Lineer cebrin temel teoremi-kısım 1 Hatırlatma Lineer cebrin temel teoremi-kısım 1 Amxn A’nın sütun uzayı= R(A); boyutu r A’nın sıfır uzayı=N(A); boyutu n-r A’nın satır uzayı=R(AT) ; boyutu r A’nın sol sıfır uzayı=N(AT); boyutu m-r

Sol ters ve sağ ters-varlığı Hatırlatma Sol ters ve sağ ters-varlığı A’nın sol tersi varsa A’nın sağ tersi varsa A’nın hem sağ hem de sol tersi varsa

Varlık ve teklik teoremi Hatırlatma Varlık ve teklik teoremi Varlık: Ax=b’nin her b için en az bir çözümü x vardır A’nın sütunları Rm ‘i örter Bu durumda r=m’dir ve ve AC=Imxm sağlayan A’nın nxm boyutlu sağ tersi vardır. Bu durum m≤n ise mümkündür.

Teklik: Ax=b’nin her b için en çok bir çözümü x vardır Hatırlatma Teklik: Ax=b’nin her b için en çok bir çözümü x vardır A’nın sütunları lineer bağımsız Bu durumda r=n’dir ve ve BA=Inxn sağlayan A’nın nxm boyutlu sol tersi vardır. Buyuk olan buyuk esit olacak Bu durum m>n ise mümkündür.

Sağ ve sol tersleri bulmanın yolu Hatırlatma Sağ ve sol tersleri bulmanın yolu UNUTMA C’yi duzelteceksin

Bir örnek… Varsa sol ve/veya sağ terslerini bulunuz

Graf Teorisi

Leonard Euler (1707-1783) 1736’da Königsberg’in yedi köprüsü problemini graf teorisinden yararlanarak çözdü

Bir başka problem: Gezgin satıcı problemi A,B,C,D şehirleri arasındaki mesafe bilinmektedir. A şehrinden başlayıp tüm şehirlere uğradıktan sonra A şehrine dönülecek en kısa güzergah nedir?

Bir graf nasıl tanımlanır? 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 düğüm kümesi çizgi kümesi

Grafa ilişkin bir matris 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Bağlantı matrisi (incidence matrix)

Bağlantı matrisine ilişkin dört alt uzay Bu dört alt uzay neler? Sıfır uzayı Sütunların toplamına dikkat edin

Bağlantı matrisinin sütun uzayı ‘nin çözümü olması için b’nin sağlaması gereken koşul ne? Bunları nasıl yazdık? ‘nin rankı için ne diyebilirsiniz?

Sütun uzayının boyutu kaç?

Bağlantı matrisinin sol sıfır uzayı Hangi satırların kombinasyonu sıfır satır vermekte? aynı zamanda ‘ı sağlayan vektörleri de belirliyor İpucu burada

vektörler sol sıfır uzayının bazları 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Sol sıfır uzayının baz vektörlerini grafa bakarak belirlemek mümkün çevreleri tanımlayan vektörler sol sıfır uzayının bazları

bir soru: olduğunu gösteriniz

Bağlantı matrisinin satır uzayı Bunu da grafa bakarak belirlemek mümkün 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Ağaç ‘nin çözümlerinin olması için f ’in sağlaması gereken koşul ne?

bir soru: olduğunu gösteriniz

dimR(A)=n-1 ve herhangi n-1 sütun lineer bağımsız Bir grafa ilişkin bağlantı matrisinin özellikleri dimN(A)=1 ve dimR(A)=n-1 ve herhangi n-1 sütun lineer bağımsız dimR(AT)=n-1 ve herhangi bir ağaca ilişkin satırlar lineer bağımsız dimN(AT)=m-n+1 ve çevrelere ilişkin sütunlar baz vektörlerini oluşturur

Graf devre grafı ise….. 1 3 2 5 4 6 KAY KGY

Lineer Dönüşümler Lineer dönüşüm

Döndürme döndürme işlemi yapan matris uzayı orijin etrafında döndürür θ

Yansıtma yansıtma işlemi yapan matris vektörün ayna görüntüsünü oluşturur. θ

İzdüşürme izdüşürme işlemi yapan matris uzayı daha küçük dereceli bir alt uzaya taşır θ

Türev ve İntegral alma da lineer dönüşüm ….. Üçüncü derece çok terimliler için bir baz

Bir örnek…..