Bir örnek : Sarkaç

Gradyen Sistemler E(x)’in zamana göre türevi çözümler boyunca Gradyen sistemlere ilişkin özellikler Teorem 6: (Hirsh-Smale-Devaney, sf. 205) E(x)’in olağan noktası dinamik sistemin denge noktaları ‘in izole minimumu ise asimptotik kararlı denge noktasıdır

Bir örnek daha E(x)’e ilişkin eş düzey eğrileri Durum portresi M.W.Hirsh, S. Smale, R.L. Devaney,”Differential Equations, Dynamical Systems and An Introduction to Chaos”, Elsevier, 2004.

Lineer sistemler için Lyapunov fonksiyonunu Ne olmalı? Teorem 7: (Pozitif Reel Lemma- Khalil sf. 240) pxp boyutlu transfer fonksiyonu matrisi yönetilebilir gözlenebilir olmak üzere aşağıdaki eşitlikleri sağlayan P,L,W matrisleri bulunabiliniyorsa G(s) pozitif reeldir.

Tüm bu teoremler, denge noktası veya sabit noktadan oluşan değişmez kümelerin kararlılığına ilişkin yeter koşulları veriyor. Limit çevrim, veya daha başka çözümler için ne yapılabilinir? Teorem 8: (Poincare-Bendixson) kapalı, sınırlı de ya denge noktası yok ya da Değişmez küme Çevrim

Liénard’ın denklemi f,g є C 1, f,g: R + R g tek, f çift fonksiyon g(x)>0, t Ayrıca orijin civarında kararlı limit çevrim var

özel olarak.... Van der Pol Osilatörü

Dinamik sistemlerin genel, niteliksel özelliklerini belirlemek istiyoruz... Topolojik Eşdeğerlilik: h homeomorfizm Zamanla değişimin yönünü koruyarak ve topolojik eşdeğerdir h homeomorfizm h h 1-e-1 ve üstüne h sürekli h -1 sürekli Hatırlatma

* * ¤ ¤ (*) sistemi ( **) sistemine düzgün “eşdeğer”dir. ¤ ¤ (¤) sistemi ( ¤¤) sistemine “eş”dir Sürekli zaman Ayrık zaman smoothly equivalent conjugate

Topolojik Eşdeğerliliğe ilişkin başka tanımlar da var: yörüngesel eşdeğerlilik, C k eşdeğerlilik yerel eşdeğerlilik..... Denge noktası civarında faz portresinin yapısı nasıl incelenebilir? * ¤ Sürekli zaman Ayrık zaman x * denge noktası olmak üzere x * sabit nokta olmak üzere Özdeğerlerden negatif, sıfır ve pozitif reel kısımlara sahip olanların sayısı sırası ile olsun. Özdeğerlerden birim daire içinde, üstünde ve dışında olanların sayısı sırası ile olsun.

Hiperbolik denge noktası Bir denge noktası (sabit nokta)’na ilişkin ise o denge noktası (sabit nokta) hiperbolik denge noktası olarak adlandırılır. ise, hiperbolik eyer olarak adlandırılır. Y.A. Kuznetsov, “Elements of Applied Bifurcation Theory”, Springer, 2004.