MED 167 Making Sense of Numbers Değişkenlik Ölçüleri

DEĞİŞKENLİK ÖLÇÜLERİ Değişkenlik ölçüleri (measures of variation): Elimizde 2 tane gözlem olduğunu düşünelim. BİRİNCİ GÖZLEMİKİNCİ GÖZLEM X 1 = 10Y 1 = 2 X 2 = 12Y 2 = 8 X 3 = 15Y 3 = 15 X 4 = 18Y 4 = 22 X 5 = 20Y 5 = 28 ∑X = 75∑Y = 75 Ortalama = 15 Ortalaması aynı olan iki gözlemimiz var. Ancak bu ortalama verisi, bize gözlem değerleri hakkında yeterli bilgiyi vermiyor. En düşük ve en yüksek gözlem değerleri birbirinden çok farklı.

DEĞİŞKENLİK ÖLÇÜLERİ Örnekte de görebileceğimiz gibi ortalamaların yanılgı payını azaltmak, gözlem değerlerinin nasıl dağıldığı hakkında fikir vermek için değişkenlik ölçüleri kullanılır. Bu ölçüler bize gözlemlerin ortalamadan ne kadar saptığını gösterir. En basit değişkenlik ölçüsü, “Değişim Aralığı”dır (Range). Gözlem değerlerinin en yükseği ile en düşüğü arasındaki fark, değişim aralığıdır.

Değişim Aralığı Örneğimizdeki değişim aralıklarını bulalım: BİRİNCİ GÖZLEMİKİNCİ GÖZLEM X 1 = 10Y 1 = 2 X 2 = 12Y 2 = 8 X 3 = 15Y 3 = 15 X 4 = 18Y 4 = 22 X 5 = 20Y 5 = 28 ∑X = 75∑Y = 75 Ortalama = 15 Birinci Gözlem: Range X = 20 – 10 = 10 İkinci Gözlem: Range Y = 28 – 2 = 26 Ortalamaları aynı olsa da, sadece değişim aralığına bakarak iki gözlemin özdeş olmadığını anlayabiliriz. Değişim aralığı yüksek olan gözlem serilerinde, ortalamanın önemi azalır. Değişim aralığı bize daha çok fikir verir.

Ortalamadan Sapma Toplumsal olaylarla ilgili gözlemlerde, interval (aralıklı) ölçümlerin yapıldığı anketlerde değişim aralığı fazla işimize yaramaz. Çünkü, değişim aralığı sadece en düşük ve en yüksek gözlemi hesaba katar. Eğer her bir gözlemi işin içine katabileceğimiz bir değişkenlik ölçümüz olursa, elimizdeki serinin dağılımı hakkında daha güvenilir bilgi verebilecek bir sonuca ulaşırız.

Ortalamadan Sapma Her bir gözlemin tek tek ortalamadan farkına bakabiliriz. Örneğimizdeki birinci gözlem için bunu hesaplayalım: BİRİNCİ GÖZLEMOrtalamadan Sapma X 1 = 1010 – 15 = -5 X 2 = 1212 – 15 = -3 X 3 = 1515 – 15 = 0 X 4 = 1818 – 15 = 3 X 5 = 2020 – 15 = 5 ∑X = 75Sapmaların Toplamı = 0 Ortalama = 15 Kural: Her gözlemde ortalamadan sapma değerlerinin toplamı SIFIR’dır. Sapmaları toplamak bize bir bilgi vermez. Dolayısıyla, toplamın SIFIR çıkmasına neden olan negatif (-) işaretli sayılardan kurtulmamız gerekiyor. Bunun yolu da, her gözlem değerinin karesini almaktır.

Ortalamadan Sapma Ortalamadan sapmaların karelerini topladığımızda, elimizde üzerinde işlem yapabileceğimiz bir rakam oluyor. Burada Standart Sapma ve Varyans kavramları devreye giriyor. GÖZLEMX - Xbar(X-Xbar) 2 X 1 = 1010 – 15 = -525 X 2 = 1212 – 15 = -39 X 3 = 1515 – 15 = 00 X 4 = 1818 – 15 = 39 X 5 = 2020 – 15 = 525 ∑X = 75∑ (X-Xbar) 2 = 68 Xbar = 15

Standart Sapma Varyans, standart sapmanın karesidir. Standart sapma, S harfiyle gösterilir: S =

Standart Sapma Bir örnek üzerinden gidelim: GÖZLEMX - Xbar(X-Xbar) 2 11 – 6 = – 6 = – 6 = – 6 = – 6 = – 6 = 416 Xbar = 6Toplam: 56 S == 3,05 “Ortalaması 6, standart sapması 3,05 olan bir gözlem” ifades, bize çok daha fazla bilgi verir. Gözlem değerlerinin ortalama olarak 6 rakamından 3 aşağıda veya 3 yukarıda olabileceği anlaşılır.

Frekanslı Serilerde Standart Sapma Frekanslı serilerde standart sapma hesaplanırken, dikkat edilmesi gereken noktalar vardır. Örnek üzerinden gidersek: XfX.fX - Xbar(X - Xbar) 2 (X - Xbar) 2.f 2122 – 3,87515, – 3,8753,515610, – 3,8750,76564, – 3,8754,515618, – 3,8759,765619,5312 ∑f = 16∑X.f = 94 Xbar = 94/16 = 3,875 ∑ = 67,7496

Frekanslı Serilerde Standart Sapma Bulduğumuz sonuçları formüle yerleştirirsek: S = = 2,05 Standart sapma, hayatımızın birçok alanında kullanılır. Örneğin, kan değerlerinin ölçümünde kullanıldığında insan sağlığına da etki edebilen ve iyi hesaplanması gereken bir değerdir.

Varyans Bazen standart sapma yerine varyans da kullanılabilir. S 2 işareti ile gösterilir. Standart sapma formülündeki karekök işaretini kaldırdığımızda varyansı elde etmiş oluruz. S 2 = Varyans veya standart sapma ne kadar büyük ise, aritmetik ortalamanın o seriyi temsil gücü o kadar düşük olur. Çünkü gözlemler ortalamadan fazlasıyla sapmış demektir. Standart sapma düşük olduğu sürece dağılım anlamlı ve olumlu olur.