‘nin çözümünü bulmanın bir yolu yok mu? Gauss indirgemesi matrisi alt üçgen veya üst üçgenleştirilir Üçgenleştirmek ??!!

Nasıl üçgenleştireceğiz? Elemanter matris (E) Satır ve sütun işlemleri ile Permütasyon matrisi (P) Elemanter matris (E) ile bir satır veya sütun β ile çarpılıp toplanabilir Permütasyon matrisi (P) ile satır ve sütunların sırası değiştirilebilinir

Önce bir örnek

pivot Çözüm? x1 =-1 x2 =2, x3 =2

Üçgenleştirmeyi sağlayan matrislere dikkat edelim

Yapılan işlerin tam tersini yapsak….. Bu matris ne yapıyordu? ……………………………………………………. Bu işlemin tam tersini yapan matrisi bulun …………………..

Bu işlemin tam tersini yapan matrisi bulun ………………….. Bu matris ne yapıyordu? …………………………………………………………….. Bu işlemin tam tersini yapan matrisi bulun …………………..

Bu yeni bulduğunuz iki matrisi çarpalım Şimdi de bu bulduğumuz L ile çarpalım

Aslında buraya kadar ne yaptık…..

Acaba geriye nasıl döneriz? L’ nin işlevini hatırlayın Ux’i şimdi de L ile soldan çarpalım

LU ayrışımı satır değişimi gerekmediği sürece mümkün A=LU Ne elde ettik? LU ayrışımı satır değişimi gerekmediği sürece mümkün A=LU L matrisinin özelikleri: 1- Alt üçgen 2- Köşegen üstünde 1’ler ve 3-köşegen altında indirgemede kullanılan çarpanlar var U matrisinin özelikleri: 1- üst üçgen 2- Köşegen üstünde pivotlar var

Alt üçgenleştirme

Bu sefer de alt üçgenleştirmeyi sağlayan matrise dikkat edelim

Alt üçgenleştirmeyi sağlayan matrisin yaptığı işlemlerin tersini yapan……

Şimdi ne elde ettik? Şimdi ayrışımdaki matrislerin özelliklerine dikkat edelim …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Değişik bir örnek

Çözüm ……………..

Bu matrisin özelliği nedir?

Bu örnek için L ve U’yu bulmaya çalışalım L’ye dikkat edin bir şey farklı olan bir şey var……

Beklenen şekilde L ve U’yu bulmak için ne yapabilirdik

Alt üçgenleştirme

ve ‘yı bulmayı ve Amatrisini bunlar cinsinden yazmayı siz deneyin

Her zaman bu şekilde ayrıştırmayı sağlayan matrisleri bulabilir miyiz? Tekil olmayan durumlarda, pivot konumlarında sıfır gözükmesini engelleyecek bir P permütasyon matrisi vardır. Bu durumda 1- ‘nin tek çözümü vardır 2- Çözüm, satır değiştirme işlemi de yapılmak üzere indirgeme ile bulunabilir. 3- Önceden satırlar uygun sıralanırsa PA için LU ayrışımı elde edilir.

LU ayrışımı neden önemli? n-bilinmeyenli n-denklem için Gauss indirgemesi ve indirgenmiş denklem takımından çözümün bulunması için gerekli işlem sayısı sırasıyla, ve ‘dir. LU ayrışımı ile Ax=b iki denklem sistemine indirgenmiş olur Lc=b ve Ux=c Bu iki denklem sistemini elde etmek için gerekli işlem sayısı

İlk örnek için bu sistemleri elde edelim…..

LU ayrışım için son bir şey

Matris tersi A’ matrisi nxn boyutlu bir matris olsun. BA=I ve AB=I olmasını sağlayan en fazla bir B matrisi bulunabiliniyorsa A matrisi tersinirdir denir ve B A’nın tersi olarak isimlendirilip A-1 ile gösterilir.

Aynı matrisin birden fazla tersi olabilir mi? BA=I A matrisinin soldan tersi B sağdan tersi C AC=I olsun Q.E.D Q.E.D. quod erat demonstrandum

Matris tersinin bazı özelikleri

Matris tersi hesaplamak için bir yöntem…. n tane denklem takımı çözeceğiz

Gauss-Jordan Metodu Nasıl? ………………………………………………………….……

Bir örnek….