Bazı sorular: Topolojik eşdeğerlilik ne işimize yarayacak, topolojik Hatırlatma Bazı sorular: Topolojik eşdeğerlilik ne işimize yarayacak, topolojik eşdeğerliliğin ortadan kalktığı durumlar var mı, varsa nasıl buluruz? Dallanmalar (Bifurcation) ve dallanma diyagramları Sürekli zaman Ayrık zaman Dallanma: Bir parametrenin değişimi ile topolojik olarak eşdeğer olmayan durum portresinin oluşumuna “dallanma” denir. Topolojik eşdeğerlik bozulduğunda durum portresinde neler değişebilir? F.C.Hoppensteadt, E.M. Izhikevich, “Weakly Connected Neural networks”, Springer, 1997.

bağlı olarak durum uzayının temsili ile katmanlaştırılması Dallanma Diyagramı: Dinamik sistemin parametre uzayının, her bir katmanda topolojik eşdeğerliğe bağlı olarak durum uzayının temsili ile katmanlaştırılması “dallanma diyagramı “ ‘nı verir. Bir örnek S. Sastry, “Nonlinear Systems”, Springer, 1999 E.M. Izhikevich, “Dynamical Systems in Neuroscience”, MIT Press, 2007

Denge noktalarının sayısı değişiyor acaba kararlılıkları ne oluyor? denge noktası kararlı civarında denge noktası kararsız civarında denge noktası kararlı civarında denge noktası kararlı Dallanma diyagramı S. Sastry, “Nonlinear Systems”, Springer, 1999.

Bir örnek Düğüm-Eyer Dallanması Kararlı odak Eyer S. Sastry, “Nonlinear Systems”, Springer, 1999.

Bir örnek daha Küçük için Denge noktası bir tane ve (0,0) kararlı odak Denge noktası kararsız odak Yeterince büyük için Andronov-Hopf Dallanması Y.A. Kuznetsov, “Elements of Applied Bifurcation Theory”, Springer, 2004.

Yerel (Local) ve Genel (Global) Dallanmalar İncelediğimiz dallanmalar ile denge noktalarının sayısı ve yeri değişti, denge noktasından limit çevrime geçiş oldu ancak hepsi bir denge noktası civarındaki topolojik değişiklikler idi ve denge noktası civarına bakarak oluşan değişiklikler belirlenebildi. Bu tür dallanmalar yerel dallanmalar olarak adlandırılıyor. Ancak denge noktası civarında olup bitenlere bakarak tüm durum uzayındaki değişimler için fikir edinemediğimiz de genel dallanma ile topolojik değişiklikleri belirleyebiliriz.

Aynı noktaya dönen yörünge (Homoclinic Orbit) İki Özel Yörünge * Aynı noktaya dönen yörünge (Homoclinic Orbit) ‘de başlayan bir yörüngesi aşağıdaki koşulu sağlıyorsa (*) sisteminin “aynı noktasına dönen yörünge”sidir. Ayrı noktaya dönen yörünge (Heteroclinic Orbit) ‘de başlayan bir yörüngesi aşağıdaki koşulu sağlıyorsa (*) sisteminin ve “ayrı noktalarına dönen yörünge”sidir. Y.A. Kuznetsov, “Elements of Applied Bifurcation Theory”, Springer, 2004.

Bir örnek Y.A. Kuznetsov, “Elements of Applied Bifurcation Theory”, Springer, 2004.

Bir örnek daha Bu özdeğerlerin özelliği nedir? Bu denge noktası civarında lineerleştirsek, özdeğerleri nerede olabilir? Burada ne var?

Dallanma parametreleri Dallanma diyagramına tekrar bakalım Dallanma Diyagramı: Dinamik sistemin parametre uzayının, her bir katmanda topolojik eşdeğerliğe bağlı olarak durum uzayının temsili ile katmanlaştırılması “dallanma diyagramı “ ‘nı verir. Wilson-Cowan Modeli Dallanma parametreleri F.C.Hoppensteadt, E.M. Izhikevich, “Weakly Connected Neural networks”, Springer, 1997.

Bir başka örnek- Cihan Soylu (Bitirme Ödevi) p(k + 1) = f(λp(k) + m(k) + I) m(k + 1) = f(p(k) − d(k)) n(k + 1) = f(p(k)) d(k + 1) = f(αn(k)), α=Wd - Wr