SINIR ETKİLERİ VE GİRİŞİM BÖLÜM 8 SINIR ETKİLERİ VE GİRİŞİM Daha önce özel bir ortamda (ip, katı çubuk, akışkanlar gibi) kesintisiz biçimde ilerleyen dalgaları inceledik. Bu bölümde ilerleyen dalgaların farklı bir ortam ya da bir engele rastladıkları zaman ortaya çıkacak olaylardan bazılarını ele alacağız. İlk olarak daha önceki tartışmalarımızın da başlangıç noktasını oluşturan gerilmiş ip örneği ile başlayıp, bu ip üzerinde ilerleyen dalgaların bir süreksizliğe rastladığı zaman gelişen olaylara bakacağız. Ancak detaylı analizlere girmeyeceğiz.

DALGA PULSLARININ YANSIMASI Daha önce gerilmiş bir ip üzerinde ilerleyen ve duran dalgalar arasındaki ilişkiyi tartışmıştık. İpin bir ucunun titreştirilmesi ile oluşturulan ilerleyen dalganın, ipin diğer ucundan yansımasından sonra duran dalga meydana getirdiğini görmüştük. Böylece kaynaktan çıkan ve geri dönen dalgaların üst üste binmesi ile duran dalgaların oluştuğunu belirlemiştik. Sonuç olarak iki ucu bağlı bir ip üzerindeki bir normal moda, zıt yönlerde ilerleyen aynı frekans, aynı genlik ve dalga boyuna sahip iki sinüzoidal dalganın üst üste gelmesi olarak bakabileceğimizi söyleyebiliriz.

Bu söylenenleri aşağıdaki iki ifadenin özdeş olduğunu tartışarak irdelemiştik: Normal Mod: 𝑦 𝑥,𝑡 =𝐴𝑠𝑖𝑛 𝑛𝜋𝑥 𝐿 𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 (1.a) Zıt yönde ilerleyen iki dalga: 𝑦 𝑥,𝑡 = 𝐴 2 𝑠𝑖𝑛 𝑛𝜋𝑥 𝐿 −𝑤𝑡 + 𝐴 2 𝑠𝑖𝑛 𝑛𝜋𝑥 𝐿 +𝑤𝑡 (1.b) (1.b) ifadesini göz önüne alır ve 𝑥=0 ve 𝑥=𝐿'deki sınır koşullarını kullanırsak 𝑦 0,𝑡 = 𝐴 2 𝑠𝑖𝑛 −𝑤𝑡 + 𝐴 2 𝑠𝑖𝑛𝑤𝑡=− 𝐴 2 𝑠𝑖𝑛𝑤𝑡+ 𝐴 2 𝑠𝑖𝑛𝑤𝑡=0 𝑦 𝐿,𝑡 = 𝐴 2 𝑠𝑖𝑛 𝑛𝜋−𝑤𝑡 + 𝐴 2 𝑠𝑖𝑛 𝑛𝜋+𝑤𝑡 = 𝐴 2 𝑠𝑖𝑛𝑛𝜋𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡−𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋𝑠𝑖𝑛𝑤𝑡 + 𝐴 2 𝑠𝑖𝑛𝑛𝜋𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡+𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋𝑠𝑖𝑛𝑤𝑡 = 𝐴 2 −𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋𝑠𝑖𝑛𝑤𝑡 + 𝐴 2 𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋𝑠𝑖𝑛𝑤𝑡 =0 Tüm n değerlerinde bu koşul sağlanır. Bu sonuç bize, zıt yönlerde hareket eden iki ilerleyen dalganın, her zaman sabit uçlarda eşit ve zıt yer değiştirmelere sahip olduklarını, toplamlarının sıfır olduğunu ifade eder. Bu sonuç dalga katı sınıra ulaştığı zaman yansıma işlemini de belirtir.

Bir dalga atması ipin ucuna geldiğinde ne olur? İpteki dalganın yansıması desteğin durumuna göre iki şekilde gerçekleşir: Bu tip yansımalarda, yaklaşık olarak tüm enerjinin yansıdığını varsayacağız. Bir dalga pulsunun (a) ipin sabit ucundan, (b) Serbest ucundan yansıması.

Bir dalga pulsunun ipin sabit ucundan yansıması Sabit uçtaki bir atma yansıyarak tersine döner. Bir dalga pulsunun ipin sabit ucundan yansıması İpin ucu sert bir desteğe bağlanmış ise, bu uç hareket edemeyen sabit bir uçtur. Gelen dalga desteğe bir kuvvet uygular; bu kuvvete tepki olarak destek tarafından ip üzerine uygulanan kuvvet ipi geri teper ve yansıyan bir atma veya ters yönde hareket eder ve yer değiştirmesi de ters yöndedir.

İlerleyen bir dalganın, gerilmiş bir sicimin sabit Ucundan yansıması. SABİT UÇTAN YANSIMA İlerleyen bir dalganın, gerilmiş bir sicimin sabit Ucundan yansıması. Yansıyan dalga ters döner. Yansıyan atmanın hızı, genliği,genişliği değişmez.

Serbest ucundan yansıması. 2) Serbest uçtaki bir atma yansır fakat ters dönmez.     Serbest ucundan yansıması. Şekildeki gibi, ip kendisine dik bir sürtünmesiz çubuk üzerinde kayan hafif bir halkaya bağlanmış olsun. Halka ve çubuk gerilimi korurlar fakat enine kuvvet uygulamazlar. Bir dalga bu serbest uca geldiğinde halka çubuk boyunca kayar. Halka maksimum yer değiştirmeye ulaşır ve ip ile birlikte anlık olarak durur. Şimdi ip daha da gerilmiştir ve dolayısıyla yansımış bir atma oluşturur. Serbest uçta, yansıyan atma gelen atma ile aynı yönde yer değiştirmeye sahiptir.

İlerleyen bir dalganın SERBEST UÇTAN YANSIMA İlerleyen bir dalganın gergin bir sicimin serbest ucundan Yansıması. Bu durumda yansıyan atma ters dönmez Gelen ve yansıyan atmanın hızı, genlik ve genişliklerinin büyüklükleri eşittir.

İpin ucundaki katı destek veya enine kuvvetin yokluğu gibi koşullar SINIR KOŞULLARI İpin ucundaki katı destek veya enine kuvvetin yokluğu gibi koşullar SINIR KOŞULLARI olarak adlandırılır.  Belirli bir gerilme altında olan ip, birim uzunluk başına kütlesi farklı bir ip ile birleştirilirse, birleşme noktasında oluşan süreksizlikte ikinci ortama geçme yanında, yansıma da ortaya çıkar (Şekil-2).  Gelen dalga : 𝑦 𝐼 𝑥,𝑡 =𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑘 1 𝑥−𝑤𝑡 , +x yönünde  Yansıyan dalga : 𝑦 𝑅 𝑥,𝑡 =𝐵𝑐𝑜𝑠 𝑘 1 𝑥+𝑤𝑡 , -x yönünde Geçen dalga : 𝑦 𝑇 𝑥,𝑡 =𝐶𝑐𝑜𝑠 𝑘 2 𝑥−𝑤𝑡 , +x yönünde Sol taraftaki bileşke dalga : (1. ortam) 𝑦 1 𝑥,𝑡 = 𝑦 𝐼 𝑥,𝑡 + 𝑦 𝑅 𝑥,𝑡   Boyca kütle yoğunlukları 𝜇 1 ve 𝜇 2 olan iplerin 𝑥=0 noktasında birleştiğini kabul edelim. Sağ taraftaki bileşke dalga : (2.ortam) 𝑦 2 𝑥,𝑡 = 𝑦 𝑇 𝑥,𝑡

𝐴𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡+𝐵𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡=𝐶𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 x = 0 noktasında iplerdeki enine yer değiştirmeler eşit olmalıdır:   𝑦 1 0,𝑡 = 𝑦 2 0,𝑡 𝑦 𝐼 0,𝑡 + 𝑦 𝑅 0,𝑡 = 𝑦 𝑇 0,𝑡  Gelen dalga : 𝑦 𝐼 𝑥,𝑡 =𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑘 1 𝑥−𝑤𝑡   𝐴𝑐𝑜𝑠 −𝑤𝑡 +𝐵𝑐𝑜𝑠 +𝑤𝑡 =𝐶𝑐𝑜𝑠 −𝑤𝑡 veya 𝐴𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡+𝐵𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡=𝐶𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 Yansıyan dalga : 𝑦 𝑅 𝑥,𝑡 =𝐵𝑐𝑜𝑠 𝑘 1 𝑥+𝑤𝑡 Geçen dalga : 𝑦 𝑇 𝑥,𝑡 =𝐶𝑐𝑜𝑠 𝑘 2 𝑥−𝑤𝑡   𝐴+𝐵=𝐶 Sol taraftaki bileşke dalga : 𝑦 1 𝑥,𝑡 = 𝑦 𝐼 𝑥,𝑡 + 𝑦 𝑅 𝑥,𝑡   Sağ taraftaki bileşke dalga : 𝑦 2 𝑥,𝑡 = 𝑦 𝑇 𝑥,𝑡

𝜕 𝑦 1 (𝑥,𝑡) 𝜕𝑥 𝑥=0 = 𝜕 𝑦 2 (𝑥,𝑡) 𝜕𝑥 𝑥=0 𝑥=0 noktasında ipler üzerindeki gerilme kuvveti (enine kuvvetler) eşit olmalıdır ve 𝑥=0 noktasındaki eğimler de eşit olmalıdır (tüm zamanlarda). 𝑦 𝐼 𝑥,𝑡 =𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑘 1 𝑥−𝑤𝑡 𝜕 𝑦 1 (𝑥,𝑡) 𝜕𝑥 𝑥=0 = 𝜕 𝑦 2 (𝑥,𝑡) 𝜕𝑥 𝑥=0 𝑦 𝑅 𝑥,𝑡 =𝐵𝑐𝑜𝑠 𝑘 1 𝑥+𝑤𝑡 𝑦 𝑇 𝑥,𝑡 =𝐶𝑐𝑜𝑠 𝑘 2 𝑥−𝑤𝑡 𝜕 𝑦 𝐼 (𝑥,𝑡) 𝜕𝑥 𝑥=0 + 𝜕 𝑦 𝑅 (𝑥,𝑡) 𝜕𝑥 𝑥=0 = 𝜕 𝑦 𝑇 (𝑥,𝑡) 𝜕𝑥 𝑥=0 −𝐴 𝑘 1 sin 𝑘 1 𝑥−𝑤𝑡 𝑥=0 −𝐵 𝑘 1 sin 𝑘 1 𝑥+𝑤𝑡 x=0 =−𝐶 𝑘 2 sin 𝑘 2 𝑥−𝑤𝑡 𝑥=0   −𝐴 𝑘 1 sin −𝑤𝑡 −𝐵 𝑘 1 sin(wt)=−𝐶 𝑘 2 sin (−𝑤𝑡) 𝐴 𝑘 1 sin 𝑤𝑡 −𝐵 𝑘 1 sinwt=𝐶 𝑘 2 sin 𝑤𝑡 𝐴 𝑘 1 −𝐵 𝑘 1 =𝐶 𝑘 2

𝐴+𝐵=𝐶 (1) 𝐴 𝑘 1 −𝐵 𝑘 1 =𝐶 𝑘 2 (2) 1-denklemini 𝑘 1 ile çarpalım ve 2- denklemi ile taraf tarafa toplayalım: 𝑘 1 𝐴+ 𝑘 1 𝐵= 𝑘 1 𝐶 + 𝑘 1 𝐴− 𝑘 1 𝐵= 𝑘 2 𝐶 2 𝑘 1 𝐴= 𝑘 1 + 𝑘 2 𝐶 𝐶 𝐴 = 2 𝑘 1 𝑘 1 + 𝑘 2 (3) (1) denkleminden 𝐵=𝐶−𝐴 , 𝐵 𝐴 = 𝐶 𝐴 −1 𝐵 𝐴 = 2 𝑘 1 𝑘 1 + 𝑘 2 −1= 2 𝑘 1 − 𝑘 1 − 𝑘 2 𝑘 1 + 𝑘 2 = 𝑘 1 − 𝑘 2 𝑘 1 + 𝑘 2 𝐵 𝐴 = 𝑘 1 − 𝑘 2 𝑘 1 + 𝑘 2 (4)

İpteki dalganın ilerleme hızının 𝑣= 𝑤 𝑘 = 𝑇 𝜇 𝑘=𝑤 𝜇 𝑇 = 𝑤 𝑇 𝜇 Birleşme noktasında dalgaların açısal frekansı 𝑤 ve ipteki gerileme kuvveti 𝑇 eşit olacağından 𝑘 1 = 𝑤 𝑇 𝜇 1 ve 𝑘 2 = 𝑤 𝑇 𝜇 2 Bu değerleri 3 ve 4 denkleminde kullanarak 𝐶 𝐴 = 2 𝜇 1 𝜇 1 + 𝜇 2   𝐵 𝐴 = 𝜇 1 − 𝜇 2 𝜇 1 + 𝜇 2 𝐶 𝐴 = 2 𝑘 1 𝑘 1 + 𝑘 2 (3) 𝐵 𝐴 = 𝑘 1 − 𝑘 2 𝑘 1 + 𝑘 2 (4)

İpe uygulanan dış kuvvetin sağ tarafta olduğunu farz ederek ip üzerinde, 𝑦 𝑥,𝑡 =𝐴𝑐𝑜𝑠𝑘 𝑥−𝑣𝑡 bir ilerleyen dalga oluşur. Bu ifadeden hareketle 𝐹 𝑦 =−𝑇𝑠𝑖𝑛𝜃≅−𝑇𝑡𝑎𝑛𝜃≅−𝑇 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝑥=0 𝐹 𝑦 =−𝑇 𝜕𝑦 𝜕𝑥 =𝑇𝑘𝐴𝑠𝑖𝑛𝑘 𝑥−𝑣𝑡   𝑣 𝑦 = 𝜕𝑦(𝑥,𝑡) 𝜕𝑡 =𝑣𝑘𝐴𝑠𝑖𝑛𝑘(𝑥−𝑣𝑡) 𝐹 𝑦 𝑣 𝑦 = 𝑇 𝑣 = 𝑑ış 𝑘𝑢𝑣𝑣𝑒𝑡 𝑦𝑒𝑟 𝑑𝑒ğ𝑖ş𝑡𝑖𝑟𝑚𝑒 ℎı𝑧ı 𝑍= 𝑇 𝑣 = 𝑇 𝑇 𝜇 = 𝑇 𝜇 𝑇 = 𝜇𝑇 𝜇 = 𝑍 𝑇 𝑇 𝑣 oranına KARAKTERİSTİK EMPANDS diyeceğiz ve 𝑍 ile göstereceğiz.

𝐶 𝐴 = 2 𝜇 1 𝜇 1 + 𝜇 2 (5a) 𝐵 𝐴 = 𝜇 1 − 𝜇 2 𝜇 1 + 𝜇 2 (5b) 𝜇 1 = 𝑍 1 𝑇 ve 𝜇 2 = 𝑍 2 𝑇 , (gerilimler eşit) Bu değerler (5a) ve (5b) denklemlerinde kullanırsak 𝐶 𝐴 = 2 𝑍 1 𝑍 1 + 𝑍 2   𝐵 𝐴 = 𝑍 1 − 𝑍 2 𝑍 1 + 𝑍 2 𝐶 𝐴 = 2 𝜇 1 𝜇 1 + 𝜇 2 (5a)   𝐵 𝐴 = 𝜇 1 − 𝜇 2 𝜇 1 + 𝜇 2 (5b) yazabiliriz. 𝐵 𝐴 oranına YANSIMA KATSAYISI 𝑅 12 = 𝐵 𝐴 = 𝑍 1 − 𝑍 2 𝑍 1 + 𝑍 2 𝐶 𝐴 oranına GEÇME KATSAYISI 𝑇 12 = 𝐶 𝐴 = 2 𝑍 1 𝑍 1 + 𝑍 2 Şimdi bazı özel durumlara bakalım.

Kusursuz dalga direnci (empedans) denkleşmesi.   Eğer 𝒁 𝟏 = 𝒁 𝟐 ise yansıyan dalga yoktur yani 𝑹 𝟏𝟐 =𝟎 dır. Geçirme katsayısı 𝑻 𝟏𝟐 =𝟏 olur. Burada 𝒁 𝟏 = 𝒁 𝟐 olması iki ortamın özdeş olmasını gerektirmediğine dikkat ediniz. Örneğin bu durum, aynı gerilme (T) ve aynı çizgisel kütle yoğunluğa sahip iki ipin birer uçlarının bir araya getirmesi ile mümkün olabilir. Başka bir yol ise , farklı gerilime (𝑻 𝟏 ve 𝑻 𝟐 ) ve farklı çizgisel kütle yoğunluğuna ( 𝜇 1 ve 𝜇 2 ) sahip, fakat 𝑇 2 𝜇 2 = 𝑇 1 𝜇 1 koşulunu sağlayan iki ipin birer uçlarını bir araya getirilmesidir.

Sonsuz Karşı Koyma   Eğer 𝒁 𝟐 𝒁 𝟏 sonsuz ise 𝑹 𝟏𝟐 =−𝟏 dir. 𝑻 𝟏𝟐 =𝟎 olur. Bu durumda 𝑥=0 noktası durgun kalır. 𝑥=0 'da gelen ve yansıyan dalgalar üst üste gelerek sıfır yer değiştirme ve sıfır hız verirler. Yukarıya doğru artı yer değiştirmeli bir gelen dalga pulsu yansımadan sonra aşağı yönelmiş eksi bir pulsa döner. 𝑥=0'da ipe etkiyen kuvvet kusursuz bitişteki ile aynı doğrultuda ancak kusursuz bir bitiş sağlamak için gerekli olandan iki kez daha büyük olur. Böylece gelen dalga ile eşit büyüklükte, eksi genlikli bir yansımış dalga oluşturur.

Sıfır Karşı Koyma   Eğer 𝒁 𝟐 𝒁 𝟏 =𝟎 ise ( 𝒁 𝟐 =𝟎), ipin 𝑥=0'daki ucu bir serbest uçtur. O zaman ipin eğimi 𝑥=0 noktasında sıfır kalır. Bu durumda 𝑹 𝟏𝟐 =𝟏 olur. İpin 𝑥=0'daki hızı, bu noktada kusursuz dalga direnci denkleşmesi olduğu zamanki hızın iki katına eşit olur. Artı yerdeğiştirmeli olarak gelen puls (veya dalga) yansıdıktan sonra da bir artı yerdeğiştirmeli puls (veya dalga) olarak geri döner.

Bu kavramları ses ve elektromanyetik dalgalarının yansımalarını anlamada da kullanacaksınız. ** Yansıma ve geçirme katsayıları arasında 𝑻 𝟏𝟐 =𝟏+ 𝑹 𝟏𝟐 (9) ilişkisinin olduğuna dikkat ediniz.

From high speed to low speed (low density to high density)

From low speed to high speed (high density to low density)

Yansıma ve Geçme Eğer bir atma, a ortamından b ortamına va>vb olacak şekilde (b , a’dan daha yoğun) ilerlerse atma yansıdığında ters döner. Tersi durumda ters dönmez!

Örnek Boyca kütle yoğunlukları 1 ve 2 olan iki ipin birer uçları x = 0 noktasında birleştirilmişlerdir. Diğer uçlar ise karşılıklı iki duvar arasında, T gerilimi altında, şekildeki gibi bağlanmıştır. Duvarlar arası mesafenin çok büyük olduğunu kabul ediniz. x x = 0 2 1 Boyca kütle yoğunlu 1 olan ipte A genliği ile sağa doğru ilerleyen   𝑦 𝐼 𝑥,𝑡 = 𝐴 cos 2𝜋  1 (𝑥− 𝑣 1 𝑡) dalgası 𝑥 = 0’daki bağlantı noktasına geldiğinde 𝐵 genlikli yansıyan bir dalga ve 𝐶 genlikli geçen bir dalga oluşmaktadır. Burada  1 gelen dalganın dalga boyu ve 𝑣 1 ise yayılma hızıdır.

Yansıyan 𝑦 𝑅 𝑥,𝑡 ve geçen 𝑦 𝑇 𝑥,𝑡 dalga fonksiyonlarını 𝑦 𝐼 𝑥,𝑡 dalga fonksiyonu formatında yazınız. İki ortamdaki dalga sayısı, hız ve frekanslar arasındaki ilişkiler:   𝑘 1 = 2𝜋  1 ; 𝑘 2 = 2𝜋  2 ; 2𝜋  1 𝑣 1 = 2𝜋  2 𝑣 2 =𝑤 Ortam değiştiğinde dalganın hızı ve dalga boyu değişirken frekansı sabit kalır.   Gelen dalga : +x yönünde 𝑦 𝐼 𝑥,𝑡 =𝐴𝑐𝑜𝑠 2𝜋  1 𝑥− 𝑣 1 𝑡 =𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑘 1 𝑥−𝑤𝑡 Yansıyan dalga : −x yönünde 𝑦 𝑅 𝑥,𝑡 =𝐵𝑐𝑜𝑠 2𝜋  1 𝑥+ 𝑣 1 𝑡 =𝐵𝑐𝑜𝑠 𝑘 1 𝑥+𝑤𝑡 Geçen dalga : +x yönünde 𝑦 𝑇 𝑥,𝑡 =𝐶𝑐𝑜𝑠 2𝜋  2 𝑥− 𝑣 2 𝑡 =𝐶𝑐𝑜𝑠 𝑘 2 𝑥−𝑤𝑡

b) Yansıma katsayısını 𝑅 12 = 𝐵 𝐴 ve geçme katsayısını 𝑇 12 = 𝐶 𝐴 ,  1 ve  2 cinsinden türetiniz. Sol taraftaki bileşke dalga : 𝑦 1 𝑥,𝑡 = 𝑦 𝐼 𝑥,𝑡 + 𝑦 𝑅 𝑥,𝑡 Sağ taraftaki bileşke dalga : 𝑦 2 𝑥,𝑡 = 𝑦 𝑇 𝑥,𝑡 𝑥=0 noktasında iplerdeki enine yer değiştirmeler eşit olmalıdır:   𝑦 1 0,𝑡 = 𝑦 2 0,𝑡 𝑦 𝐼 0,𝑡 + 𝑦 𝑅 0,𝑡 = 𝑦 𝑇 0,𝑡 𝐴𝑐𝑜𝑠 −𝑤𝑡 +𝐵𝑐𝑜𝑠 +𝑤𝑡 =𝐶𝑐𝑜𝑠 −𝑤𝑡 veya 𝐴𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡+𝐵𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡=𝐶𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 Buradan da, gelen, yansıyan ve geçen dalgaların genlikleri arasında 𝐴+𝐵=𝐶 (1) eşitliği elde edilir.

𝑥=0 noktasında ipler üzerindeki gerilme kuvveti (enine kuvvetler) eşit olmalıdır ve 𝑥=0 noktasındaki eğimler de eşit olmalıdır (tüm zamanlarda). Bu koşul   𝜕 𝑦 1 (𝑥,𝑡) 𝜕𝑥 𝑥=0 = 𝜕 𝑦 2 (𝑥,𝑡) 𝜕𝑥 𝑥=0 𝜕 𝑦 𝐼 (𝑥,𝑡) 𝜕𝑥 𝑥=0 + 𝜕 𝑦 𝑅 (𝑥,𝑡) 𝜕𝑥 𝑥=0 = 𝜕 𝑦 𝑇 (𝑥,𝑡) 𝜕𝑥 𝑥=0 −𝐴 𝑘 1 sin 𝑘 1 𝑥−𝑤𝑡 𝑥=0 −𝐵 𝑘 1 sin 𝑘 1 𝑥+𝑤𝑡 x=0 =−𝐶 𝑘 2 sin 𝑘 2 𝑥−𝑤𝑡 𝑥=0 −𝐴 𝑘 1 sin −𝑤𝑡 −𝐵 𝑘 1 sin(wt)=−𝐶 𝑘 2 sin (−𝑤𝑡) 𝐴 𝑘 1 sin 𝑤𝑡 −𝐵 𝑘 1 sin𝑤t=𝐶 𝑘 2 sin 𝑤𝑡  𝐴 𝑘 1 −𝐵 𝑘 1 =𝐶 𝑘 2 (2) Elde edilen (1) ve (2) denklemlerini yeniden yazarsak 𝐴+𝐵=𝐶 (1) 𝐴 𝑘 1 −𝐵 𝑘 1 =𝐶 𝑘 2 (2)   denklemini 𝑘 1 ile çarpalım ve 2- denklemi ile taraf tarafa toplayalım: 𝑘 1 𝐴+ 𝑘 1 𝐵= 𝑘 1 𝐶 + 𝑘 1 𝐴− 𝑘 1 𝐵= 𝑘 2 𝐶 2 𝑘 1 𝐴= 𝑘 1 + 𝑘 2 𝐶 Buradan 𝐶 𝐴 = 2 𝑘 1 𝑘 1 + 𝑘 2 (3) yazabiliriz .

 2  1 =0,  2  1 =1 ve  2  1 =∞ durumları için yansıma ve geçme katsayılarını hesaplayınız ve elde ettiğiniz sonucu yorumlayınız.

Dalgaların Üst-üste binmesi Ve Girişimi Birbirine göre zıt yönde hareket eden ve birbirine geçen iki dalga atması (b) ve ( c ) de olduğu gibi, Atmalar üst üste olduğu zaman net Yer değiştirme , atmaların yer Değiştirmeleri toplamına eşit olur. Her iki atma pozitif yer değiştirmeye sahip olduğundan onların üst-üste gelmesine yapıcı girişim adı verilir. a b c d e

Birbirine eşit göre fakat zıt yönde yer değiştirmeye Sahip ve zıt yönde hareket eden ve birbirine geçen iki dalga atması Atmalar üst üste olduğu zaman net yer değiştirme , ikisinin farkı kadardır. Her iki atmanın üst-üste gelmesine yıkıcı girişim adı verilir.