 3 4 A0 y A B r1 B0 r2 r4 4 x 2 s43 4+/2 r1=200 mm; r2=70 mm; r4=80 mm; Vektörel çevrim denklemi: A0A = A0B0 + B0B + BA

A0A=A0B0+B0B+BA Kompleks sayılar ile yazıldığında: veya kompleks eşleniği:

S43 parametresini yok etmeye çalışalım: S43 parametresini yok etmek için (3) denklemini ve (4) denklemini ile çarpalım: (3’) ve (4’) denklemlerini eşitlersek: veya

bağıntısı kullanılırsa; Cos(2-4) ü trigonometrik eşitlik kullanarak açalım:

yarım açı formülleri de kullanılarak basitleştirmeler yapıldığında: elde edilir. Burada: Bu denklemin kökleri de 4 ‘ü verecektir, yani:

Bilinen değerler kullanılarak denklem katsayıları: Olarak hesaplanır. Buradan:

S43 ü hesaplamak için (3) ve (4) denklemleri aşağıdaki gibi düzenlenir ve taraf tarafa çarpılırsa: elde edilir. Sayısal değerler yerine yazılırsa: bulunur.

Ödev 1 Örnek 2 ‘de verilen mekanizmada 2 =45o alarak kompleks sayılar yöntemi ve Raven yöntemi ile konum analizini yapınız. 2 1 3 4 A0 y A B r1 B0 r2 r4 4 x 2 s43 4+/2 r1=200 mm; r2=70 mm; r4=80 mm;

Ödev 2 Şekilde boyutları verilen mekanizmada 2=120o iken 3, 4, 5 ve 6 nolu uzuvların konumlarını hesaplayınız. A0B0=14 cm, A0A=7 cm, AB=12.46 cm, B0B=11.2 cm, BC=35 cm 2 1 4 A0 A B B0 2 5 6 C 3

Ödev 3 Şekilde boyutları verilen mekanizmada 2=120o iken 3, 4, 5 ve 6 nolu uzuvların konumlarını hesaplayınız. A0B0=14 cm, A0A=7 cm, B0B=11.2 cm, BC=35 cm 1 4 A0 A B B0 5 6 C 3 2 2