1 KUKLA DEĞİŞKENLİ MODELLER Bir kukla değişkenli modeller (Varyans Analiz Modelleri) Kukla değişkenlerin diğer kantitatif değişkenlerle alındığı modeller (Kovaryans Analizi Modeller) Kukla değişkenlerin karşılıklı olarak birbirini etkilemeleri Mevsim dalgalanmalarının ölçülmesinde kukla değişkenler

2 Meslek lisesi ve devlet lisesine giden N tane öğrenci olduğu ve bunların yıllık okul harcamalarına ait verilerin olduğu varsayılsın. Bir Kukla Değişkenli Modeller (Varyans Analiz Modelleri) Birleştirilmiş DenklemYıllık Okul Harcaması =  1 +  2  ML + u ML = 0 Devlet Lisesi Yıllık Okul Harcaması =  1 ML= 1 Meslek Lisesi Yıllık Okul Harcaması =  1 +  2

3 1 Devlet Lisesi Meslek Lisesi  11 ML = 0 Devlet Lisesi ML= 1 Meslek Lisesi Yıllık Okul Harcaması = b 1 + b 2 ML + u

4 BİR KUKLA ve BİR KANTİTATİF DEĞİŞKENLİ MODELLER KUKLA DEĞİŞKENLERİN DİĞER KANTİTATİF DEĞİŞKENLERLE ALINDIĞI MODELLER (KOVARYANS ANALİZİ MODELLER) Harcama:Okul harcaması N:Öğrenci sayısı Bu kukla değişkenlerin açıklayıcı değişken olarak regresyon denkleminde nasıl yer aldıkları incelenecektir.

5 Meslek lisesi ve devlet lisesine giden N tane öğrenci olduğu ve bunların yıllık okul harcamalarına ait verilerin olduğu varsayılsın. Meslek lisesindeki öğrenciler belirli meslek dallarında yetenek sahibi olmaya çalışırken her meslek grubuna özgü gerekli olan araç ve gereçlerin temini için devlet lisesinde okuyan öğrencilere göre yıl içerisinde daha fazla harcama yapmaları gerekmektedir. Her iki lisede okuyan öğrencilerin harcamaları arasındaki farkı görmek için birinci yol iki grup içinde ayrı ayrı regresyon denklemi oluşturmaktır. Bununla birlikte iki ayrı regresyon denklemi kurmanın bazı sakıncaları olmaktadır. Bu sakıncalardan bir tanesi; büyük bir anakütle ile çalışmak yerine ayrı ayrı küçük örneklemler ile çalışmak katsayı tahminlerinin doğruluğu üzerinde ters etki olmasına neden olacaktır.

6 OCC = 0 Devlet LisesiHarcama =  1 +  2 N + u OCC = 1 Meslek Lisesi Harcama=  1 ' +  2 N + u İki lise harcamaları arasındaki fark için diğer bir yol ise ; meslek lisesi harcama denkleminin sabit terimi  1 ' in devlet lisesinden daha büyük olduğunu varsayan bir hipotez kurmaktır. 11 1'1' Aslında, bu varsayım ile her iki lise için yıllık marjinal maliyetlerin aynı fakat sabit maliyetlerin farklı olduğu varsayımı yapılmaktadır. Marjinal maliyet varsayımı görünüşte makul gözükmese de, bu varsayım anlatımı kolaylaştırmak için yapılmaktadır.

7   İki sabit terim arasındaki fark olarak tanımlanabilir:  =  1 ' -  1. 11 1'1' Devlet LisesiHarcama =  1 +  2 N + u Meslek Lisesi Harcama =  1 ' +  2 N + u

8  1 ' =  1 +  olacaktır ve meslek lisesine ait harcama fonksiyonu aşağıdaki gibi yazılabilir: OCC = 0 Devlet LisesiHarcama =  1 +  2 N + u OCC = 1 Meslek LisesiHarcama =  1 +  +  2 N + u  =  1 ' -  1 idi. Artık iki harcama fonksiyonunu birleştirip kukla değişken ML oluşturulabilir. ML öğrenci devlet lisesine gidiyor ise 0 değerini, meslek lisesine gidiyor ise 1 değerini almaktadır. Birleştirilmiş DenklemHarcama =  1 +  ML +  2 N + u ML = 0 Devlet LisesiHarcama =  1 +  2 N + u ML= 1 Meslek LisesiHarcama =  1 +  +  2 N + u

9 Her zaman kukla değişkenler sadece iki değer alırlar; 0 yada 1. Eğer ML 0 değerini alır ise harcama fonksiyonu devlet lisesine giden öğrencilerin harcama fonksiyonu olmakta, yada eğer ML 1 değerini alırsa harcama fonksiyonu meslek lisesine giden öğrencilerin harcama fonksiyonu olmaktadır.  11 1+1+ Birleştirilmiş DenklemHarcama =  1 +  ML +  2 N + u ML = 0 Devlet LisesiHarcama =  1 +  2 N + u ML= 1 Meslek LisesiHarcama =  1 +  +  2 N + u

10 Bu aşamada bir şehirdeki 74 lise için gerçek veri setini kullanarak regresyon denklemi oluşturulabilir.

11 OkulOkul Tipi Okul HarcamasıN ML 1Meslek345, Meslek 537, Devlet 170, Meslek Devlet 100, Devlet 28, Devlet 160, Meslek 45, Meslek 120, Meslek 61, Tablo ilk 10 okulun verilerini göstermektedir. Yıllık harcama yuan olarak ölçülmüştür. Bir yuan yaklaşık olarak 20 U.S centine eşittir. N okullardaki öğrenci sayısıdır. BİR KUKLA ve BİR KANTİTATİF DEĞİŞKENLİ MODELLER ML okul tipini gösteren kukla değişkendir.

12. reg Harcama N ML Source | SS df MS Number of obs = F( 2, 71) = Model | e e+11 Prob > F = Residual | e e+09 R-squared = Adj R-squared = Total | e e+10 Root MSE = Harcama | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] N | ML | _cons | Her ne kadar ML kukla değişken olsa da yeni bir açıklayıcı değişkenmiş gibi düşünülerek; Harcama değişkeni, N ve ML değişkenleri üzerine regresyona tabi tutulmaktadır. Katsayı yorumları: Regresyon sonuçları eşitlik şeklinde yeniden yazılabilir. ML değişkenine 0 ve 1 değerleri verilerek yeni eşitlikler türetilebilir. BİR KUKLA ve BİR KANTİTATİF DEĞİŞKENLİ MODELLER

13 Devlet Lisesi (ML = 0) Harcama = -34, ,000ML + 331N Harcama = -34, N ^ ^ Eğer ML=0 olursa, devlet lisesine ait eşitlik elde edilir. Buradan yıllık marjinal harcamanın öğrenci başına 331 yuan olduğu ve sabit harcamanın da -34,000 Yuan olduğu ifade edilebilir. Kukla değişkenin katsayısı  ile tahminlenmektedir. Meslek lisesindeki öğrenciler için extra yıllık sabit harcamayı ifade etmektedir. BİR KUKLA ve BİR KANTİTATİF DEĞİŞKENLİ MODELLER

14 Devlet Lisesi (ML= 0) Meslek Lisesi (ML = 1) Eğer ML yerine 1 değeri konulursa, meslek lisesi öğrencileri için yıllık sabit harcamayı 99,000 yuan olarak hesaplayabiliriz. Meslek lisesindeki öğrencinin marjinal harcaması ise devlet okulundaki öğrenci ile aynıdır. Harcama = -34, ,000ML + 331N Harcama = -34, N Harcama = -34, , N = 99, N ^ ^ ^ BİR KUKLA ve BİR KANTİTATİF DEĞİŞKENLİ MODELLER

15 Dağılma diyagramı regresyon sonuçlarından elde edilen iki harcama fonksiyonunu göstermektedir. BİR KUKLA ve BİR KANTİTATİF DEĞİŞKENLİ MODELLER

16. reg Harcama N ML Source | SS df MS Number of obs = F( 2, 71) = Model | e e+11 Prob > F = Residual | e e+09 R-squared = Adj R-squared = Total | e e+10 Root MSE = Harcama | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] N | ML | _cons | Kukla değişkeninin katsayısını test etmek için; H 0 :  = 0 ve H 1 :  ≠ 0 hipotezleri t testi yardımı ile test edilebilir. Bir başka ifadeyle, H 0 hipotezi iki okul türü arasında sabit harcamalar bakımından fark olmadığını ifade etmektedir. ML’nin katsayısının prob değeri 0.05 önem düzeyinden küçük olduğu için H 0 hipotezi reddedilebilmektedir. Yani iki okul türünün sabit harcamaları arasında fark vardır. BİR KUKLA ve BİR KANTİTATİF DEĞİŞKENLİ MODELLER

17 reg Harcama N ML Source | SS df MS Number of obs = F( 2, 71) = Model | e e+11 Prob > F = Residual | e e+09 R-squared = Adj R-squared = Total | e e+10 Root MSE = Harcama | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] N | ML| _cons | Benzer şekilde diğer katsayılar içinde t-testi yapabiliriz. İlk olarak N ele alınırsa; N ‘in katsayısının da istatistiksel olarak anlamlı olduğu söylenebilir. Bu da bize marjinal harcamaların istatistiksel olarak sıfırdan oldukça farklı olduğunu göstermektedir. BİR KUKLA ve BİR KANTİTATİF DEĞİŞKENLİ MODELLER

18. reg Harcama N ML Source | SS df MS Number of obs = F( 2, 71) = Model | e e+11 Prob > F = Residual | e e+09 R-squared = Adj R-squared = Total | e e+10 Root MSE = Harcama | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] N | ML | _cons |  1 = 0 yani sabit terim için t istatistiğine baktığımızda bu katsayının anlamsız olduğu görülmektedir. BİR KUKLA ve BİR KANTİTATİF DEĞİŞKENLİ MODELLER

19 BİRDEN FAZLA KUKLA DEĞİŞKENLİ MODELLER Harcama:Okul harcaması Sadece bir D i kukla değişkenli modellerin yanında, D sayısı iki, üç, hatta yirmiye kadar olan modeller de söz konusu olmaktadır. Daha önce devlet lisesi ve meslek liseleri arasındaki harcama fonksiyonu arasındaki farkı belirtmek için kukla değişken kullanmıştık. Şangay’da iki tip devlet okulu bulunmaktadır. Bunlardan bir tanesi olağan akademik eğitimin verildiği genel liseler, diğeri ise akademik eğitim ile birlikte ticaret eğitimi veren ticaret liseleridir. Harcama =  1  +  T TEK +  N NİT +   İ TİC +  2 N + u

20 Harcama =  1  +  T TEK +  N NİT +   İ TİC +  2 N + u Ticaret okullarının öğretim programı genel liselerden çok az bir farklılık göstermekte, sadece genel liselere göre birkaç ticaret eğitimleri bulunmaktadır. Aynı şekilde iki tip meslek lisesi bulunmaktadır. Teknik eğitim okulları(TEK) ve Nitelikli (NİT) öğrenci yetiştiren liselerdir. Sonuçta kalitatif değişkenimiz dört gruba sahiptir. Uygulamada; bir kategori temel sınıf olarak seçilmektedir ve buna bağlı olarak diğer kukla değişkenler tanımlanmaktadır. Genellikle, kategoriler içerisinde en basit ve normal olan kategori temel sınıf olarak seçilmektedir.

21 Harcama =  1  +  T TEK +  N NİT +   İ TİC +  2 N + u Şangay örneğinde genel liseleri temel sınıf olarak seçmek en uygundur. Çünkü genel liseler sayıca çok olan liselerdir ve diğer liseler genel liselerin birer varyasyonlarıdır. Dolayısıyla okul tiplerine bağlı olarak üç tane kukla değişken tanımlayabiliriz. TEK : teknik eğitim okulları için kukla değişken; eğer öğrenci teknik okula gidiyorsa 1, diğer durumda 0 değerini alan kukla değişken. Benzer şekilde NİT ve TİC kukla değişkenleri sırasıyla nitelikli öğrenci yetiştiren ve ticaret eğitimi veren okullar için birer kukla değişkenlerdir. Her bir kukla değişkenin katsayı değeri bulunmaktadır ve bu katsayılar temel kategoriye göre her bir okul için ayrı ayrı ekstra harcama maliyetlerini ifade etmektedir. Dikkat edilirse temel kategori (referans kategori) modelde yer almamaktadır ve çıkarılmış kategori olarak ifade edilir.

22 Eğer gözlem genel lise ile ilgili ise; diğer kukla değişkenler sıfır değerini almakta ve regresyon modeli en basit duruma indirgenmektedir. Harcama =  1  +  T TEK +  N NİT +   İ TİC +  2 N + u Genel LiseHarcama =  1  +  2 N + u (TEK = NİT = TİC = 0)

23 Eğer gözlem teknik lise ile ilgili ise; TEK değişkeni 1 değerini, diğer kukla değişkenlerde 0 değerini almaktadır. Regresyon denklemi ise yukarıda gösterildiği gibi olmaktadır. Harcama =  1  +  T TEK +  N NİT +   İ TİC +  2 N + u Genel LiseHarcama =  1  +  2 N + u (TEK = NİT = TİC = 0) Teknik LiseHarcama = (  1  +  T ) +  2 N + u (TEK = 1; NİT= TİC = 0)

24 Harcama =  1  +  T TEK +  N NİT +   İ TİC +  2 N + u Genel LiseHarcama =  1  +  2 N + u (TEK = NİT = TİC = 0) Teknik LiseHarcama = (  1  +  T ) +  2 N + u (TEK = 1; NİT = TİC = 0) Nitelikli Öğr. Yet. LİsesiHarcama = (  1  +  N ) +  2 N + u (NİT= 1; TEK = TİC = 0) Ticaret LisesiHarcama = (  1  +  Tİ ) +  2 N + u (TİC = 1; TEK = NİT = 0) Benzer şekilde gözlem nitelikli öğrenci yetiştiren lisesi yada Ticaret lisesi ise, regresyon denklemleri yukarıda gösterildiği gibi oluşturulmaktadır.

25 Yukarıdaki diyagram modeli grafiksel olarak göstermektedir.  katsayısı; teknik, nitelikli ve ticaret lisesi için genel liseye göre ekstra gider harcamalarını ifade etmektedir. Harcama N 1+T1+T 1+1+ 1+İ1+İ 11 Nitelikli Ticaret NN İİ TT Teknik Genel

26 Dikkat edilecek olurda  katsayıların büyüklülüğü ve işaretleri için önceden bir varsayımda bulunulmamaktadır. Örnek verilerinden tahminlenecektir. Harcama N 1+T1+T 1+N1+N  1 +  Tİ 11 Nitelikli Ticaret NN  Tİ TT Teknik Genel

27 Okul TipHarcama N TEK NİTTİC 1Teknik345, Teknik 537, Genel 170, Nitelikli Genel 100, Ticaret28, Ticaret 160, Teknik 45, Teknik 120, Nitelikli61, Yukarıdaki tabloda 74 liseden 10 tanesine ait veriler gösterilmektedir. Her bir kukla değişken TEK, NİT ve TİC kukla değişkenleri okul tiplerine göre oluşturulmuştur.

28 Dağılma diyagramı yeni okulların verilerini göstermektedir.

29. reg Harcama N TEK NİT TİC Source | SS df MS Number of obs = F( 4, 69) = Model | e e+11 Prob > F = Residual | e e+09 R-squared = Adj R-squared = Total | e e+10 Root MSE = Harcama | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] N | TEK | NİT | TİC | _cons | Verilere ait regresyon sonuçları tabloda gösterilmiştir. N in katsayısı her bir öğrenci için marjinal harcamayı ifade etmektedir ve yaklaşık 343 yuandır.

30. reg Harcama N TEK NİT TİC Source | SS df MS Number of obs = F( 4, 69) = Model | e e+11 Prob > F = Residual | e e+09 R-squared = Adj R-squared = Total | e e+10 Root MSE = Harcama| Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] N | TEK | NİT | TİC | _cons | TEK, NİT ve TİC değişkenlerinin katsayıları 154,000, 143,000, ve 53,000 sırasıyla genel liselere göre ilave yıllık sabit harcamaları ifade etmektedir.

31. reg Harcama N TEK NİT TİC Source | SS df MS Number of obs = F( 4, 69) = Model | e e+11 Prob > F = Residual | e e+09 R-squared = Adj R-squared = Total | e e+10 Root MSE = Harcama | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] N | TEK | NİT | TİC | _cons | Sabit terim genel liselerde sabit harcamaların yuan olduğunu söylemektedir.

32 Harcama = -55, ,000TEK + 143,000NİT+ 53,000TİC + 343N En üsteki regresyon sonuçlarını göstermektedir. Her bir okul için harcama fonksiyonları ayrı ayrı gösterilecektir. ^

33 Harcama= -55, ,000TECH + 143,000NİT + 53,000TİC + 343N Genel LiseHarcama= -55, N (TEK= NİT = TİC = 0) Öğrenci başına yıllık marjinal harcama 343 yuandır. Öğrenci başına yıllık sabit harcamalar her bir okul için -55,000 yuan olarak tahmin edilmiştir. ^ ^

34 Harcama = -55, ,000TEK + 143,000NİT + 53,000TİC + 343N Genel LiseHarcama= -55, N (TEK= NİT = TİC = 0) Teknik LiseHarcama= -55, , N (TEK = 1; NİT = TİC = 0) = 99, N Genel liseye göre teknik lisenin ekstra yıllık sabit harcaması 154,000 yuan olarak tahminlenmiştir. ^ ^ ^

35 Harcama = -55, ,000TEK + 143,000NİT + 53,000TİC + 343N Genel LiseHarcama= -55, N (TEK= NİT = TİC = 0) Teknik LiseHarcama= -55, , N (TEK = 1; NİT = TİC = 0) = 99, N Nitelikli LisesiHarcama= -55, , N (NİT = 1; TEK = TİC = 0) = 88, N Ticaret LisesiHarcama= -55, , N (TİC = 1; TEK = NİT = 0) = -2, N Benzer şekilde nitelikli öğrenci yetiştiren ve ticaret okulunun genel liseye göre yıllık ekstra harcaması 143,000 and 53,000 yuandır. ^ ^ ^ ^ ^

36 Dikkat edilirse öğrenci başına yıllık marjinal harcama 343 yuan olarak tahmin edilmiştir. ^ ^ ^ ^ ^ Harcama = -55, ,000TECH + 143,000NİT + 53,000TİC + 343N Genel LiseHarcama= -55, N (TEK = NİT = TİC = 0) Teknik LiseHarcama= -55, , N (TEK = 1; NİT = TİC = 0) = 99, N Nitelikli LisesiHarcama= -55, , N (NİT = 1; TEK = TİC = 0) = 88, N Ticaret LisesiHarcama= -55, , N (TİC = 1; TEK = NİT = 0) = -2, N

37 Dört harcama grafiği şekilde gösterilmiştir.  Teknik Lise  Ticaret Lisesi  Genel Lise  Nitelikli

38. reg Harcama N TEK NİT TİC Source | SS df MS Number of obs = F( 4, 69) = Model | e e+11 Prob > F = Residual | e e+09 R-squared = Adj R-squared = Total | e e+10 Root MSE = Harcama | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] N | TEK | NİT | TİC | _cons | Bütün katsayılar için t-testi yapabiliriz. N değişkenin katsayısı için t istatistiği 8.52 ve bu da bize beklenildiği gibi marjinal harcamaların istatistiksel olarak sıfırdan oldukça farklı olduğunu göstermektedir.

39. reg Harcama N TEK NİT TİC Source | SS df MS Number of obs = F( 4, 69) = Model | e e+11 Prob > F = Residual | e e+09 R-squared = Adj R-squared = Total | e e+10 Root MSE = Harcama | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] N | TEK| NİT | TİC | _cons | Ayrıca teknik lise t-istatistiği katsayısı da istatistiksel olarak anlamlıdır. Bunun anlamı ise teknik lise yıllık sabit harcamalarının genel liselerin sabit harcamalarından oldukça büyük olduğunu göstermektedir.

40. reg Harcama N TEK NİT TİC Source | SS df MS Number of obs = F( 4, 69) = Model | e e+11 Prob > F = Residual | e e+09 R-squared = Adj R-squared = Total | e e+10 Root MSE = Harcama | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] N | TEK | NİT | TİC | _cons | Benzer şekilde vasıflı NİT lerin t istatistiği 5.15 olarak bulunmuştur.

41. reg Harcama N TEK NİT TİC Source | SS df MS Number of obs = F( 4, 69) = Model | e e+11 Prob > F = Residual | e e+09 R-squared = Adj R-squared = Total | e e+10 Root MSE = Harcama | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] N | TEK | NİT | TİC | _cons | Bununla birlikte Ticaret lisesinin t istatistiği sadece 1.71 dir ve bu da ticaret lisesi sabit harcamalarının genel lise sabit harcamalarında yeterince farklı olmadığını göstermektedir. Bu sonuç çok şaşırtıcı değil, çünkü ticaret lisesi genel liselerden çok farklı bir eğitime sahip değil.

42. reg Harcama N TEK NİT TİC Source | SS df MS Number of obs = F( 4, 69) = Model | e e+11 Prob > F = Residual | e e+09 R-squared = Adj R-squared = Total | e e+10 Root MSE = Harcama | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] N | TEK | NİT | TİC | _cons | Son olarak kukla değişkenlerin ortak açıklayıcısı gücünü test etmek için F testi yapabiliriz. H 0 :  T =  N =  Tİ = 0 olarak tanımlanabilir. Alternatif hipotez ise en az bir  sıfırdan farklıdır şeklinde kurulmaktadır.

43. reg Harcama N TEK NİT TİC Source | SS df MS Number of obs = F( 4, 69) = Model | e e+11 Prob > F = Residual | e e+09 R-squared = Adj R-squared = Total | e e+10 Root MSE = Harcama| Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] N | TEK | NİT | TİC | _cons | Kukla değişkenli modelinde hata kareler toplamı 5.41×10 11.

44. reg Harcama N Source | SS df MS Number of obs = F( 1, 72) = Model | e e+11 Prob > F = Residual | e e+10 R-squared = Adj R-squared = Total | e e+10 Root MSE = 1.1e Harcama | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] N | _cons | Kukla değişkensiz modelin hata kareler toplamı 8.92×10 11.

45. reg Harcama N Source | SS df MS Number of obs = F( 1, 72) = Model | e e+11 Prob > F = Residual | e e+10 R-squared = Adj R-squared = Total | e e+10 Root MSE = 1.1e+05. reg Harcama N TEK NİT TİC Source | SS df MS Number of obs = F( 4, 69) = Model | e e+11 Prob > F = Residual | e e+09 R-squared = Adj R-squared = Total | e e+10 Root MSE = Değişkenlerin katsayılarına 0 sınırlaması konan genel F testi uygulanabilir.

46. reg Harcama N Source | SS df MS Number of obs = F( 1, 72) = Model | e e+11 Prob > F = Residual | e e+10 R-squared = Adj R-squared = Total | e e+10 Root MSE = 1.1e+05. reg Harcama N TEK NİT TİC Source | SS df MS Number of obs = F( 4, 69) = Model | e e+11 Prob > F = Residual | e e+09 R-squared = Adj R-squared = Total | e e+10 Root MSE = F istatistiğinin payında hesaplanan RSS modeldeki kukla değişken sayısına bölünmektedir. Bir başka ifadeyle, modele eklenen yeni değişken sayısına bölünmektedir. f 1 = c =3 f 2 =n-k=74-5=69

47. reg Harcama N Source | SS df MS Number of obs = F( 1, 72) = Model | e e+11 Prob > F = Residual | e e+10 R-squared = Adj R-squared = Total | e e+10 Root MSE = 1.1e+05. reg Harcama N TEK NİT TİC Source | SS df MS Number of obs = F( 4, 69) = Model | e e+11 Prob > F = Residual | e e+09 R-squared = Adj R-squared = Total | e e+10 Root MSE = H 0 hipotezi redddilebilir

48 KUKLA DEĞİŞKENLİ MODELLERDE KANTİTATİF DEĞİŞKEN SAYISININ İKİ SINIF İÇİN FARKLI OLMASI DURUMU 1.HAL: Sabit Terimlerin Farklı Eğimlerin Eşit olması ≠ =

49 KUKLA DEĞİŞKENLİ MODELLERDE KANTİTATİF DEĞİŞKEN SAYISININ İKİ SINIF İÇİN FARKLI OLMASI DURUMU 2.HAL: Sabit Terimlerin Eşit, Eğimlerin Farklı Olması Hali ≠ =

50 ) ) b 2 + b 3 b3b3 b1b1 YiYi XiXi

51 KUKLA DEĞİŞKENLİ MODELLERDE KANTİTATİF DEĞİŞKEN SAYISININ İKİ SINIF İÇİN FARKLI OLMASI DURUMU 3.HAL: Sabit Terim ve Eğimin İki Sınıf İçin Farklı Olması ≠ ≠

52 YiYi XiXi ) b4b4 ) b 3 +b 4 b1b1 b 1 +b 2

53 İKİ SINIF MODELLERİNİN FARKLILIĞININ KUKLA DEĞİŞKEN YÖNTEMİ İLE TESTİ 2. Chow Testi 1.t testi ne bakılır.  b 3 katsayısı anlamsız ve b 2 anlamlı ise 1.durum (sabit terim farklı eğimler aynı)  -b 2 katsayısı anlamsız b 3 anlamlı ise 2. durum (sabit terim aynı eğimler farklı)  her iki katsayı da anlamlı ise 3. durum (iki fonk. birbirinden farklıdır denir) Eğim farkı Sabit terim farkı

54 İKİ SINIF MODELLERİNİN FARKLILIĞININ KUKLA DEĞİŞKEN YÖNTEMİ İLE TESTİ Uygulama: Yıllık Sigara Tüketimi Cinsiyet (D i ) (Erkek = 1, Kadın = 0) Yıllık Gelir (X i )

55 İKİ SINIF MODELLERİNİN FARKLILIĞININ KUKLA DEĞİŞKEN YÖNTEMİ İLE TESTİ Dependent Variable: Y Method: Least Squares Included observations: 10 VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C D i X i D i X R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Sabit Terim FarkıEğim Farkı

56 Sonuç olarak İki sınıf tüketim fonksiyonlarının aynı olduğunu söyleyebiliriz.

57 BİR MODELDE KUKLA DEĞİŞKENLERİN KARŞILIKLI OLARAK BİRBİRİNİ ETKİLEMELERİ PROBLEMİ Erkeğin Tüketim Farkı Şehirde Oturanların Tüketim Farkı Şehirde Oturan bir Erkeğin Tüketim Farkı

58 b 4 katsayısının t istatistiğine bakılır. Şayet anlamlıysa iki kukla değişkenin modelde birlikte yer alması, bunların bireysel etkilerini azaltabilir veya arttırabilir. Bu durumda bu katsayının modelde yer almaması da spesifikasyon hatalarına yol açabilir.

59 MEVSİM DALGALANMALARININ ETKİSİNİN ARINDIRILMASINDA KUKLA DEĞİŞKENLERDEN FAYDALANMA Üçer Aylar Karlar (Milyon Dolar) Şatışlar (Milyon Dolar) 1965-I II III IV I II III IV D2D D3D D4D

60 MEVSİM DALGALANMALARININ ETKİSİNİN ARINDIRILMASINDA KUKLA DEĞİŞKENLERDEN FAYDALANMA Dependent Variable: Kar Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C D D D Satış R 2 = İstatistiki olarak anlamsız

61 MEVSİM DALGALANMALARININ ETKİSİNİN ARINDIRILMASINDA KUKLA DEĞİŞKENLERDEN FAYDALANMA Dependent Variable: Kar Sample: 1965:1 1970:4 VariableCoefficientStd. Error t-Statistic Prob. C D Satış R 2 = Mevsim dalgalanmalarının etkisinde

EŞİK DEĞER ETKİLERİ * *62-81 arası slaytlar, Mustafa SEVÜKTEKİN, Ekonometriye Giriş,

Kukla değişkenler arasında nitelik, kategorik, vasıf, özellik, ortaya çıkış ya da gerçekleşme farklılıkları söz konusudur. Gerçek hayatta herhangi bir kukla değişkenin vasıfları veya özellikleri arasındaki geçiş noktaları olarak tanımlanan eşik değerler her zaman kesin sınırlarla belirlenemeyebilir. Bu konuda uygulanabilecek bir yaklaşım, bağımlı değişkenin açıklayıcı değişkenlere göre dağılım diyagramından açıklayıcı değişkenin belli bir spesifik değerinden sonra kesin bir değişimin görülüp görülmediğini incelemektir. Ya da geleneksel uygulamalar yardımıyla benzer gözlemler ile eşik değerler saptanmaya çalışılır. Düzeyler arasındaki farklılıklar eşik değerlerle tanımlanabilir ve kukla değişkenler ile gösterilebilir.

Parçalı Kesikli (Spline) Fonksiyonlar Genelde farklı parçaların birleştirilmesiyle oluşan kesikli yapıdaki fonksiyonlara parçalı kesikli (spline) fonksiyon denir. Parçalar farklı eğimli doğru parçaları olabilecekleri gibi, doğrusal olmayan fonksiyonlar da olabilir Fonksiyon, parçalarının birleşme noktasında kırılma gösterir. Bu kırılma noktaları eşik değerler olarak nitelendirilir. Örnek olarak; bireylerin değişen yaşlarının ve eğitim düzeylerinin gelire olan etkileri incelenmiş ve özellikle eğitim düzeyi ile ilgili eşik değerlerden yararlanılmıştır. Eğitim düzeyi ile yaşlar arasında başka bir eşik değer tanımı yapılabilir. Eğitim düzeyi ile ilişkilendirilen yaş eşik değerleri; 20 yaş için lisans öncesi eğitimin, 25 yaş için lisans eğitiminin tamamlandığı şeklinde oluşturulur. Bu tanım yardımı ile kabaca bireyler için gelirin zaman profili çıkarılabilir.

65 GelirYaşEğitimLÖLYLDO

66 Eğitim değişkeni nitel olarak orta ve lisans öncesi eğitim-öğretim (LÖ); lisans (üniversite, yüksek okul veya M.Y. okulu) (L), yüksek lisans (YL) ve doktora (DO) gibi sınıflandırılsın. Eğitim düzeyine ilişkin bu düzeyler değerlendirilirken lisans öncesi eğitim düzeyi kontrol grubu olarak seçilip 0 değerini, lisan düzeyi 1, yüksek lisans düzeyi 2 ve doktora düzeyi 3 değerini alır.

Buna göre önce belirlenen yaş eşikleri için tahminler üç yaş grubuna ayrılarak tahmin edilmiştir; Yaş ≤ 20içinGelir1 = Yaş1 20 < Yaş ≤ 25 içinGelir2 = Yaş2 Yaş > 25için Gelir3 = Yaş3 biçiminde elde edilir. (1) Gelir1 = 20 yaşından küçük gelir ve yaş değişkenlerine ait gözlemler kullanılarak elde edilmiştir. Gelir2 = 20 – 25 yaş arasındaki gelir ve yaş değişkenlerine ait gözlemler kullanılarak elde edilmiştir. Gelir3 = 25 yaşından büyük gelir ve yaş değişkenlerine ait gözlemler kullanılarak elde edilmiştir.

Şekil 1

Yukarıda tanımlanan eşik değerle 20 ve 25 yaş sınırları aynı zamanda birer dönme noktaları olarak da adlandırılır. Daha sonra bu dönme noktaları kukla değişken gibi tanımlanacak olursa: D 1 = 1,eğeryaş > y 1 * ise (2) D 2 = 1,eğeryaş > y 2 * ise y 1 * ve y 2 * eşik değerlerdir; y 1 * = 20 ve y 2 * = 25 dir.

70 Yaş D1D1 D2D2 Yas 1 Yas

Denklem (2) eşik değerleri açısından ifade edilecek olursa; D 1 = 1,eğeryaş > 20ise (3) D 2 = 1,eğeryaş > 25ise şeklinde yazılır. Denklem (1)’e kukla değişkenler dahil ederek aşağıdaki (4) nolu denklem tahmin edilmiştir: Gelir = β 0 + β 1 Yaş + α 1 D 1 + γ 1 D 1 Yaş + α 2 D 2 + γ 2 D 2 Yaş + u (4) Gelir = Yaş – 2945 D D 1 Yaş D 2 – 218 D 2 Yaş (5)

Şekil 2

Birinci eşik değer öncesi grup için yani, lisans eğitimi olmayan bireyler için gelir ve yaş ilişkisi; (Yaş ≤ 20) = Yaş(6) Lisans eğitimi alan bireyler için gelir ve yaş ilişkisi; (20 < Yaş ≤ 25) = Yaş(7) ve lisansüstü (yüksek lisans + doktora) eğitimi alan bireyler için gelir ve yaş ilişkisi; (Yaş > 25) = Yaş(8) Dikkat edilecek olursa denklem (1)’de elde edilen sonuçlar ve denklem (5)’de elde edilen sonuçlar aynıdır.

Parçalı Sürekli (Piecewise) Fonksiyonlar Ekonomik modellerin birçoğunda herhangi bir açıklayıcı değişken ya da değişkenlerde küçük bir değişme olduğunda bağımlı değişken üzerindeki etkinin ölçülmesi gerekir. Dolayısıyla bir ekonomik modelde özellikle niteliksel veya kukla değişken kullanıldığında regresyon modelinin hem sabit, hem eğim, hem de her ikisinde bir kayma ve değişme hesaplanmak istendiğinde temel model yapısı yeniden gözden geçirilmelidir.

Daha ayrıntılı analiz için kesikli parçalardan oluşan bir model sürekli olarak tahmin edilmek istenirse bazı kısıtlamalarla bu sağlanabilir. Örnekte bazı kısıtlamalar ile eğitimdeki değişmelere izin verilebilir. Aşağıda gelir ve yaş ilişkisinin grafiği verilmiştir.

Şekil 3

Şekilde tire çizgili fonksiyonlar üç parçalı ve eğimleri birbirinden farklı olan ve farklı yaş grubundaki kişilere ilişkin gelir fonksiyonlarıdır. Bu fonksiyonların tahminleri denklem (1) ve şekil 1’de verilmiştir. Bu parçalı fonksiyonların spline fonksiyon tahmini denklem (5) ve regresyon doğrusu şekil 2’de verilmiştir. Gelir = Yaş – 2945 D D 1 Yaş D 2 – 218 D 2 Yaş (5) Farklı yaş grupları açısından regresyon doğruları süreksiz (kesikli) bir yapı gösterse de, yaşın gelir üzerindeki etkisine ilişkin gerçek doğru model, yapısal kırılmalı (eşik değerli) sürekli bir modeldir.

Eğer yaşın bir fonksiyonu olarak gelir açıklanmak istenirse, eğitim düzeylerine bağlı olarak bazı eşik değerler dikkate alındığında yapısal kırılmalar ortaya çıkacaktır. Bu durumda fonksiyonda kırılmadan kaynaklanan kesiklilik (veya süreksizlik) söz konusu olur. Yani gelir düzeyinde yıldan yıla kaymalar yaşanabilir.

Dolayısıyla fonksiyon üç düz doğrudan oluşan bir parçalı (piecewise) doğrusal modeldir. Parçalı doğrusal modeller oldukça büyük modeller setinin veya spline olarak adlandırılan ilişkilerin özel bir halidir. Spline fonksiyonlar ayrı ayrı fonksiyonlardır, fakat her bir parçayı gösteren eğri sürekli bir fonksiyondur ve düz bir doğru şart değildir.

Örnekte yaş değişkeni için aşağıdaki gibi tanımlamalar yapılabilir: Yaş 1 = Yaş Yaş 2 = Yaş – 20,Eğer yaş > 20 ise değilse 0 Yaş 3 = Yaş – 25,Eğer yaş > 25 ise değilse 0

ve denklem (4) bu tanımlamalar ile yeniden yazılırsa; Gelir = β 0 + β 1 Yaş 1 + γ 1 D 1 Yaş 2 + γ 2 D 2 Yaş 3 + u(6) denklemi elde edilir. Denklem (6) tahmin edilerek; Gelir = Yaş D1 Yaş 2 – 236 D 2 Yaş 3 (7) sonucu elde edilir. Buna göre parçalı doğrusal modeli aşağıda şekil 4’de görülmektedir. Kırılma (eşik) noktalarında fonksiyonun farkı şekil 2 ile karşılaştırılabilir.

Şekil 4

83 ZAMAN SERİSİ VE ÇAPRAZ-KESİT VERİLERİNİN BİRARAYA GETİRİLMESİNDE KUKLA DEĞİŞKENLERİN KULLANIMI UYGULAMA: yıllarına arasında General Motor, Westinghouse ve General Electric firmalarna ait yatırım (Y), firmanın değeri (X 2 ) ve sermaye stoğu (X 3 ) verilerine ait tablo aşağıda verilmiştir.

84 ZAMAN SERİSİ VE ÇAPRAZ-KESİT VERİLERİNİN BİRARAYA GETİRİLMESİNDE KUKLA DEĞİŞKENLERİN KULLANIMI Firmaların yatırımları arasında fark olup olmadığını inceleyebilmek için de kukla değişkenlerden yararlanabiliriz. Firmaların ilk üç yıllarına ait veriler ile oluşturulan yeni tablo aşağıdaki gibidir. YıllarY X2X2 X3X3 DiDi Firma GM GM GM WE WE WE GE GE GE

85 ZAMAN SERİSİ VE ÇAPRAZ-KESİT VERİLERİNİN BİRARAYA GETİRİLMESİNDE KUKLA DEĞİŞKENLERİN KULLANIMI GM yatırımlarının diğer firma yatırımlarından sabit terim kadar farklı olduğunu ifade etmektedir.

86 Dependent Variable: Y Method: Least Squares Included observations: 60 VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C X X D i R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) ZAMAN SERİSİ VE ÇAPRAZ-KESİT VERİLERİNİN BİRARAYA GETİRİLMESİNDE KUKLA DEĞİŞKENLERİN KULLANIMI İstatistiki olarak anlamlı GM yatırımları, diğer firma yatırımlarından farklı ve fazladır.