YATIRIM VE FİNANS TEORİSİ İNDİRGENMİŞ NAKİT AKIŞI YAKLAŞIMI CEVDET KIZIL İstanbul, 2007

Net Bugünkü Değer NBD yatırım değerlendirme yöntemi basit fakat temel bir ilkeye dayanır. Bu ilkeye göre bir yatırım için çıkan para giren paradan fazla olmasa dahi, en azından çıkan miktara eşit olmalıdır. Bu ilke ışığında A projesi yatırım yapmaya değer bir projedir. 500£ değerindeki bir çıktı, 600£ değerinde bir nakit girdisi yaratığına göre projenin net değeri +100£ dür.

Net Bugünkü Değer Bu tip doğrudan bir yaklaşım vasıtasıyla yatırım hususunda verilen karar sıfır veya pozitif net değeri olan tüm yatırımların kabul edilmesi ve negatif net değeri olan projelerin de reddedilmesi şeklinde olacaktır. Fakat bütünüyle farklı bir durum olduğunu farzedelim. Örneğin şu anda ödeyeceğiniz 500£ size ödemeyi yaptığınız anda 200 Fransız frankı, 200 Japon yeni ve 200 Alman markı kazandıracak diyelim. Bu tip bir teklif karşısında nasıl karar vermek gereklidir? Evvela bu teklifi değerlendirebilmek maksadıyla tüm para birimlerini ortak bir birime çevirip daha sonra karşılaştırmak lazımdır. İlaveten bütün değerlerin ortak bir dönemde değerlendirilmeleri şarttır. Bahse konu olan gerekliliğin nedeni ise paranın zaman değeridir.

İndirgeme Süreci Paranın zaman değeri hesaba, indirgeme süreci vasıtasıyla eklenir. Bu sürecin matematiksel bölümünde bileşik faiz formülüne başvurulur: A(1+r)n Ayrıca bu formülde A başlangıçta yatırılan miktar, r (yıllık) faiz oranı ve n de A parasının yatırımda tutulduğu yıl sayısını ifade eder. Daha önce sunduğumuz örnekte, bu üç değişken sırasıyla 100£, 0,06 ve 1’dir. Demek ki 12 ay süresince faizde tutulan 100£ aşağıdaki değere sahip olur: 100£ = (1+0.06)1 = 100£ + 6£ = 106£

İndirgeme Süreci İlaveten bahse konu olan bileşik faiz formülünü ters çevirerek 12 aylık dönem neticesinde 106£ elde etmek maksadıyla yatırılması gereken başlangıç miktarını da tespit edebiliriz: Sonuçta, her koşul için faiz oranının %6 olduğu düşünülürse, 12 aylık dönem neticesinde elde edilecek 106 sterlinin “bugünkü değeri” 100 sterlin ve 12 aylığına yatırılmış 100 sterlinin “son değeri” de 106 sterlin şeklinde gerçekleşecektir. Bunun gibi, %6 bileşik faiz oranıyla iki yıl için yatırılan 100£ aşağıdaki değeri sunacaktır: 100£ (1+0.06) (1+0.06) = 100£ (1+0.06)2 = 112.36£

İndirgeme Süreci İki yıl neticesinde elde edilecek olan 112.36 sterlinin bugünkü değeri ise: Demek ki iki yıl için yatırılan 100 sterlinin son değeri 112.36 sterlin ve iki yıl sonra elde edilecek 112.36 sterlinin bugünkü değeri de 100 sterlin olacaktır. Bu arada her koşul için de yıllık bileşik faiz oranı %6 olarak alınmıştır. Sonuçta, A miktarda paranın yıllık bileşik faiz oranı r iken n yıllığına son değeri ise A(1+r)n olacaktır. Bunun gibi, yıllık bileşik faiz oranı r iken n yıl sonunda elde edilen A miktarda paranın bugünkü değeri de A[1/(1+r)n] şeklinde gözlemlenecektir.

İndirgeme Süreci Son değer hesaplaması kapsamında, bir miktar para zaman içinde ileri doğru “birleştirilirken”, bugünkü değer hesabı kapsamında bir miktar para zaman içinde geriye doğru “indirgenmektedir”. Ayrıca bahse konu olan iki süreci birbirinden ayırabilmek maksadıyla, indirgeme sürecinde bileşik faiz oranına ıskonto oranı denmektedir. İlaveten, bugünkü değer formülü konusunda daha kolay bir ifade den de yararlanabiliriz: A(1+r)-n. Bahse konu olan koşulda, daha önceki örneğimi çerçevesinde, yıllık ıskonto oranı %6 iken 2 yıl sonra elde edilecek 112.36 sterlinin bugünkü değeri de şu şekilde olmalıdır:

İndirgeme Örneği NBD yönteminin işleyişine bakmak maksadıyla A Projesine tekrar göz atalım. Fakat bu kez, +100£ miktarında net değer verecek nakit akışlarını tespit etmek yerine, tüm nakit akışlarını bugünkü nakit akışı değerine çevirmemiz şarttır. %8’lik ıskonto oranı kullanıldığında, A Projesinin net bugünkü değeri 15.40£ olur: Bu analiz neticesinde A Projesinin yatırıma elverişli olduğunu anlıyoruz.

İndirgeme Örneği Aynı şekilde B Projesini de paranın zaman değerini hesaba katmadan değerlendirirsek giren nakit, çıkan nakitten 50£ fazladır, işte bu nedenle de projeye yatırım yapmak doğrudur. Fakat paranın zaman değerini göz önüne alıp %8 ıskonto oranını kullanarak nakit akışlarını bugünkü değerlerine indirgediğimiz zaman nakit çıkışının nakit girişinden yüksek olduğunu ve net değerin negatif olduğunu, bu nedenle de B Projesine yatırım yapmanın doğru olmadığını idrak ederiz.

NBD Karar Kuralı Bir yatırım projesinin net bugünkü değeri en iyi şekilde gelecekte sağlayacağı nakit akışlarının net indirgenmiş değerlerinin toplamı olarak tanımlanabilir: Formülü açıklarsak, At projenin t zamandaki nakit akışını ve r de yıllık ıskonto oranı yada paranın zaman değerini ifade eder. Eğer bahse konu olan formülden elde edilen sonuç sıfır veya pozitif ise şirketin projeye yatırım yapması uygundur diyebiliriz. Fakat negatif ise de projeye yatırım yapmak yanlış olacaktır. Bu arada NBD metodunun B Projesinin reddedilmesi gerektiği neticesine nasıl ulaştığına bakalım. B Projesi 1000£ değerinde bir masrafı şart koşmaktadır ve dört yıl süresince nakit akışı sağlayacak bir projedir. Fakat bahse konu olan 1000 sterlini B Projesine değil de örneğin %8’lik bir oranla faize yatırdığımızı varsayalım. 4 yıllık süre sonunda bu miktarın 1,000£ x (1+0.08)4= 1,360.50£ getirisi olacaktır.

NBD Karar Kuralı Şimdi de B Projesine yatırım yaptığımızı ve elimize ulaşan nakit parayı da faize yatırdığımızı varsayalım. Dört senenin sonunda elimize geçen nakit miktarı ne olacaktır? Cevap aşağıdaki tablodadır: Demek ki 1,000 sterlini 4 yıl için faize yatırdığımızda 1,360.50£ elde ediyoruz. Ayrıca 1,000 sterlinimizi B Projesine yatırdığımızda ve bu süre içinde gerçekleşecek tüm nakit akışını da faize yatırdığımızda dört sene sonunda elde edeceğimiz miktar sadece 1,125.25£ olacaktır. Sonuç olarak, bu iki seçeneğe bakarsak projeye yatırım yapmak istenen bir seçenek olmayacaktır.

NBD Üzerine Alternatif Yorumlamalar Burada örnek olarak farklı bir proje üzerine düşünelim. C Projesinin beklenen net nakit akışı aşağıda gösterilmektedir: C Projesine benzer bir yatırımın sermaye piyasasında sağlayacağı getiri diyelim ki %10. Bağlantılı olarak bu örnekte paranın zaman değeri ve NBD analizinde kullanılacak ıskonto oranı %10’dur. C Projesinin NDB’si de şöyle hesaplanır:

NBD Üzerine Alternatif Yorumlamalar C Projesinin NBD’si pozitiftir ve karar kuralını baz aldığımızda bu projeye yatırım yapılması doğrudur. Bu sonuçtan çıkarılabilecek üç yorum bulunmakta: t0’a göre, C Projesine yapılacak 100 sterlinlik bir yatırım, sermaye piyasasına yapılacak 100 sterlinlik bir yatırıma göre 11.56£ daha fazla getiri doğuracaktır. Demek k, 11.56 sterlinlik fark fazladan getiri veya ekonomik kâr ölçütüdür. C Projesinin NBD’si pozitif olduğundan sağladığı getiri kullanılan ıskonto oranı olan %10’dan yüksektir. C Projesine yatırılan 100£, %10 faizle borç alındıysa, projenin getirisi, hem faizi hem de borcu ödemeye yetecektir, üstelik bugünkü değeriyle 11.56£ da fazla kalacaktır.

NBD ve Yatırım-Tüketim Modeli A Projesi’ne tekrar bakalım. %8 faiz oranıyla projenin NBD’si +15.40 sterlin idi. Aynı koşulda B Projesinin NBD’si de -172.94 sterlindi. NBD hakkında şu ana dek çıkardığımız sonuçları baz alırsak, yukarıda verdiğimiz iki örnekten istifade ederek, A Projesi %8’le indirgendiğinde pozitif NBD verdiğini, diğer bir değişle getirisinin %8’den yüksek olduğunu; B Projesinin de %8’le indirgendiğinde negatif NBD verdiğini, iğer bir değişle getirisinin %8’den düşük olduğunu ifade edebiliriz. Bir işletme NBD kuralını kullanıyor ve bahse konu olan kurala paralel olarak piyasa faiz oranını ıskonto oranı olarak alıp sıfır veya pozitif NBD sunan bütün fiziksel yatırım fırsatlarına yatırım yapıyorsa, fiziksel yatırım çizgisinin finansal yatırım çizgisine teğet olduğu noktaya otomatik olarak gelecektir. İşletmenin bahsettiğimiz optimum noktanın ötesinde fiziksel yatırım yapması halinde bu projelerin getirisi piyasanın faiz oranının altında kalacak ve dolayısıyla da NBD’leri negatif olacaktır. İşletmelerde yatırıma karar veren birimler NBD karar kuralı ışığında hareket ediyor ve yalnızca NBD’si sıfır veya pozitif olan projelere yatırım yapıyorsa, işletmenin fiziksel yatırım çizgisinde optimum noktaya yerleşmesi kesinleşecektir.

Grafiksel Yorum NBD kavramına getirilen dördüncü yorumun doğuşunu buradan görebiliriz. Herhangi bir yatırım üstlenmediği durumda işletme kaynaklarının toplam değeri AO’dur. Eğer t1 zamanında OC elde etmek için AD miktarında yatırım yapılırsa, işletmenin değeri OE’ye yükselir. İşte bu nedenle fiziksel yatırım çizgisinde P noktasına erişebilmek amacıyla gereken yatırımları üstlenildiğinde, üstlenilen yatırımların NBD’sini gösteren işletmenin cari değeri AE’de, yani hisse sahiplerinin servetinde, bir yükselme olacaktır. Sonuçta diyebiliriz ki bir projenin net bugünkü değeri, proje kabul edildiğinde hisse sahiplerinin servetinde oluşacak değişim miktarını ifade etmektedir.

Grafiksel Yorum İşletme şart olandan düşük yatırım yapıp X noktasında veya şart olandan yüksek yatırım yapıp Y noktasında yada optimal yatırım düzeyine erişip Z noktasında konumlanmışsa; her durumda, işletmenin yatırım kararlarından sağladığı NBD’lerin toplamı yatay eksen üzerinde fiziksel yatırım çizgisiyle işletmenin bulunduğu noktadan geçen finansal yatırım çizgisi arasındaki mesafeye eşit olacaktır: Bunlar sırasıyla AB, AC ve AD’dir. Ayrıca bahse konu olan grafik analizi piyasa faiz oranındaki dalgalanmaların etkilerini analiz etmek maksadıyla da kullanılabilir.

İVO Modeli Bir projenin İVO’su, projenin nakit akışına uygulandığında sıfır NBD sonucunu veren ıskonto oranı olarak tarif edilebilir. Bu da demek oluyor ki NBD metodunun aritmetik bir neticesi olarak da değerlendirilebilir. Sonuçta, İVO aşağıdaki ifadeyi sağlayan r değeridir: Nakit akışlarının yalnızca iki döneme yayıldığı, E tipinde çok basit bir proje için İVO, basit cebir işlemleri vasıtasıyla hesaplanabilir: Yıl Nakit Akışı 0 + 200£ 1 + 218£ -200 + 218 = 0 1+r iken E Projesi’nin İVO’su r’ye eşittir.

İVO Modeli İki tarafı da (1+r) ile çarptığımızda da: -200 + (1+r) + 218 = 0 sonucunu buluruz. Bu ifadeyi düzenlediğimizde ise: 218 – 200 = 200r 18 = 200r 18 = r = 0.09 yada %9 200 şeklini alır. Demek ki E Projesinin nakit akışları %9 iskonto oranıyla indirgenirse, NBD’si sıfır olacaktır:

İVO Modeli Nakit akışları üç değişik periyotta; t0, t1, t2; gerçekleşen, biraz daha komplike bir projede, F Projesinde, İVO’yu ikinci dereceden bir denklem vasıtasıyla yine kolayca hesaplayabiliriz: Yıl Nakit Akışı 0 - 100£ 1 + 60£ 2 + 55£ Denklemin iki tarafını da (1+r)2 ile çarpmamız durumunda 1+r’yi yalnız bırakarak ikinci dereceden bir denklem elde edebiliriz. Bu denklemi de ikici dereceden denklem formülü vasıtasıyla çözebiliriz:

Doğrusal Enterpolasyon/İç Değerleme Yoluyla İVO Tahmini Bir yatırım projesinin İVO’su için uygun bir tahmin doğrusal enterpolasyon olarak bilinen matematiksel yöntem vasıtasıyla da bulunabilir. F Projesi’ne tekrar bakalım. Projenin İVO’sunun %10 olduğunu bulduysak da doğrusal enterpolasyonu kullanarak bir tahmin yürütmeye gayret edelim. F Projesinin nakit akışlarına değişik iskonto oranı dizileri uygulandığında elde edilen NBD’ler bir grafik üzerinde işaretlenebilir. Projenin İVO’sunun NBD profilinin yatay ekseni kestiği noktada verildiğini rahatlıkla fark edebiliriz.

Doğrusal Enterpolasyon/İç Değerleme Yoluyla İVO Tahmini Kullanılan yaklaşım projenin nakit akışına uygulandığı vakit biri pozitif NBD, biri ise negatif NBD sunan iki ıskonto oranı seçilmektedir. Gerekli pozitif ve negatif NBD’leri elde edebilmek amacıyla bir düşük, bir de yüksek iskonto oranı kullanmak gerekir. İskonto oranlarını %4 ve %20 olarak aldığımızda ise F Projesinin NBD’si aşağıdaki şekilde bulunabilir:

Doğrusal Enterpolasyon/İç Değerleme Yoluyla İVO Tahmini İskonto oranlarını %8 ve %12 şeklinde aldığımızda ise, doğrusal enterpolasyonun sunacağı F Projesi’nin İVO tahmini aşağıdaki şekilde olacaktır: % 8 iskonto oranında : + 2.70 NBD %12 iskonto oranında : - 2.58 NBD En nihayetinde bulunan sonuç gerçek İVO’ya daha yakındır. Fakat yatırım değerlendirme amaçlarının çoğu için gerçeğe yakınlığı yüksek bir İVO tahmini ispatlanamaz ve yukarıdaki hesap neticesinde bulduğumuz İVO tahmini yeterli olacaktır.

İVO Karar Kuralı Peki karar verirken hakikaten neye dikkat edilmesi gerekir? Yalnızca İVO’su önceden tespit edilmiş kesme oranının üzerindeki veya bu noktaya eşit olan projeler kabul edilmelidir. Bu kesme oranı çoğunlukla piyasa faiz oranı olarak tespit edilir. Diğer bütün yatırım projesi fırsatları reddedilmelidir. Aslında İVO karar kuralının temelinde yer alanlar NBD’ninkine benzer. Piyasa faiz oranı söz konusu sermayenin fırsat maliyeti’ne işaret eder. Demek ki bir projenin kabul edilebilir durumda bulunması için, kullanılan sermayenin piyasada değişik bir şekilde değerlendirildiğinde sağlayacağı getiriyle en azından eşit getiri sunması şarttır.

İVO ve Yatırım-Tüketim Modeli Aynen NBD metodunun tek dönemli yatırım-tüketim modeline uyum sağlaması şeklinde, İVO da bu modele uygundur. İç verim oranı yatırım değerlendirme kuralı, NBD gibi, işletmenin fiziksel yatırım çizgisi üzerince optimum noktaya konumlanmasını sağlayacaktır.

Özet Paranın bir zaman değeri olduğu gerçeği farklı periyotlarda meydana gelen nakit akışlarının birbirleriyle doğrudan karşılaştırılamayacağı, önce belirlenen tek bir döneme çevrilmeleri gerektiği anlamını taşır. NBD karar kuralı ışığında: Projenin NBD’si ≥ 0 ise proje kabul edilir. Projenin NBD’si < 0 ise proje reddedilir. NBD’nin anlamı konusunda değişik yorumlar yapılsa dahi, en önemlisi projenin NBD’sinin büyüklüğü, projenin kabul edilmesi durumunda hisse sahibinin servetinde oluşacak muhtemel artış üzerinedir. Hirshliefer analizinde, NBD karar kuralının işletmeyi fiziksel yatırım çizgisi üzerinde optimum noktaya konumlandırdığı gözlemlenmiştir. NBD ve hisse sahibinin serveti arasındaki ilişki de bu analiz neticesinde ortaya çıkmıştır.

Özet Bir projenin iç verim oranı (İVO), projenin nakit akışlarına uygulandığında sıfır NBD sunan iskonto oranıdır. İşte bu nedenle de aritmetik bir sonuçtur. İVO karar kuralını baz aldığımızda: Projenin İVO’su > karar ölçütü veya “kesme oranı” ise, proje kabul edilir, Projenin İVO’su < karar ölçütü ise, proje reddedilir. Aynı NBD’de olduğu gibi İVO karar kuralının kullanımı da işletmeyi fiziksel yatırım çizgisi üzerinde optimum noktaya konumlandıracaktır. Geri ödemenin hızının nakit akışını bugünkü değeri üzerinden hesaplandığı indirgenmiş geri ödeme, NBD’nin yapay bir süre limiti ilave edilmiş, basit bir türevi olarak algılanmaktadır.