KUKLA DEĞİŞKENLİ MODELLER

KUKLA DEĞİŞKENLİ MODELLER
Bir kukla değişkenli modeller (Varyans Analiz Modelleri) Kukla değişkenlerin diğer kantitatif değişkenlerle alındığı modeller (Kovaryans Analizi Modeller) Kukla değişkenlerin karşılıklı olarak birbirini etkilemeleri Mevsim dalgalanmalarının ölçülmesinde kukla değişkenler

Bir Kukla Değişkenli Modeller (Varyans Analiz Modelleri)
Meslek lisesi ve devlet lisesine giden N tane öğrenci olduğu ve bunların yıllık okul harcamalarına ait verilerin olduğu varsayılsın. Birleştirilmiş Denklem Yıllık Okul Harcaması = b1 + b2 ML + u ML = 0 Devlet Lisesi Yıllık Okul Harcaması = b1 ML= 1 Meslek Lisesi Yıllık Okul Harcaması = b1 + b2

Yıllık Okul Harcaması = b1 + b2 ML + u
Meslek Lisesi Devlet Lisesi ML = 0 Devlet Lisesi ML= 1 Meslek Lisesi Yıllık Okul Harcaması = b1 + b2 ML + u

BİR KUKLA ve BİR KANTİTATİF DEĞİŞKENLİ MODELLER
KUKLA DEĞİŞKENLERİN DİĞER KANTİTATİF DEĞİŞKENLERLE ALINDIĞI MODELLER (KOVARYANS ANALİZİ MODELLER) BİR KUKLA ve BİR KANTİTATİF DEĞİŞKENLİ MODELLER Harcama:Okul harcaması N:Öğrenci sayısı Bu kukla değişkenlerin açıklayıcı değişken olarak regresyon denkleminde nasıl yer aldıkları incelenecektir.

Meslek lisesi ve devlet lisesine giden N tane öğrenci olduğu ve bunların yıllık okul harcamalarına ait verilerin olduğu varsayılsın. Meslek lisesindeki öğrenciler belirli meslek dallarında yetenek sahibi olmaya çalışırken her meslek grubuna özgü gerekli olan araç ve gereçlerin temini için devlet lisesinde okuyan öğrencilere göre yıl içerisinde daha fazla harcama yapmaları gerekmektedir. Her iki lisede okuyan öğrencilerin harcamaları arasındaki farkı görmek için birinci yol iki grup içinde ayrı ayrı regresyon denklemi oluşturmaktır. Bununla birlikte iki ayrı regresyon denklemi kurmanın bazı sakıncaları olmaktadır. Bu sakıncalardan bir tanesi; büyük bir anakütle ile çalışmak yerine ayrı ayrı küçük örneklemler ile çalışmak katsayı tahminlerinin doğruluğu üzerinde ters etki olmasına neden olacaktır.

b1' b1 OCC = 0 Devlet Lisesi Harcama = b1 + b2N + u OCC = 1 Meslek Lisesi Harcama= b1' + b2N + u İki lise harcamaları arasındaki fark için diğer bir yol ise ; meslek lisesi harcama denkleminin sabit terimi b1' in devlet lisesinden daha büyük olduğunu varsayan bir hipotez kurmaktır. Aslında, bu varsayım ile her iki lise için yıllık marjinal maliyetlerin aynı fakat sabit maliyetlerin farklı olduğu varsayımı yapılmaktadır. Marjinal maliyet varsayımı görünüşte makul gözükmese de, bu varsayım anlatımı kolaylaştırmak için yapılmaktadır.

d İki sabit terim arasındaki fark olarak tanımlanabilir: d = b1' - b1.
Devlet Lisesi Harcama = b1 + b2N + u Meslek Lisesi Harcama = b1' + b2N + u d İki sabit terim arasındaki fark olarak tanımlanabilir: d = b1' - b1.

d = b1' - b1 idi. b1' = b1 + d olacaktır ve meslek lisesine ait harcama fonksiyonu aşağıdaki gibi yazılabilir: OCC = 0 Devlet Lisesi Harcama = b1 + b2N + u OCC = 1 Meslek Lisesi Harcama = b1 + d + b2N + u Artık iki harcama fonksiyonunu birleştirip kukla değişken ML oluşturulabilir. ML öğrenci devlet lisesine gidiyor ise 0 değerini, meslek lisesine gidiyor ise 1 değerini almaktadır. Birleştirilmiş Denklem Harcama = b1 + d ML + b2N + u ML = 0 Devlet Lisesi Harcama = b1 + b2N + u ML= 1 Meslek Lisesi Harcama = b1 + d + b2N + u

b1+d d b1 Her zaman kukla değişkenler sadece iki değer alırlar; 0 yada 1. Eğer ML 0 değerini alır ise harcama fonksiyonu devlet lisesine giden öğrencilerin harcama fonksiyonu olmakta, yada eğer ML 1 değerini alırsa harcama fonksiyonu meslek lisesine giden öğrencilerin harcama fonksiyonu olmaktadır. Birleştirilmiş Denklem Harcama = b1 + d ML + b2N + u ML = 0 Devlet Lisesi Harcama = b1 + b2N + u ML= 1 Meslek Lisesi Harcama = b1 + d + b2N + u

100000 200000 300000 400000 500000 600000 700000 500 1000 1500 N Harcama Meslek Lisesi Devlet Bu aşamada bir şehirdeki 74 lise için gerçek veri setini kullanarak regresyon denklemi oluşturulabilir.

Okul Okul Tipi Okul Harcaması N ML 1 Meslek 345, 2 Meslek 537, 3 Devlet 170, 4 Meslek 5 Devlet 100, 6 Devlet 28, 7 Devlet 160, 8 Meslek 45, 9 Meslek 120, 10 Meslek 61, Tablo ilk 10 okulun verilerini göstermektedir. Yıllık harcama yuan olarak ölçülmüştür. Bir yuan yaklaşık olarak 20 U.S centine eşittir. N okullardaki öğrenci sayısıdır. ML okul tipini gösteren kukla değişkendir.

. reg Harcama N ML Source | SS df MS Number of obs = F( 2, 71) = Model | e e Prob > F = Residual | e e R-squared = Adj R-squared = Total | e e Root MSE = Harcama | Coef. Std. Err t P>|t| [95% Conf. Interval] N | ML | _cons | Her ne kadar ML kukla değişken olsa da yeni bir açıklayıcı değişkenmiş gibi düşünülerek; Harcama değişkeni , N ve ML değişkenleri üzerine regresyona tabi tutulmaktadır. Katsayı yorumları: Regresyon sonuçları eşitlik şeklinde yeniden yazılabilir. ML değişkenine 0 ve 1 değerleri verilerek yeni eşitlikler türetilebilir.

Devlet Lisesi (ML = 0) ^ Harcama = -34, ,000ML + 331N ^ Harcama = -34, N Eğer ML=0 olursa, devlet lisesine ait eşitlik elde edilir. Buradan yıllık marjinal harcamanın öğrenci başına 331 yuan olduğu ve sabit harcamanın da -34,000 Yuan olduğu ifade edilebilir. Kukla değişkenin katsayısı d ile tahminlenmektedir. Meslek lisesindeki öğrenciler için extra yıllık sabit harcamayı ifade etmektedir.

Devlet Lisesi (ML= 0) Meslek Lisesi (ML = 1) ^ Harcama = -34, ,000ML + 331N ^ Harcama = -34, N ^ Harcama = -34, , N = 99, N Eğer ML yerine 1 değeri konulursa, meslek lisesi öğrencileri için yıllık sabit harcamayı 99,000 yuan olarak hesaplayabiliriz. Meslek lisesindeki öğrencinin marjinal harcaması ise devlet okulundaki öğrenci ile aynıdır.

Dağılma diyagramı regresyon sonuçlarından elde edilen iki harcama fonksiyonunu göstermektedir.

. reg Harcama N ML Source | SS df MS Number of obs = F( 2, 71) = Model | e e Prob > F = Residual | e e R-squared = Adj R-squared = Total | e e Root MSE = Harcama | Coef. Std. Err t P>|t| [95% Conf. Interval] N | ML | _cons | Kukla değişkeninin katsayısını test etmek için; H0: d = 0 ve H1: d ≠ 0 hipotezleri t testi yardımı ile test edilebilir. Bir başka ifadeyle, H0 hipotezi iki okul türü arasında sabit harcamalar bakımından fark olmadığını ifade etmektedir. ML’nin katsayısının prob değeri 0.05 önem düzeyinden küçük olduğu için H0 hipotezi reddedilebilmektedir. Yani iki okul türünün sabit harcamaları arasında fark vardır.

reg Harcama N ML Source | SS df MS Number of obs = F( 2, 71) = Model | e e Prob > F = Residual | e e R-squared = Adj R-squared = Total | e e Root MSE = Harcama | Coef. Std. Err t P>|t| [95% Conf. Interval] N | ML| _cons | Benzer şekilde diğer katsayılar içinde t-testi yapabiliriz. İlk olarak N ele alınırsa; N ‘in katsayısının da istatistiksel olarak anlamlı olduğu söylenebilir. Bu da bize marjinal harcamaların istatistiksel olarak sıfırdan oldukça farklı olduğunu göstermektedir.

Harcama = b1 + dTTEK + dNNİT + dTİTİC + b2N + u
BİRDEN FAZLA KUKLA DEĞİŞKENLİ MODELLER Harcama = b1 + dTTEK + dNNİT + dTİTİC + b2N + u Harcama:Okul harcaması Sadece bir Di kukla değişkenli modellerin yanında, D sayısı iki, üç, hatta yirmiye kadar olan modeller de söz konusu olmaktadır. Daha önce devlet lisesi ve meslek liseleri arasındaki harcama fonksiyonu arasındaki farkı belirtmek için kukla değişken kullanmıştık. Şangay’da iki tip devlet okulu bulunmaktadır. Bunlardan bir tanesi olağan akademik eğitimin verildiği genel liseler, diğeri ise akademik eğitim ile birlikte ticaret eğitimi veren ticaret liseleridir.

Ticaret okullarının öğretim programı genel liselerden çok az bir farklılık göstermekte, sadece genel liselere göre birkaç ticaret eğitimleri bulunmaktadır. Aynı şekilde iki tip meslek lisesi bulunmaktadır. Teknik eğitim okulları(TEK) ve Nitelikli (NİT) öğrenci yetiştiren liselerdir. Sonuçta kalitatif değişkenimiz dört gruba sahiptir. Uygulamada; bir kategori temel sınıf olarak seçilmektedir ve buna bağlı olarak diğer kukla değişkenler tanımlanmaktadır. Genellikle, kategoriler içerisinde en basit ve normal olan kategori temel sınıf olarak seçilmektedir.

Şangay örneğinde genel liseleri temel sınıf olarak seçmek en uygundur. Çünkü genel liseler sayıca çok olan liselerdir ve diğer liseler genel liselerin birer varyasyonlarıdır. Dolayısıyla okul tiplerine bağlı olarak üç tane kukla değişken tanımlayabiliriz. TEK : teknik eğitim okulları için kukla değişken; eğer öğrenci teknik okula gidiyorsa 1, diğer durumda 0 değerini alan kukla değişken. Benzer şekilde NİT ve TİC kukla değişkenleri sırasıyla nitelikli öğrenci yetiştiren ve ticaret eğitimi veren okullar için birer kukla değişkenlerdir. Her bir kukla değişkenin katsayı değeri bulunmaktadır ve bu katsayılar temel kategoriye göre her bir okul için ayrı ayrı ekstra harcama maliyetlerini ifade etmektedir. Dikkat edilirse temel kategori (referans kategori) modelde yer almamaktadır ve çıkarılmış kategori olarak ifade edilir.

Genel Lise Harcama = b1 + b2N + u (TEK = NİT = TİC = 0) Eğer gözlem genel lise ile ilgili ise; diğer kukla değişkenler sıfır değerini almakta ve regresyon modeli en basit duruma indirgenmektedir.

Genel Lise Harcama = b1 + b2N + u (TEK = NİT = TİC = 0) Teknik Lise Harcama = (b1 + dT) + b2N + u (TEK = 1; NİT= TİC = 0) Eğer gözlem teknik lise ile ilgili ise; TEK değişkeni 1 değerini, diğer kukla değişkenlerde 0 değerini almaktadır. Regresyon denklemi ise yukarıda gösterildiği gibi olmaktadır.

Genel Lise Harcama = b1 + b2N + u (TEK = NİT = TİC = 0) Teknik Lise Harcama = (b1 + dT) + b2N + u (TEK = 1; NİT = TİC = 0) Nitelikli Öğr. Yet. Lİsesi Harcama = (b1 + dN) + b2N + u (NİT= 1; TEK = TİC = 0) Ticaret Lisesi Harcama = (b1 + dTİ) + b2N + u (TİC = 1; TEK = NİT = 0) Benzer şekilde gözlem nitelikli öğrenci yetiştiren lisesi yada Ticaret lisesi ise, regresyon denklemleri yukarıda gösterildiği gibi oluşturulmaktadır.

Harcama N b1+dT b1+dN b1+dTİ b1 Nitelikli Ticaret dN dTİ dT Teknik Genel Yukarıdaki diyagram modeli grafiksel olarak göstermektedir. d katsayısı; teknik, nitelikli ve ticaret lisesi için genel liseye göre ekstra gider harcamalarını ifade etmektedir.

Harcama N b1+dT b1+dN b1+dTİ b1 Nitelikli Ticaret dN dTİ dT Teknik Genel Dikkat edilecek olurda d katsayıların büyüklülüğü ve işaretleri için önceden bir varsayımda bulunulmamaktadır. Örnek verilerinden tahminlenecektir.

Okul Tip Harcama N TEK NİT TİC
1 Teknik 345, 2 Teknik 537, 3 Genel 170, 4 Nitelikli 5 Genel 100, 6 Ticaret 28, 7 Ticaret 160, 8 Teknik 45, 9 Teknik 120, 10 Nitelikli 61, Yukarıdaki tabloda 74 liseden 10 tanesine ait veriler gösterilmektedir. Her bir kukla değişken TEK, NİT ve TİC kukla değişkenleri okul tiplerine göre oluşturulmuştur.

Dağılma diyagramı yeni okulların verilerini göstermektedir.

Harcama = -55,000 + 154,000TEK + 143,000NİT+ 53,000TİC + 343N
^ En üsteki regresyon sonuçlarını göstermektedir. Her bir okul için harcama fonksiyonları ayrı ayrı gösterilecektir.

Harcama= -55,000 + 154,000TECH + 143,000NİT + 53,000TİC + 343N
Genel Lise Harcama = -55, N (TEK= NİT = TİC = 0) ^ ^ Öğrenci başına yıllık marjinal harcama 343 yuandır. Öğrenci başına yıllık sabit harcamalar her bir okul için -55,000 yuan olarak tahmin edilmiştir.

Harcama = -55,000 + 154,000TEK + 143,000NİT + 53,000TİC + 343N
Genel Lise Harcama = -55, N (TEK= NİT = TİC = 0) Teknik Lise Harcama = -55, , N (TEK = 1; NİT = TİC = 0) = 99, N ^ ^ ^ Genel liseye göre teknik lisenin ekstra yıllık sabit harcaması 154,000 yuan olarak tahminlenmiştir.

Harcama = -55,000 + 154,000TEK + 143,000NİT + 53,000TİC + 343N
Genel Lise Harcama = -55, N (TEK= NİT = TİC = 0) Teknik Lise Harcama = -55, , N (TEK = 1; NİT = TİC = 0) = 99, N Nitelikli Lisesi Harcama = -55, , N (NİT = 1; TEK = TİC = 0) = 88, N Ticaret Lisesi Harcama = -55, , N (TİC = 1; TEK = NİT = 0) = -2, N ^ ^ ^ ^ ^ Benzer şekilde nitelikli öğrenci yetiştiren ve ticaret okulunun genel liseye göre yıllık ekstra harcaması 143,000 and 53,000 yuandır.

Harcama = -55,000 + 154,000TECH + 143,000NİT + 53,000TİC + 343N
Genel Lise Harcama = -55, N (TEK = NİT = TİC = 0) Teknik Lise Harcama = -55, , N (TEK = 1; NİT = TİC = 0) = 99, N Nitelikli Lisesi Harcama = -55, , N (NİT = 1; TEK = TİC = 0) = 88, N Ticaret Lisesi Harcama = -55, , N (TİC = 1; TEK = NİT = 0) = -2, N ^ ^ ^ ^ ^ Dikkat edilirse öğrenci başına yıllık marjinal harcama 343 yuan olarak tahmin edilmiştir.

Dört harcama grafiği şekilde gösterilmiştir.
Teknik Lise Ticaret Lisesi Genel Lise Nitelikli Dört harcama grafiği şekilde gösterilmiştir.

. reg Harcama N Source | SS df MS Number of obs = F( 1, 72) = Model | e e Prob > F = Residual | e e R-squared = Adj R-squared = Total | e e Root MSE = 1.1e+05 . reg Harcama N TEK NİT TİC F( 4, 69) = Model | e e Prob > F = Residual | e e R-squared = Adj R-squared = Total | e e Root MSE = Değişkenlerin katsayılarına 0 sınırlaması konan genel F testi uygulanabilir.

. reg Harcama N Source | SS df MS Number of obs = F( 1, 72) = Model | e e Prob > F = Residual | e e R-squared = Adj R-squared = Total | e e Root MSE = 1.1e+05 . reg Harcama N TEK NİT TİC F( 4, 69) = Model | e e Prob > F = Residual | e e R-squared = Adj R-squared = Total | e e Root MSE = f1 = c =3 f2 =n-k=74-5=69 F istatistiğinin payında hesaplanan RSS modeldeki kukla değişken sayısına bölünmektedir. Bir başka ifadeyle, modele eklenen yeni değişken sayısına bölünmektedir.

KUKLA DEĞİŞKENLİ MODELLERDE KANTİTATİF DEĞİŞKEN SAYISININ İKİ SINIF İÇİN FARKLI OLMASI DURUMU
1.HAL: Sabit Terimlerin Farklı Eğimlerin Eşit olması ≠ = 48

2.HAL: Sabit Terimlerin Eşit, Eğimlerin Farklı Olması Hali = ≠ 49

) b2 + b3 b3 b1 Yi Xi 50

3.HAL: Sabit Terim ve Eğimin İki Sınıf İçin Farklı Olması ≠ ≠ 51

Yi Xi ) b4 b3+b4 b1 b1+b2 52

İKİ SINIF MODELLERİNİN FARKLILIĞININ KUKLA DEĞİŞKEN YÖNTEMİ İLE TESTİ
Eğim farkı Sabit terim farkı t testi ne bakılır. b3 katsayısı anlamsız ve b2 anlamlı ise 1.durum (sabit terim farklı eğimler aynı) -b2 katsayısı anlamsız b3 anlamlı ise 2. durum (sabit terim aynı eğimler farklı) her iki katsayı da anlamlı ise 3. durum (iki fonk. birbirinden farklıdır denir) 2. Chow Testi 53

Uygulama: Yıllık Sigara Tüketimi Cinsiyet (Di) (Erkek = 1, Kadın = 0) Yıllık Gelir (Xi) 25 1 400 20 260 19 270 24 360 240 22 310 21 280 18 200 320 54

Dependent Variable: Y Method: Least Squares Included observations: 10 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C Di Xi DiX R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Eğim Farkı Sabit Terim Farkı 55

Sonuç olarak İki sınıf tüketim fonksiyonlarının aynı olduğunu söyleyebiliriz.

BİR MODELDE KUKLA DEĞİŞKENLERİN KARŞILIKLI OLARAK BİRBİRİNİ ETKİLEMELERİ PROBLEMİ
Şehirde Oturan bir Erkeğin Tüketim Farkı Erkeğin Tüketim Farkı Şehirde Oturanların Tüketim Farkı 57

b4 katsayısının t istatistiğine bakılır
b4 katsayısının t istatistiğine bakılır. Şayet anlamlıysa iki kukla değişkenin modelde birlikte yer alması, bunların bireysel etkilerini azaltabilir veya arttırabilir. Bu durumda bu katsayının modelde yer almaması da spesifikasyon hatalarına yol açabilir.

Üçer Aylar Karlar (Milyon Dolar) Şatışlar 1965-I 10503 114862 II 12092
MEVSİM DALGALANMALARININ ETKİSİNİN ARINDIRILMASINDA KUKLA DEĞİŞKENLERDEN FAYDALANMA Üçer Aylar Karlar (Milyon Dolar) Şatışlar 1965-I 10503 114862 II 12092 123968 III 10834 121454 IV 12201 131917 1966-I 12245 129911 14001 140976 12213 137828 12820 145465 D2 1 D3 1 D4 1 59

Dependent Variable: Kar
MEVSİM DALGALANMALARININ ETKİSİNİN ARINDIRILMASINDA KUKLA DEĞİŞKENLERDEN FAYDALANMA Dependent Variable: Kar Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C D D D Satış R2= İstatistiki olarak anlamsız 60

MEVSİM DALGALANMALARININ ETKİSİNİN ARINDIRILMASINDA KUKLA DEĞİŞKENLERDEN FAYDALANMA
Dependent Variable: Kar Sample: 1965:1 1970:4 VariableCoefficient Std. Error t-Statistic Prob. C D Satış R2 = Mevsim dalgalanmalarının etkisinde 61

EŞİK DEĞER ETKİLERİ* *62-81 arası slaytlar, Mustafa SEVÜKTEKİN, Ekonometriye Giriş,

Kukla değişkenler arasında nitelik, kategorik, vasıf, özellik, ortaya çıkış ya da gerçekleşme farklılıkları söz konusudur. Gerçek hayatta herhangi bir kukla değişkenin vasıfları veya özellikleri arasındaki geçiş noktaları olarak tanımlanan eşik değerler her zaman kesin sınırlarla belirlenemeyebilir. Bu konuda uygulanabilecek bir yaklaşım, bağımlı değişkenin açıklayıcı değişkenlere göre dağılım diyagramından açıklayıcı değişkenin belli bir spesifik değerinden sonra kesin bir değişimin görülüp görülmediğini incelemektir. Ya da geleneksel uygulamalar yardımıyla benzer gözlemler ile eşik değerler saptanmaya çalışılır. Düzeyler arasındaki farklılıklar eşik değerlerle tanımlanabilir ve kukla değişkenler ile gösterilebilir.

Parçalı Kesikli (Spline) Fonksiyonlar
Genelde farklı parçaların birleştirilmesiyle oluşan kesikli yapıdaki fonksiyonlara parçalı kesikli (spline) fonksiyon denir. Parçalar farklı eğimli doğru parçaları olabilecekleri gibi, doğrusal olmayan fonksiyonlar da olabilir Fonksiyon, parçalarının birleşme noktasında kırılma gösterir. Bu kırılma noktaları eşik değerler olarak nitelendirilir. Bireylerin değişen yaşlarının ve eğitim düzeylerinin gelire olan etkileri incelenmiş ve özellikle eğitim düzeyi ile ilgili eşik değerlerden yararlanılmıştır. Eğitim düzeyi ile yaşlar arasında başka bir eşik değer tanımı yapılabilir. Eğitim düzeyi ile ilişkilendirilen yaş eşik değerleri; 20 yaş için lisans öncesi eğitimin, 25 yaş için lisans eğitiminin tamamlandığı şeklinde oluşturulur. Bu tanım yardımı ile kabaca bireyler için gelirin zaman profili çıkarılabilir.

Gelir Yaş Eğitim LÖ L YL DO 700 16 1 900 17 850 18 1350 19 1300 1200 20 1100 1450 1700 21 1750 2400 22 23 2650 2000 24 2900 3500 25 2 3200 2850 28 2300 3700 29 31 4000 33 3 4200 34 3450 36 38 5000 42 3750 44 4300 45

biçiminde elde edilir . (1)
Buna göre önce belirlenen yaş eşikleri için tahminler üç yaş grubuna ayrılarak tahmin edilmiştir; Yaş ≤ 20 için Gelir1 = Yaş1 20 < Yaş ≤ 25 için Gelir2 = Yaş2 Yaş > 25 için Gelir3 = Yaş3 biçiminde elde edilir . (1) Gelir1 = 20 yaşından küçük gelir ve yaş değişkenlerine ait gözlemler kullanılarak elde edilmiştir. Gelir2 = 20 – 25 yaş arasındaki gelir ve yaş değişkenlerine ait gözlemler kullanılarak elde edilmiştir. Gelir3 = 25 yaşından büyük gelir ve yaş değişkenlerine ait gözlemler kullanılarak elde edilmiştir.

Şekil 1

D1 = 1, eğer yaş > y1* ise (2)
Yukarıda tanımlanan eşik değerle 20 ve 25 yaş sınırları aynı zamanda birer dönme noktaları olarak da adlandırılır. Daha sonra bu dönme noktaları kukla değişken gibi tanımlanacak olursa: D1 = 1, eğer yaş > y1* ise (2) D2 = 1, eğer yaş > y2* ise y1* ve y2* eşik değerlerdir; y1* = 20 ve y2* = 25 dir.

D1 D2 Yas1 Yas2 1 2 3 4 5 8 9 11 6 13 14 16 18 22 17 24 19 25 20

Denklem (2) eşik değerleri açısından ifade edilecek olursa;
D1 = 1, eğer yaş > 20 ise (3) D2 = 1, eğer yaş > 25 ise şeklinde yazılır. Denklem (1)’e kukla değişkenler dahil ederek aşağıdaki (4) nolu denklem tahmin edilmiştir: Gelir = β0 + β1 Yaş + α1 D1 + γ1 D1 Yaş + α2 D2 + γ2 D2 Yaş + u (4) Gelir = Yaş – 2945 D D1 Yaş D2 – 218 D2 Yaş (5)

Şekil 2

Birinci eşik değer öncesi grup için yani, lisans eğitimi olmayan bireyler için gelir ve yaş ilişkisi; (Yaş ≤ 20) = Yaş (6) Lisans eğitimi alan bireyler için gelir ve yaş ilişkisi; (20 < Yaş ≤ 25) = Yaş (7) ve lisansüstü (yüksek lisans + doktora) eğitimi alan bireyler için gelir ve yaş ilişkisi; (Yaş > 25) = Yaş (8) Dikkat edilecek olursa denklem (1)’de elde edilen sonuçlar ve denklem (5)’de elde edilen sonuçlar aynıdır.

Parçalı Sürekli (Piecewise) Fonksiyonlar
Ekonomik modellerin birçoğunda herhangi bir açıklayıcı değişken ya da değişkenlerde küçük bir değişme olduğunda bağımlı değişken üzerindeki etkinin ölçülmesi gerekir. Dolayısıyla bir ekonomik modelde özellikle niteliksel veya kukla değişken kullanıldığında regresyon modelinin hem sabit, hem eğim, hem de her ikisinde bir kayma ve değişme hesaplanmak istendiğinde temel model yapısı yeniden gözden geçirilmelidir.

Daha ayrıntılı analiz için kesikli parçalardan oluşan bir model sürekli olarak tahmin edilmek istenirse bazı kısıtlamalarla bu sağlanabilir. Örnekte bazı kısıtlamalar ile eğitimdeki değişmelere izin verilebilir. Aşağıda gelir ve yaş ilişkisinin grafiği verilmiştir.

Şekil 3

Şekilde tire çizgili fonksiyonlar üç parçalı ve eğimleri birbirinden farklı olan ve farklı yaş grubundaki kişilere ilişkin gelir fonksiyonlarıdır. Bu fonksiyonların tahminleri denklem (1) ve şekil 1’de verilmiştir. Bu parçalı fonksiyonların spline fonksiyon tahmini denklem (5) ve regresyon doğrusu şekil 2’de verilmiştir. Gelir = Yaş – 2945 D D1 Yaş D2 – 218 D2 Yaş (5) Farklı yaş grupları açısından regresyon doğruları süreksiz (kesikli) bir yapı gösterse de, yaşın gelir üzerindeki etkisine ilişkin gerçek doğru model, yapısal kırılmalı (eşik değerli) sürekli bir modeldir.

Eğer yaşın bir fonksiyonu olarak gelir açıklanmak istenirse, eğitim düzeylerine bağlı olarak bazı eşik değerler dikkate alındığında yapısal kırılmalar ortaya çıkacaktır. Bu durumda fonksiyonda kırılmadan kaynaklanan kesiklilik (veya süreksizlik) söz konusu olur. Yani gelir düzeyinde yıldan yıla kaymalar yaşanabilir.

Dolayısıyla fonksiyon üç düz doğrudan oluşan bir parçalı (piecewise) doğrusal modeldir. Parçalı doğrusal modeller oldukça büyük modeller setinin veya spline olarak adlandırılan ilişkilerin özel bir halidir. Spline fonksiyonlar ayrı ayrı fonksiyonlardır, fakat her bir parçayı gösteren eğri sürekli bir fonksiyondur ve düz bir doğru şart değildir.

Örnekte yaş değişkeni için aşağıdaki gibi tanımlamalar yapılabilir:
Yaş1 = Yaş Yaş2 = Yaş – 20, Eğer yaş > 20 ise değilse 0 Yaş3 = Yaş – 25, Eğer yaş > 25 ise

Gelir = β0 + β1 Yaş1 + γ1 D1 Yaş2 + γ2 D2 Yaş3 + u (6)
ve denklem (4) bu tanımlamalar ile yeniden yazılırsa; Gelir = β0 + β1 Yaş1 + γ1 D1 Yaş2 + γ2 D2 Yaş3 + u (6) denklemi elde edilir. Denklem (6) tahmin edilerek; Gelir = Yaş D1 Yaş2 – 236 D2 Yaş3 (7) sonucu elde edilir. Buna göre parçalı doğrusal modeli aşağıda şekil 4’de görülmektedir. Kırılma (eşik) noktalarında fonksiyonun farkı şekil 2 ile karşılaştırılabilir.

Şekil 4

ZAMAN SERİSİ VE ÇAPRAZ-KESİT VERİLERİNİN BİRARAYA GETİRİLMESİNDE KUKLA DEĞİŞKENLERİN KULLANIMI
UYGULAMA: yıllarına arasında General Motor, Westinghouse ve General Electric firmalarna ait yatırım (Y), firmanın değeri (X2 ) ve sermaye stoğu (X3) verilerine ait tablo aşağıda verilmiştir. 82

Firmaların yatırımları arasında fark olup olmadığını inceleyebilmek için de kukla değişkenlerden yararlanabiliriz. Firmaların ilk üç yıllarına ait veriler ile oluşturulan yeni tablo aşağıdaki gibidir. Yıllar Y X2 X3 Di Firma 1935 317.6 3078.5 2.8 1 GM 1936 391.8 4661.7 52.6 1937 410.6 5387.1 156.9 12.93 191.5 1.8 WE 25.90 516.0 0.8 35.05 729.0 7.4 33.1 1170.6 97.8 GE 45.0 2015.8 104.4 77.2 2803.3 118.0 83

GM yatırımlarının diğer firma yatırımlarından sabit terim kadar farklı olduğunu ifade etmektedir.

Dependent Variable: Y Method: Least Squares Included observations: 60 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C X X Di R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) GM yatırımları, diğer firma yatırımlarından farklı ve fazladır. İstatistiki olarak anlamlı 85

ÖRNEKLER 86

Yi = Öğretim Üyelerinin Yıllık Maaşları Di = 1 Öğretim Üyesi Erkekse
Örnek: Özel bir üniversitede öğretim üyelerinin yıllık maaşları ile cinsiyetleri arasında önce varyans daha sonra tecrübe değişkeni eklenerek kovaryans modeli oluşturulacaktır: Yi = a + b Di +ui Yi = Öğretim Üyelerinin Yıllık Maaşları Di = 1 Öğretim Üyesi Erkekse = 0 Diğer Durumlar (yani Kadın Öğretim Üyesi) Varyans Analiz Modelleri (ANOVA) Kadın Öğretim Üyelerinin Ortalama Maaşları: E( Yi|Di = 0 ) = a Erkek Öğretim Üyelerinin Ortalama Maaşları : E ( Yi|Di = 1) = a + b

3.280 21.280 18.00 Yi = Di (0.32) (0.44) t (57.74)(7.44) , R2=0.8737

E ( Yi|Xi,Di = 1) = (a1 + a2 )+bXi
Yi = a1 + a2 Di + b Xi + ui Yi = Öğretim Üyelerinin Yıllık Maaşları Xi = Öğretim Üyesinin Yıl olarak Tecrübesi Di = 1 Öğretim Üyesi Erkekse = 0 Diğer Durumlar (yani Kadın Öğretim Üyesi) Kadın Öğretim Üyelerinin Ortalama Maaşları : E( Yi|Xi,Di = 0 ) = a1+bXi Erkek Öğretim Üyelerinin Ortalama Maaşları : E ( Yi|Xi,Di = 1) = (a1 + a2 )+bXi

Maaş Cinsiyet Tecrübe 22 1 16 19 12 18 21.7 15 18.5 10 21 11 20.5 13 17 8 17.5 9 21.2 14

Y Y= (a1 + a2 )+bXi Yıllık Maaş Y=a1+bXi Erkek Kadın a2 a1 X
Tecrübe (yıl olarak) Y X Y= (a1 + a2 )+bXi  Y=a1+bXi Erkek  Kadın a2 Di = 1 Öğretim Üyesi Erkekse = 0 Öğretim Üyesi Kadınsa a1 Yi = Di Xi s(b) (0.95) (0.44) (0.09) p (0.000) (0.002) (0.020) , R2=0.949

DATA7-19 1960-1988 yılları arasında Türkiye’deki Sigara Tüketimi
Q Yetişkinlerin sigara tüketim miktarı(kg), Range Y GNP(1968) TL, Range P Türkiye’deki sigara fiyatları Range ED1 Kayıtlı ortaokul ve lise mezunu nüfus oranı(12-17 yaş) Range ED2 Kayıtlı üniversite mezunu oranı (20-24) Range D82 = 1 , 1982 ve sonrası D86 = 1 , ve sonrası 92

Included observations: 29
Dependent Variable: Q Sample: Included observations: 29 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. P ED ED D D Y C Katsayılar istatistiki olarak anlamsız 93

Included observations: 29
Dependent Variable: Q Method: Least Squares Sample: Included observations: 29 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ED D D Y C 94

DATA7-2 Belirli bir şirkette çalışan 49 kişinin istihdam durumu ve ücretleri WAGE = Aylık Ücret (Range ) EDUC = 8 yıllık eğitimden sonraki sahip olunan eğitim seviyesi(Range ) EXPER =Şirkette çalışma süresi(Range ) AGE = Yaş ( ) GENDER = 1, Erkek ise; 0 kadın ise RACE = 1, beyaz ise; 0 diğerleri CLERICAL = 1 büro memuru ise, 0 diğerleri MAINT = 1 bakım işlerinde çalışıyor ise; 0 diğerleri CRAFTS =1,usta ise; 0 diğerleri Temel sınıf Profesyonel meslek grupları. 95

Dependent Variable: WAGE Method: Least Squares
Included observations: 49 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C EDUC EXPER GENDER RACE CLERICAL MAINT CRAFTS R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) 96

DATA 7-9 1985 yılında koleje giriş yapan öğrencilerin ilk yıl başarılarını göstermekte colgpa = sonbaharındaki ortalamaları (Range ) hsgpa = Lise GPA (Range ) vsat = Sözel derecesi (Range ) msat = Sayısal derecesi (Range ) dsci = 1 Bilim dalı için, 0 diğerleri dsoc = 1 Sosyal bilim dallı için, 0 diğerleri dhum = 1 Beşeri bilimdalı için 0 diğerleri darts = 1 Sanat dalı için, 0 diğerleri dcam = 1 Öğrenci kampüste yaşıyorsa, 0 diğerleri dpub = 1 Genel lise mezunu ise, 0 diğerleri 97

Dependent Variable: COLGPA Method: Least Squares Sample: 1 427
Included observations: 427 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C HSGPA VSAT MSAT DSCI DSOC DHUM DARTS DCAM DPUB Katsayılar istatistiki olarak anlamsız 98

Dependent Variable: COLGPA
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C HSGPA VSAT MSAT 99

KUKLA DEĞİŞKENLİ MODELLER

Benzer bir sunumlar

... konulu sunumlar: "KUKLA DEĞİŞKENLİ MODELLER"— Sunum transkripti:

Benzer bir sunumlar

Proje hakkında

Geri bildirim

Giriş

Sosyal ağ üzerinden giriş yapmak:

KUKLA DEĞİŞKENLİ MODELLER

Benzer bir sunumlar

... konulu sunumlar: "KUKLA DEĞİŞKENLİ MODELLER"— Sunum transkripti:

Benzer bir sunumlar

Proje hakkında

Geri bildirim