X-IŞINLARI KRİSTALOGRAFİSİ “Ters Örgü” Prof. Dr. Ayhan ELMALI

Bir kristaldeki düzlem takımları göz önüne alındığında iki boyutlu düzlemler yerine bunların tek boyutlu normallerini düşünmek çok daha kolaydır. Ters örgüde normal doğrultuları ile birlikte düzlemler arası dhkl uzaklıklarını da belirlemek gerekir. Bir (hkl) düzleminin normali üzerinde dhkl nin tersi ile orantılı uzunlukta bir nokta elde edilirse bu nokta düz örgüdeki (hkl) düzleminin ters örgüdeki temsilcisi olur.

Birim hücrenin başlangıcı 0 ortak başlangıç olarak seçildi. Bu noktada her (hkl) düzlemine bir dik indirildi. Bu normal üzerinde başlangıçtan itibaren 1/ dhkl ile orantılı bir uzunluk alındı.

520 420 320 h00 220 120 200 510 410 310 210 110 0k0 100 050 040 030 020 000 (030) (020) (010) 010 d010 ters örgü ve d020 örgü a d010

Orantı katsayısının ve orantılı uzunluğun hangi yönde alındığının bir önemi yoktur. Her hkl ters örgü noktası (hkl) düzleminin bütün özelliklerini taşır. Noktanın başlangıca göre doğrultusu düzlemin doğrultusunu, başlangıca uzaklığı da düzlemler yığınının dhkl düzlemler arası uzaklığını belirtir. Normalin uzunluğu, hkl=K.1/dhkl ile tanımlanır. K ters örgü tanımı için verilen katsayıdır.

(010), (020), (030) vb. düzlemler paralel olduklarından normalleri ortaktır. Bunların düzlemler arası uzunlukları d010=2d020=3d030...dır. Dolayısı ile 010=1/2020=1/3030...dır. Buradan yukarıdaki düzlemlerin ters örgü noktalarının aynı doğru üzerinde eşit aralıklı olarak dizildiğini anlarız.

Vektörel İnceleme Yukarıda verilen üç koşula uyan noktaların üç boyutlu bir örgü oluşturduğunu görelim. Önce bir birim hücredeki normallerle a, b, c kristalografik eksenler arasındaki ilişkiyi görelim.

Bir birim hücrenin hacmi taban alanı ile o tabanına ait yüksekliğin çarpımıdır. V=S. d100  100= 1 = S c d001 S d010 V S=bxc V=a.(bxc)  b 100= 1 n = b x c a d010 d100 a.(bxc) n d100

010 ve 001 içinde benzer ifadeler bulunur. Bu vektörler a. , b. , c 010 ve 001 içinde benzer ifadeler bulunur. Bu vektörler a*, b*, c* ile gösterilir. a*= bxc ,b*= cxa ,c*= axb V V V a*.b=b*.c=c*.a=a*.c=b*a=c*.b=0 a*.a=b*.b=c*.c=1

Ters örgü vektörleri kullanılarak bir örgü kurulduğu zaman a Ters örgü vektörleri kullanılarak bir örgü kurulduğu zaman a* doğrultusundaki art arda noktalar d100 düzlemler arası uzaklığın tersinin h katlarını, b* doğrultusundaki art arda noktalar d010‘ın k katları c* doğrultusundaki art arda noktalar da d001‘ın terslerinin katlarını gösterir.

a*= 100 = 1 n d100 2a*=2 100 = 2 n = 200 = 1 n d100 d200 3a*=3 100 = 3 n = 300 = 1 n d100 d300

Herhangi bir ters örgü noktasını bulmak için a. , b. ve c Herhangi bir ters örgü noktasını bulmak için a*, b* ve c* ters örgü vektörlerinin sırası ile h, k ve l katlarını toplamamız gerekir. Yani (hkl) düzleminin ters örgü vektörü; hkl = ha*+kb*+lc*

Bragg Yasasının Yorumu Kristalin bir (hkl) rasyonel düzlemini düşünelim. Bunun art arda gelen dizisinde düzlemler arası uzaklık dhkl olsun. Ancak optik yansıma kanununa uyan doğrusal girişim olabilir. Art arda iki tabakadan gelen saçılmış ışınların maksimum genlikli bir girişim meydana getirebilmesi için bunların yol farklarının demetin dalga boyunun tam katı olması gerekir.

x gelen y saçılan x-ışını ışınlar  hkl C hkl O B hkl A d hkl 2 hkl

OA+AB - OC=n d + d - OBcos=n sin sin 2d - 2d cos =n sin tan 2d 1 - cos2 =n sin sin 2dsin=n Bragg yasası

şeklinde düşünülerek, geometrik çizimde Bu formül, şeklinde düşünülerek, geometrik çizimde ters örgü dalga boyuna bağlanır. 2dhklsinhkl= sinhkl=  = 1/dhkl = hkl 2dhkl 2/ 2 1 

Ters örgünün kullanılışı x-ışınlarının kristallerdeki çeşitli kırınım yöntemlerinin yorumlanmasını kolaylaştırır. P P 1/d  x-ışını A O A O 1/ 2/ 1/  2 O M (hkl)

OA x-ışını MP doğrultusunda (hkl) düzleminden bir yansıma vermiş olsun OA x-ışını MP doğrultusunda (hkl) düzleminden bir yansıma vermiş olsun. Ya da O noktasından  uzaklığında bir P noktası olsun. sin= OP =  AO 2/ Yani Bragg koşulu sağlanır.

Özel olarak; Kristal, yarıçapı 1/ olan bir çemberin (üç boyutta bir kürenin) M merkezine konmuş gibi düşünülür. x-ışını demetinin kristal içinden geçtikten sonra küreyi terkettiği O noktası kristalin ters örgüsünün başlangıç noktası olarak alınır. hkl ters örgü vektörünün son noktası P küre üzerinde ise M kristal merkezi ve P ters örgü noktasından geçen MP doğrultusu (hkl) düzleminden yansıyan girişim saçağının doğrultusudur. Geometrik çizimdeki küreye Yansıma Küresi veya Ewald Küresi denir.

Düz ve Ters Örgü Parametreleri Bağıntıları Çizgisel parametreler Açısal Parametreler a*= b c sin cos  *= coscos  -cos V sin sin  b*= c a sin cos  *= coscos  -cos V sin  sin  c*= a b sin cos  *= coscos  -cos  V sinsin  a=b*c*sin* cos  = cos  *cos  *-cos* V sin  *sin  * b=c*a*sin* cos  = cos*cos  *-cos  * V sin*sin  * c=a*b*sin  * cos  = cos*cos  *-cos  * V sin*sin  *

V*=a*b*c*[1-cos2*-cos2*-cos2*+2cos* cos* cos*]1/2 Kristal eksenlerini ters örgü eksenleri cinsinden veren ifadelerin bu çizelgedeki gibi olduğunu göstermek zor değildir. Ters örgü vektörünün tersini düşünelim:

(a*)*= b* x c* a*.b*xc* eşitliğinin sağ tarafını a.a*=1 ile çarpalım ve sadeleştirelim. (a*)*=a.a*. b* x c* = a. a*.b* x c* = a a*.b*xc* a*.b* x c* buluruz. Buradan a= b* x c* elde ederiz.

hkl. hkl =(ha*+kb*+lc*).(ha*+kb*+lc*) Ortorombik sistemde; a*=1/a, b*=1/b, c*=1/c ===*=*=*=90 1 = h2 +k2 + l2 dhkl2 a2 b2 c2 hkl2= 1 =h2a*2+k2b*2+l2c*2+2hka*b*cos*+2hla*c*cos*+2klb*c*cos* dhkl2