MATEMATİK PROJE ÖDEVİ Adı-Soyadı:Nihat ELÇİ Sınıfı-Numarası:7/C 1057 Öğretmeni:Erkan KARAR Konu: DENKLEMLER VE DOĞRU GRAFİKLERİ

ÜNİTE-3 Matematiksel İfadeler Ör.1 : 6’ın 3 fazlası 6+3 74’ün 43 eksiği 74-43 şeklinde yazılır -5’in 17 katı (-5) x 17 12’nin yarısı 12:2 Bir sayının belirtilen bir sayı kadar fazlasını,eksiğini,katını,kesrinin veya birkaç tanesini içeren ifadeleri sayı ifadelere sayı ifadeleri yada matematiksel ifadeler denir. Matematiksel (sayı) ifadeleri yazarken işlem işaretleri,harfleri, rakamları ve sembolleri kullanılır.

ÜNİTE-3 MATEMATİKSEL İFADELER Matematikteki işlemleri yapmak için; fazlası, eksiği, yarısı... gibi ifadeleri yazmakta kullandığımız ifadelere matematiksel ifade denir. Bu ifadeleri matematik sembolleri ile yazmaya da sayı ifadelerini yazma denir. ÖRNEK: 9’un 2 fazlasının 4 katı, 44’tür.  4(9 + 2) = 44 ÖRNEK: 20 : 2 = 10  20’nin yarısı 10’a eşittir. ÖRNEK: 17’nin 7 eksiğinin beşte biri 2’dir. ÖRNEK: 6.7 + 8 = 50 ÖRNEK: 20’nin ½ katının 5 eksiği, 5’tir. ÖRNEK: 4 ( 30 – 5 ) = 100 NOT: Her sayı ifadesinin sayısal bir değeri vardır.

ÖRNEK:Aşağıdaki ifadeleri matematik diline çeviriniz? Sayı ifadelerinde, sayılardan biri bilinmiyorsa, bilinmeyen sayı harfle gösterilerek yazılır. ÖRNEK: n bir tam sayı olsun. Bu sayının 10 katının 2 eksiği; 10n – 2 ÖRNEK: k bir rasyonel sayı olsun. Bu sayının 3/2 fazlasının dörtte biri; ( k + 3/2 ) / 4 NOT: Matematikte şekillerin çevre ve alanları ile fen bilimlerinde formüller sayı ifadeleri şeklinde Bu ifadelerde bilinmeyenin değeri değiştikçe, sayı ifadesinin değeri de değişir. yazılır Ç=a + a + a Ç=a+a+a+a Ç=a+a+a+a +a+a Ç = a + b + b Ç = 3.a Ç=a+a+a+a+a Ç= 4.a Ç=5.a Ç = a+b+a+b Ç = 2.b + a Ç=6.a Ç = 2 . ( a + b ) ÖRNEK:Aşağıdaki ifadeleri matematik diline çeviriniz? Hangi sayının 3 fazlası 10 dur. Sayının 2 katının 3 eksiği 15 ise, bu sayı kaçtır.

Harfli ifadeler 5x 2y,6xy,2ab,4a,7x 2y2 gibi ifadelere harfli ifadeler denir. 5x 2y ifadesinde 5’e kat sayı denir.Bu ifade x’e göre 2.dereceden, y’ye göre 3.derecedendir. Harfli ifadede kat sayı, harfin kendisiyle kaç defa toplanacağını gösterir. 9a 2b, 15a 2b, a2b, 3a 2b gibi harfleri ve harflerinin Kuvvetleri aynı olan harfli ifadelere benzer terim denir.

HARFLİ İFADELERDE DÖRT İŞLEM 1)Toplama ve çıkarma işlemleri Harfli ifadeler toplanırken benzer terimlerin kat sayıları toplanır. Bulunan sonuç benzer terimin yanına çarpım olarak yazılır. Örnekler: 8a + 5a-7a (8+5-7)a= 6a 6x + 2y + x2y + 3x 2y (6+1+3)x2y = 10 x2y 9 mn2 5mn2 + mn2 (9-5+1)mn2 = 5mn2 2)Çarpma işlemi Harfli ifadelerde çarpma yapılırken; Kat sayılar çarpılıp kat sayı olarak yazılır. Aynı harflerin üsleri toplanıp, o harfle üs olarak yazılır. Aynı olmayan harfler ise aynen yazılır.

Örnekler: (-3 x2y) . (2x y3) = -6x 3y4 6 mn . 3 m2np= 18 m3 n2p -3a . (a2x + b) = -3a3x – 3ab

ÖNERME – AÇIK ÖNERME Kesin olarak, doğru yada yanlış bir hüküm belirten ifadelere önerme denir. ÖRNEK: Üçgenin iç açıları toplamı 1800’dir. ÖRNEK: Osmanlı Devleti’nin kuruluşunun 700.yılındayız. ÖRNEK: İzmir, Karadeniz bölgesindedir. ÖRNEK: 14 + 5 > 13 ÖRNEK: 32 < 4.2 İçindeki değişkenin (bilinmeyenin) alacağı değere göre doğruluğu veya yanlışlığı kesinleşen önermelere açık önerme denir. ÖRNEK: 12a + 5 < 0 önermesi; a = 1 için yanlış önerme, a = -1 için doğru önerme olduğu için bu önerme açık bir önermedir. ÖRNEK: 5b – 7 + 10:2 ifadesi; bir sayı ifadesidir. Açık önerme değildir.

Denklemler İçindeki değişkenin (bilinmeyenin) bulunan veya bilinmeyenin aldığı özel değer için doğruluğu sağlanan eşitliklere denklem denir. Not:denklemlerin bilinmeyenlerine x,y,a,t,m,n gibi herhangi bir harf yazalır. Örnek: a) 17-x : 4 denklemlerinde bir cins bilinmeyen kullanıldığından bilinmeyen sayısı 1 ve bu bilinmeyenin üssü (derecesi) de 1’dir. b) y-a : 6 denkleminde bilinmeyen sayı 3,üssüde 1’dir.

1. DERECEDEN 1 BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER İçinde bilinmeyen bulunan ve bilinmeyenin bazı değerleri için doğru olan eşitsizliklere denklem denir. Denklemi sağlayan bilinmeyenin değerine o denklemin kökü ya da kökleri denir. Denklemin kökünü veya köklerini bulmak için yapılan işleme denklemi çözme; kök veya köklerin oluşturduğu kümeye ise çözüm kümesi denir. Denklem; içindeki bilinmeyen sayısı ve bilinmeyenin üssüne göre adlandırılır. O HALDE; 5x – 5 = 15, y + 2 = 6 açık önermeleri bir bilinmeyenli birinci dereceden bir denklemdir. 2x + y = 9 açık önermesi iki bilinmeyenli birinci dereceden bir denklemdir. x + y + z = 4 açık önermesi üç bilinmeyenli birinci dereceden bir denklemdir. x² - 9 = 16 açık önermesi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir.

İçinde bir tane bilinmeyeni bulunan ve üssü bir olan denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir. Genel olarak; a,b,c Є R ve a ≠ 0 olmak üzere ax + b = c şeklinde gösterilen denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. DENKLEM ÇÖZÜMÜNDE BİLİNMESİ GEREKEN ÖZELLİKLER 1. Bir eşitliğin her iki yanına aynı reel sayı eklenirse, eşitlik bozulmaz. Bu özeliğe; eşitliğin toplama kuralı denir. 2. Bir eşitliğin her iki yanı da sıfırdan farklı aynı reel sayıyla çarpılırsa, eşitlik bozulmaz. Bu özeliğe; eşitliğin çarpma kuralı denir. 3. Bir eşitliğin her iki yanı da sıfırdan farklı aynı reel sayıya bölünürse, eşitlik bozulmaz. Bu özeliğe; eşitliğin bölme kuralı denir. 4. Bir denklemde herhangi bir terimi eşitliğin bir tarafından diğer tarafına geçirerek işlem yapmak gerekiyorsa; geçirilen terimin işareti değiştirilir.

Pratik Çözüm Bir denklemi pratik çözmek için ; Bilinmeyenler eşitliğin bir yanında, bilinenler eşitliğin diğer yanında toplanır. Eşitliğin bir yanından diğer yanına geçen terimin işareti değişir. Her iki yanda toplama çıkarma işlemleri yapılır ve her iki yan bilinmeyenin katsayısına bölünerek bilinmeyen yalnız bırakılır. Denklem çözülmüş olur.

ÖRNEKLER 1. x + 6 = 10 denkleminin çözüm kümesini bulalım: Çözüm: x + 6 = 10 denkleminde (+6) nın toplama işlemine göre ters elemanı olan (-6), eşitliğin her iki yanına eklenirse eşitlik bozulmaz. Buna göre; x + 6 = 10 x + 6 + (-6) = 10 + (-6) x + 0 = 4 x = 4 olur. Ç = {4} olur. Verilen bir denklemin çözümünün doğru yapılıp yapılmadığının araştırılmasına, denklemin sağlaması denir. Bulunan kök, denklemde yerine yazılarak denklemin sağlaması yapılır böylece bulunan kökün doğruluğu kontrol edilir. 4 sayısının x + 6 = 10 denklemini sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim: x = 4 için x + 6 = 10 4 + 6 =10 10 = 10 olduğundan çözüm doğrudur. x + 6 = 10 x = 10 – 6 x = 4 ve Ç = {4} tür.

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ EŞİTSİZLİKLER EŞİTSİZLİK KAVRAMI Aşağıdaki çıkarma işlemlerini inceleyiniz. (+6)-(+4)= (+6)+(-4)= +2 (+7)-(-3)= (+7)+(+3)= +10 (-4)-(-12)= (-4)+(+12)= +8 (+3)-0= +3 Yukarıdaki çıkarma işlemlerinin sonuçları pozitif sayılardır.İki sayının farkı pozitif ise eksilen sayı, çıkan sayıdan büyüktür. O halde, +6>+4 +7>-12 -4>-12 +3>0 biçiminde yazılır. Not: x ve y reel saylıları için, (x,y) farkı pozitif ise x>y’ dir.

Aşağıdaki çıkarma işlemlerini inceleyiniz Aşağıdaki çıkarma işlemlerini inceleyiniz. (-5)-(-3)=(-5)+(+3)= -2 (+4)-(+6)= (+4)+(-6)= -2 (-5)-(+7)= (-5)+(-7)= -12 0-(+2)= 0+(-2)= -2 Yukarıdaki işlemlerinin sonuçları negatif sayılar alır. İki sayının farkı negatif ise eksilen sayı çıkan sayıdan küçüktür. O halde, -5<-3 +4<+6 -5<+7 0<+2 biçiminde yazılır. Not: X ve y reel sayıları için (x-y) farkı negatif ise x<Y’DIR. Yukarıdaki örneklerde çıkarma işleminin sonucu sıfır olsaydı, sayılar birbirine eşit olurdu. Not: <, >, ≤, ≥ sembolleri ile yazılan örneklere eşitsizlik denir.

Aşağıdaki çıkarma işlemlerini inceleyiniz Aşağıdaki çıkarma işlemlerini inceleyiniz. (-5)-(-3)=(-5)+(+3)= -2 (+4)-(+6)= (+4)+(-6)= -2 (-5)-(+7)= (-5)+(-7)= -12 0-(+2)= 0+(-2)= -2 Yukarıdaki işlemlerinin sonuçları negatif sayılar alır. İki sayının farkı negatif ise eksilen sayı çıkan sayıdan küçüktür. O halde, -5<-3 +4<+6 -5<+7 0<+2 biçiminde yazılır.

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ EŞİTSİZLİKLERİN ÇÖZÜMÜ Not: içinde birinci dereceden bir bilinmeyen bulunan eşitsizliklere birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler denir. 2X+3>5, -3X+4≤6, 4X-5≥-7, X-6<0 Açık önermeleri birinci dereceden bir bir bilinmeyenli eşitsizliklerdir. Not: Eşitsizliği sağlayan elemanlara bulma işlemine eşitsizliği çözme, bunların kümesinde eşitsiziliğin çözüm kümesi denir. X=-1denklemi ile X>-1 eşitsizliğinin reel sayılar kümesindeki çözümlerini bulup karşılaştıralım. X=-1 ise X>-1 ise Ç=(-1) olur Ç=(-1den büyük reel sayılar)olur. Çözüm kümelerini sayı doğrusunda gösterelim. -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 Yukarıda görüldüğü gibi bir bilinmeyenli denklemin çözüm kümesinin bir elemanı olduğu halde eşitsizliğin çözüm kümesinin eleman sayısı sınırsızdır.

1. X>+3 eşitsizliğin çözüm kümesi Ç=(3ten büyük reel sayılar) denir 1. X>+3 eşitsizliğin çözüm kümesi Ç=(3ten büyük reel sayılar) denir. -2 -1 0 1 2 3 4 +3, çözüm kümesinin elemanı değildir. +3E Ç 2. X<-2 eşitsizliğin çözüm kümesi; Ç= (-2den küçük reel sayılar) dır. -4 -3 -2 -1 0 1 2 Ç = (+2 ve +2 den büyük real sayılar) dır.

-2 -2 -1 0 1 2 3 3.X≤+1 eşitsizliğinin çözüm kümesi ; Ç=(+1 ve +1 den küçük reel sayılar) dır. -2 -2 -1 0 1 2 3 +1 çözüm kümesinin elemanlarıdır. +1 E Ç +2 çözüm kümesinin elemanı değildir. +2 E Ç Bir bilinmeyenli eşitsizliklerin çözümünde de bir bilinmeyenli denklemlerin çözümünde olduğu gibi bazı kurallar vadır. TOPLAMA KURALI 4>-1 eşitsizliğinin her iki yanını +2 ile toplayalım 4>-1 = 4+ 2> -1 + 2 6>1 olur.

Birinci Derece 2 Bilinmeyenli Denklemlerin Çözümü a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 Denklem sistemini çözerken genelde iki yöntem kullanılır. 1)Yok Etme Metodu Bilinmeyenlerden birinin kat sayıları,toplamaya göre birbirinin tersi olacak şekilde denklemlerin kat sayıları genişletilir veya sadeleştirilir.Denklemler taraf tarafa toplama işlemi yapılarak bilinmeyenlerden biri yok edilir. UYARI: İki bilinmeyenli denklemlerin çözüm kümessi yazılırken önce x sonra y yazılır. Ç= [(x,y)]

2)Yerine Koyma Metodu a1x + b1y = c1 a2x + b2 y = c2 Denklem sisteminde, denklemlerin birinde değişkenlerden birinin değeri diğer denklemde yerine yazılarak bir bilinmeyenli denkleme dönüştürülüp değişkenlerden biri bulunur. Bulunan bu değişken denklemlerden birinde yerine yazılarak ikinci değişken de bulunur. Örnek:: x – y = 5 2x + y = 4 denklem sisteminin çözüm kümesi nedir?

Çözüm:: I. Denklemde y değerini x’ e bağlı olarak bulalım. x – y = 5 ise y = x – 5 2x + y = 4 2x + x – 5 = 4 3x – 5 = 4 3x = 4 + 5 3x = 9 x = 3 y = x – 5 ( denkleminde x yerine 3 yazalım.) y = 3 – 5 y = -2 Ç = {(3, -2)}

Denklem Kurarak Problem Çözümü Verilen problemin , matematik ifadeleriyle yazılmasına denklem kurma denir. Denklem kurarken, karşımıza çıkan birbirinden farklı bilinmeyenlerin her biri için değişik semboller kullanılır. ( +, -, x, : ) gibi matematiksel işaretleriyle de bilinmeyenler arasında bağıntı kurularak, verilen ifadeler, denklem şeklinde yazılır. Aşağıda verilenleri matematiksel ifadeler şeklinde yazalım. _ Bir sayının 5 fazlası : x + 5 _ Bir sayının 2 eksiği : x – 2 _ Bir sayının 3 katı : x . 3 _ Bir sayının 5’ si : x . 5 7 7 _ Bir sayının 10 fazlasının 3 katı : ( x + 10 ) . 3

_ Bir sayının 4 eksiğinin 3’ i : ( x – 2 ) . 3 5 5 _ Bir sayının küpünün 5 katı : 5x 3 _ İki sayının toplamı : x + y _ İki sayının farkı : x – y _ İki sayının kareleri toplamı : x2 + y2 _ İki sayının toplamının karesi : ( x + y )2 Problem Çözmek Problem çözmek için yapılacak işler : 1) Problemi çok iyi anlayıncaya kadar okumalı. 2) Problemdeki ilişkileri matematik diline çevirmeye yetecek kadar bilinmeyen seçmeli. 3) Problemin sözlü ifadesini, bilinmeyenler arasındaki denklemlerle yazmalı. 4) Yazılan denklemleri çözerek arananları bulmalı.

Uyarı:: Problemlerde, bilinmeyen sayının mümkün olduğu kadar az olması için, birbiri cinsinden yazılabilecek bilinmeyenler varsa, bu bilinmeyenler birbiri cinsinden ifade edilmelidir. Çözümlü Problemler 9 eksiğinin 4 katı 96 olan sayı kaçtır? A) 15 B) 24 C) 33 D) 36 Çözüm:: Sayımızın adı kayıp adam olsun. 4 . ( kayıp adam – 9 ) = 96 kayıp adam – 9 = 96 : 4 kayıp adam – 9 = 24 kayıp adam = 33 olur.

Örnekler:: Ardışık üç çift doğal sayının toplamı 162 ise bu sayıların en büyüğü kaçtır? A) 50 B) 52 C) 54 D) 56 Çözüm :: Önce ki soruyu çözdüğümüz gibi kayıp adamımız varmış gibi çözelim bu sefer adı x olsun. Ardışık çift doğal sayıların arasında 2 şer fark olacağından 1. sayı = x 2.sayı = x + 2 3.sayı = x + 4 162 = 3x + 6 3x = 162 – 6 3x = 156 x = 156 : 3 x = 52 ( 1. sayı ) O zaman büyük sayı = x + 4 = 52 + 4 = 56

Emre cebindeki paranın 4’ unu harcadıktan sonra 9 geriye 75 YTL’ si kalıyor. Emre’ nin parasının tamamı kaç liradır? A) 100 B) 115 C) 135 D) 150 Çözüm:: Paranın tamamı x lira olsun. x – 4x = 75 1 9 (9) 9 x – 4x = 75 5x = 75 9 9 9 5x = 75 . 9 5x = 675 x = 135 YTL