MATEMATİK DÖNEM ÖDEVİ

İÇİNDEKİLER 1) PARÇALI FONKSİYONLAR. 2) PARÇALI FONKSİYONLARIN GRAFİĞİ. 3) MUTLAK DEĞER FONKSİYONU. 4) İŞARET (SİGNUM) FONKSİYONU. 5) TAM KISIM FONKSİYONU. 6) ARALIK UZUNLUĞU. 7) TAM KISIM FONKSİYONLARININ GRAFİKLERİ. 8) FONKSİYONUN EN GENİŞ TANIM KÜMESİ. 9) ALIŞTIRMALAR.

Örneğin; f : R R , f(x) = f1(x) , x1  x  x2 ise PARÇALI FONKSİYONLAR Tanım: Tanım aralığının alt aralıklarında farklı kurallarla tanımlanmış fonksiyonlara,parçalı fonksiyonlar denir. Örneğin; f : R R , f(x) = f1(x) , x1  x  x2 ise Örneğin; f : R R , f(x) = f2(x) , x < x1 v x > x2 ise fonksiyonu parçalı bir fonksiyon olup x = x1, ve x = x2 noktaları tanım aralıklarının uç noktalarıdır ve bu noktalara fonksiyonun kritik noktaları denir. 4x - 1 , x  0 (Mod 3 ) ise f : R ye , f (x) = x2 + 1 , x  1 (Mod 3 ) ise x3 - 1 , x  2 (Mod 3 ) ise fonksiyonu veriliyor.

PARÇALI FONKSİYONLARIN GRAFİĞİ a. f (5) + f (6) - 2f (7) değerini bulalım. b.f(3x - 2) fonksiyonunu bulalım. Çözüm : a. 5  2 (Mod 3 ) olduğu için, f(5) = 53- 1 = 124 6  0 (Mod 3 ) olduğu için, f(6) = 4 . 6 - 1 = 23 7  1 (Mod 3 ) olduğu için , f(7) = 72 + 1 = 50 olur. f(5) + f(6) -2f(7) = 124 + 23 - 100 = 47 bulunur. b.3x -2  1 (Mod 3) olduğu için, f (3x -2) = (3x -2)2 +1 f(3x -2) = 9x2-12x +5 bulunur. PARÇALI FONKSİYONLARIN GRAFİĞİ Parçalı fonksiyonların grafikleri çizilirken,tanım aralığının her alt aralığındaki farklı kurallarla tanımlanmış fonksiyonların grafikleri ayrı ayrı çizilerek grafik belirlenir

Örnek : f : R R , f(x) = x2 + 2x , x < 1 ise 0 , x = 1 ise -x + 2 , x > 1 ise fonksiyonun grafiğini çizelim. Çözüm : i. y = x2 + 2x parabolünün (- , 1) aralığına karşılık gelen kısmı çizilir. ii.( 1 , 0) noktası işaretlenir. iii.y = -x +2 doğrusunun ( 1 ,+ ) aralığına karşılık gelen kısmı alınır.Böylece f parçalı fonksiyonun grafiği çizilmiş olur. y x -1 3 2 1 0 1 2 -2

MUTLAK DEĞER FONKSİYONU Tanım : A R , B  R olmak üzere f: A B ye  f 2 (x) = f (x) = f(x) = -f(x) , f(x) < 0 ise f(x) , f(x)  0 ise Şeklinde tanımlı fonksiyona,mutlak değer fonksiyonu denir. i. |f(x)|  0 olduğundan, |f(x)| fonksiyonun görüntü kümesi R+ {0}dır. ii. |f(x)| de f(x) = 0 denkleminin reel köklerine kritik noktalar denir. |f(x)| fonksiyonun grafiği bu noktalarda kırılma ya da kıvrılma yapar. iii. |f(x)| in tanımlanabilmesi için , f(x) in işareti bilinmelidir.

MUTLAK DEĞER FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ f : A B , |f |(x) = |f(x)| = -f (x) , f(x) < 0 ise f(x) , f(x)  0 ise dir. Bu tanıma göre mutlak değerli fonksiyonların grafikleri çizilirken aşağıdaki adımlar izlenmelidir. 1.y = f(x) in grafiği çizilir. 2.(x,f(x)) noktalarının x eksenine göre simetriği (x ,- f(x)) olduğundan ,f(x) < 0 olduğu kısımların (x ekseninin altında kalan parçaların ) x eksenine göre simetriği alınır. 3.f(x)  0 olduğu kısımlarda |f(x)| = f(x) olduğundan ,fonksiyonun grafiği aynen kalır.Böylece , |f(x)| grafiği çizilmiş olur.

Örnek : Aşağıdaki mutlak değerli fonksiyonların grafiklerini çizelim. a. f: R+ R , f(x9 = |lnx| b. f: R R , f(x) |x2-1 | c. f: R R , f(x) |x-2 | d. f: R R+ , f(x) |2x | 1 x Çözüm: a. y e y = lnx 1 x y e y = |lnx|

b. -1 1 y= x2-1 y x y -1 1 y= |x-2 | y= |x2-1 | | | x -1 2 -2 y x y= x-2 y x c. -2 2

y y y= |2x | |a-b| 2 1 a b x o y= 2x 1 2 x x 1 Mutlak değer içleri f(x)=ax + b biçiminde olan iki mutlak değer toplamından oluşan fonksiyonların grafikleri aşağıda verilen şekillerdeki gibi oluşur. 1. f: R R , f(x)=|x-a|+|x-b| fonksiyonunun grafiği x=a ve x=b de kırılma yapan ve minimum değeri f (a) =f(b) = |a-b| olan yandaki şekli çizer.

İŞARET(SİGNUM)FONKSİYONU x1 x2 f(x1) f(x2) x y 2.f: R R , f(x) = |ax-b|+|mx-n| ma grafiği , mutlak değer içlerini sıfır yapan b/a ve n/m değerlerinde kırılma yapar.Bu değerlerden küçük olanına x1ve büyük olanına x2 diyelim.Fonksiyonun f(x1) ya da f(x2) de bir minimum değeri oluşur.Fonksiyonun grafiği yanda görüldüğü gibidir. İŞARET(SİGNUM)FONKSİYONU Tanım:R R , y=f(x) fonksiyonu verilsin. -1 , f(x)<0 ise 0 , f(x) = 0 ise 1, f(x) > 0 ise biçiminde tanımlanan fonksiyona ,f nin işaret (signum)fonksiyonu denir. y=sgnf(x)=

İŞARET FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ i. Tanımdan anlaşıldığı gibi,signf(x) fonksiyonu sadece -1,0,1 değerlerini ala bilir.O halde sgn f(x) fonksiyonunun görüntü kümesi;{-1,0,1}dir. ii.sgn f(x) in tanımlanabilmesi için , f(x) in işareti bilinmelidir iii.sgn f(x) fonksiyonunda , f(x) = 0 denkleminin köklerine ,kritik noktalar denir.İşaret fonksiyonu bu kritik noktalarda sıçrama yapar. İŞARET FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ y = sgn f(x) in grafiğini çizerken aşağıdaki aşamalar izlenmelidir: i.f(x)fonksiyonun grafiği çizilir. ii.f(x)fonksiyonun grafiğinin; x ekseninin üstünde kalan kısımlar için,y = 1 doğrusu çizilir. x ekseninin altında kalan kısımlar için ,y= -1 doğrusu çizilir. x eksenini kestiği noktalar için,y = 0 işaretlenir.

Örnek: f:R R , y = f(x) fonksiyonunun grafiği yanda verilmiştir Örnek: f:R R , y = f(x) fonksiyonunun grafiği yanda verilmiştir.Buna göre ,sgn f(x) in grafiğini çizelim. a 0 b x c f(x) y a 0 b x -1 1 Çözüm:soruda verilen grafikten görüldüğü gibi ;

TAM KISIM FONKSİYONU Tanım: xR olmak üzere ,x ten büyük olmayan en büyük tam sayıya ,x in tam kısmı denir ve bu [x] sembolü ile gösterilir.Yani, Örnek: f:R R , f(x)=2x-1/5fonksiyonu veriliyor: a. f(-1) Çözüm: a. f(-1) = -3/5 Teorem:x  R ,a  Z için x+a = x+a dır. Özellik:nZ+ olmak üzere; nx = x+ x+1/n +x+2/n+....+ x+n-1/n dır. Örneğin: 2x = x x+1/2 3x = x +x+2/3+ x+2/3

TAM KISIM İLE İLGİLİ ÖZELLİKLER 1.x ,yR , x+y x + y dir. 2.x ,yR+ , x .y x . y dir 3.x ,yR , x = y ise x-y <1 dir Özellik:f rell değiskenli bir fonksiyon ve a tam sayi olmak üzere; f(x) > a f(x)a+1 dir. f(x)  a f(x)a dır. f(x) < a f(x)<a dır. f(x)  a f(x) < a+1 dir.

TAM KISIM FONKSİYONLARININ GRAFİKLERİ ARALIK UZUNLUĞU Tanım:Tam kısmı alınan fonksiyonu ,ardışık iki tam sayı arasına getirebilen x reel sayılarının bulunduğu aralığın uzunluğuna ,aralık uzunluğu denir.f(x) = g(x) de a  g(x) < a+1 (a  Z) eşitsizliğini sağlayan x lerin bulunduğu aralığın uzunluğu,x lerin aralık uzunluğudur. 1.m,n  R ve m  0 olmak üzere ,f(x)= mx + n ise ;aralık uzunluğu 1/m dir. TAM KISIM FONKSİYONLARININ GRAFİKLERİ f: aR Z , f(x) = g(x) in grafiğini çizerken ,aşağıdakı aşamalar izlenmelidir. a).Aralık uzunluğu belirlenir. b).Tanım aralığı ,aralık uzunluğuna göre ve uç noktalar aralık uzunluğunun tam sayı katı olacak biçimde ,yani g(x)i ardışık iki tam sayi arasına getirebilecek şekilde bölünür. c).Her aralıktaki f(x) = g(x) ler belirlenip ,grafik çizilir

BİR FONKSİYONUN EN GENİŞ KÜMESİ Tanım:xR olmak üzere y=f(x) kuralı ile verilmiş bir f fonksiyonunda ;AR ve xa için f(x)R koşulunu sağlayan en geniş a kümesine , f fonksiyonunun en geniş tanım kümesi denir. TANIM KÜMELERİNİN BULUNUŞU 1.POLİNOM FONKSİYONLAR f(x) anxn + an-1xn-1 +....+a1x + a0 gibi polinom fonksiyonları ,tüm reel sayılarda tanımlıdır,Çünkü;x R için f(x)R dir. Buna göre polinom fonksiyonlarının en geniş tanım kümeleri A=R dir. Örneğin;f(x)=mx+n ise ,A=R dir.f(x)=ax2+bx+c ise ,a=R dir 2.Rasyonel Fonksiyonlar P(x) ve Q(x) birer polinom fonksiyon olmak üzere f(x) = P(x)/Q(x) biçimindeki fonksiyonlar,paydayı sıfır yapan x R için tanımsızdır.Çünkü Q(x)=0 için f(x)R dir.O halde,bu türdeki rasyonel fonksiyonların en geniş tanım kümesi; A=R- x: Q(x) = 0 ve x Rdir.

 Köklü Fonksiyonlar P(x)polinom fonksiyonu olmak üzere ,f(x) = n P(x) biçiminde irrasyonel fonksiyonların en geniş tanım kümesi; a. n, tek sayı ise ,A = R dir. b. n,çift sayı ise , A = {x : P(x)0 ve x  R}dir. Örnek:f(x) = 3x2-1. Çözüm: f(x) = 3x2-1 fonksiyonunun kök derecesi tek olduğu için en geniş tanım kümesi : A = R dir.  Logaritma Fonksiyonu...... P(x) ve h(x) polinom fonksiyonlar olmak üzere f(x) = logh(x) P(x) biçiminde logaritmik fonksiyonun tanımlı olması için P(x)>0, h(x)>0 ve h(x)  1olmalıdır.Buna göre en geniş tanım kümesi: A = x : P(x) >0 , h(x) >0 ve h(x) 1 , xR  dir.

ALIŞTIRMALAR 1.Aşağıdaki değerleri bulunuz. a.Sgn 3 b.sgn( -4) c. 3,98 .sgn|-398| d. log1998 2.Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. a. x=5 b. 2x-3 = 7 c. 3-5x = -7 d. -x = 3 3.Aşağıdaki fonksiyonları, parçalı fonksiyon biçiminde yazınız. a.f(x) =|x-3| b.f(x) = |lnx| c.f(x) = x2 |x| d.f(x) = x|lnx| 4. Aşağıda verilen bağıntıların R2 de grafiklerini çiziniz. a.|x| + |y| = 2 b.|x|-|y|= 3 c.|2x + y|=3 d. |x2|+|y2|=0 5. Aşağıdaki fonksiyonların en geniş tanım kümesini bulunuz. a.f(x) = 2x - 5 b.f(x) =x-7 c.f(x) = ln (3-x) d.f(x) = x+3/3-|x|