Hatırlatma bu durumda ne olacak? Boyuta dikkat!! S, Rn’in bir alt uzayı olsun; b’de Rn’de bir nokta olsun. S’in b’ye en yakın noktası p ise bu noktayı nasıl belirleriz? xn x1 x2 b S p

a vektörünün belirlediği doğru üstünde Hatırlatma p nerede? a vektörünün belirlediği doğru üstünde b’den a’ya olan en kısa mesafe b’den a’ya dik olan doğru ile belirlenir Duzeltme var

b’nin a’ya izdüşümü olan p noktası böylece bulunmuş oldu….. İzdüşüm matrisi b’nin a’ya izdüşümü olan p noktası böylece bulunmuş oldu….. İzdüşümü gerçekleyen terim DİKKAT!

izdüşüm matrisinin özellikleri Neden? * P simetrik * Gerçekten mi? *

En Küçük Kareler Yöntemi Amaç: Gözlemlediğimiz bir sürece ilişkin bir model oluşturmak sistem çıkış giriş y u

Gözlemlediğimiz sürece ilişkin verilerden yararlanarak süreci belirlemek nasıl mümkün olacak? sistem u y Bilinenler: u ve y Bilinmeyenler: a0,a1,a2

Çözümünü bulmamız gereken denklem: Ax=b m denklem, n bilinmeyen; m>n Da=y neden Lineer denklem takımı olarak bakınca yanıt basit, y D’nin sütun uzayında ise cözüm var ama burada buyuk olasılıkla y D’nin sütun uzayında olmayacak bu durumda hata tanimlayip bu hatayi en azlayacak a’lari bulmaya calisacagiz. u2 u y Da=y’nin çözümü var mı?

Da=y’nin çözümü yoksa biz neyi bulacağız? Öyle a değerleri bulacağız ki hata E2 en az olsun Başka türlü ifade edersek Bu a’ları nasıl bulacağız? E’ye daha dikkatli bakalım

Kolay olsun diye 3-boyut da bakalım D3X2 Sütun uzayı 2. sütun 1. sütun

N(D) ve R(DT), Rn ‘in alt uzayları sütun uzayında y’ye en yakın nokta olduğuna göre…. vektörü sol sıfır uzayında olmalı Hatırlatma Dört temel alt uzay N(D) ve R(DT), Rn ‘in alt uzayları N(DT) ve R(D), Rm ‘in alt uzayları N(D) R(DT) (Rn de); N(DT) R(D) (Rn de); Sonuç: Ama biz asıl neyin peşindeydik?

b’nin sütun uzayına izdüşümü p de p=Ax*=A(ATA)-1ATb m denklem ve n bilinmeyen içeren, tutarsız Ax=b denklem takımının en küçük kareler yaklaşıklığı ile elde edilecek çözümü x* ATAx*=Atb Eşitliğini sağlar ve A’nın sütunları lineer bağımsızsa, ATA tersinirdir ve x*=(ATA)-1ATb b’nin sütun uzayına izdüşümü p de p=Ax*=A(ATA)-1ATb eşitliğini sağlar

Ortogonal bazlar, ortogonal matrisler ve Gram-Schmidt yöntemi ile ortogonaleştirme vektörleri aşağıdaki özeliği sağlıyorsa ortonormaldir: ortogonallik normalizasyon standart baz

*Ortogonal martis, sütunları ortonormal vektörlerden oluşan kare matristir *Q’nun sütunları ortonormal vektörlerden oluşmuş ise: Neden ortogonal matris denmedi? Q dikdörtgen matris olsa bile QTQ=I ancak QT sadece sol ters