V2’nin q1 doğrultusunda ki bileşenine Gram-Schmidt Yöntemi Ortonormal vektörler kolaylık sağladığına göre verilen herhangi bir vektör kümesini ortonormal vektörlere dönüştürebilir miyiz? Lineer bağımsız özelikleri ne? verilmiş olsun, nasıl ‘ları elde ederiz Doğrultusu v1 ile aynı, boyu da 1 Kolay olan q1’i bulmak: Bu neye karşı düşüyor? q2, q1’e dik olmalı: V2’nin q1 doğrultusunda ki bileşenine Peki, neden çıkarıyoruz

q1,q2 var q3’ü oluşturalım: Ancak ortonormal vektörler kümesine katılması için boyunun 1 olması gerek q1,q2 var q3’ü oluşturalım: Diklik sağlandı birim olma da sağlanmalı

Benzer şekilde…..

Hep Rn’ deydik fonksiyon uzayında neler oluyor acaba? Önce R∞ ’a dikkat edelim: Nasıl vektörlerden oluşuyor? Sonsuz bileşenli vektörlerden özel olarak boyu sonlu olanlar ile ilgileneceğiz….

Boyutu sonsuz olup da boyu sonlu olan vektörlerin oluşturduğu vektör uzayı ….. Özellikle de ilgilendiğimiz uzayın elemanları [a, b] aralığında tanımlı fonksiyonlar olsun…. Bu vektörlerin boyunu belirtmek için öncelikle bir norm tanımlayalım: Bir de iç çarpım tanımlayalım…..

Böylece tanımladığımız norm ve iç çarpım, iç çarpım ve normdan beklediğimiz her şeyi sağlıyor Acaba sonsuz boyutlu fonksiyonlar uzayında sinx ve cos x’den yararlanarak bir baz tanımlanabilinir mi? Bu durumda fonksiyonlar aralığında tanımlı sin(kx)’ler ve cos(kx)’ler olsun k=0,1,2,3,….. Önce norm tanımına bakalım…..

Sonra da iç çarpım tanımına…… Bunlara bakarak ne önerebilirsiniz……..

Fourier Serisi Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) periyotlu bir fonksiyon olsun Nasıl belirleriz?

V vektör uzayının ortonormal qi Ortonormal bazın bize sağladığı bir kolaylık….. V vektör uzayının ortonormal qi vektörlerinden oluşmuş bir bazı olsun. ise şeklinde yazılır ‘leri biliyorsak Ortonormal baz işte burada kolaylık sağlayacak 1 Ortonormal baz!!!

ortonormal bazları biliyoruz….. b1 ‘i bulmak için ne önerirsiniz?

sinüs ve cosinüs’den başka fonksiyonlar yok mu? Mesela 1,x,x2 bu çok terimliler ile de ortonormal baz tanımlayabilir miyiz? Lineer bağımsızlar ancak ortogonal oldukları bir aralık yok Nedir bu yol? Ama ortogonal kılmanın bir yolunu biliyoruz Gram-Schmidt aralık [-1,1] ve v1 =1 olsun Neden bu aralık?

Gram-Schmidt’i uygulayalım Ortonormaller mi? 1752-1833 Legendre çokterimlilerini elde etmiş olduk

Spektral Teori ters dönüşümler bunların genel özellikleri ve asıl Spectrum: Spektral Teori ters dönüşümler bunların genel özellikleri ve asıl dönüşümlerle ilişkisini inceler. Sonlu Boyutlu, Normlu Uzaylarda Spektral Teori lineer Bu durumda dönüşümü nasıl ifade ediyoruz? Bu ifade neye bağlı?

Sonlu Boyutlu, Normlu Uzayda Lineer Dönüşüm ile Neler Yapılabilir? http://en.wikipedia.org/wiki/Eigenvector#Examples_in_the_plane

aynı cisim üzerinde tanımlanmış bir vektör uzayıdır. Lineer Operatör Hatırlatma lineer operatördür bir vektör uzayıdır aynı cisim üzerinde tanımlanmış bir vektör uzayıdır. Teorem NU12 Değer Bölgesi ve Sıfır Uzayı lineer operatördür bir vektör uzayıdır

varsa, lineer operatördür Hatırlatma Teorem NU13 Ters Operatör lineer operatördür vardır varsa, lineer operatördür Sınırlı Lineer Operatör lineer operatör sınırlı operatördür

Özdeğer, Özvektör, Karakteristik Uzay, Spektrum, Çözücü Küme Bu eşitliği daha önce nerede görmüştünüz? Anlamı nedir? olmak üzere, (1) olmak üzere (1) eşitliğini sağlayan matrisine ilişkin özdeğerdir. olmak üzere (1) eşitliğini sağlayan ‘ya ilişkin vektörü özvektördür. özdeğerine ilişkin özvektörler ve sıfır vektörü ‘nın özdeğerine ilişkin karakteristik uzayını oluşturur . ‘nın tüm özdeğerlerinin oluşturduğu kümesi ‘nın spektrumudur. Spektrumun ‘ye göre tümleyeni olan , ‘nın çözücü kümesidir. Bir matrisin özdeğerleri ve özvektörlerini bulmak için ne yapıyorduk? x Hangi uzayın elemanı? Karakteristik çok terimlinin sıfırıdır.

Bu sonuçları sonlu boyutlu, normlu vektör uzayında tanımlanmış lineer operatöre nasıl uygulayacağız? Teorem ST1 lineer ‘deki farklı bazlar için ele alınan lineer operatörün tüm matris gösterimlerinin özdeğerleri aynıdır. Tanıt Herhangi iki baz

Dönüşümünün her iki baza göre ifade edildiği matrisler olsun Nasıl bir matris? Dönüşümünün her iki baza göre ifade edildiği matrisler olsun

‘deki farklı bazlar için ele alınan lineer operatörün tüm matris Göstermemiz gereken neydi? ‘deki farklı bazlar için ele alınan lineer operatörün tüm matris gösterimlerinin özdeğerleri aynıdır. Özdeğerleri hesaplayalım Bu teoremden yararlanarak benzer matrisler için ne diyebiliriz? ???? Teorem ST2 Lineer operatörünün en az bir özdeğeri vardır.

Olağan değer, Çözücü Küme , Spektrum Boyut sonlu değilse lineer Kompleks bir sayı ‘de birim operator ‘nın tersi varsa Olağan değer, Çözücü Küme , Spektrum lineer ‘nin olağan değeri kompleks bir sayıdır var sınırlı ‘de yoğun olan bir kümede tanımlı ‘nın tüm olağan değerlerinin oluşturduğu kümesi ‘nin çözücü kümesidir.

Çözücü kümenin tümleyeni , ‘nin spektrumudur. ‘nin spektral değeridir. spektrum üç ayrık kümeye ayrılır: yok ve ayrık spektrum ‘nin öz değerleridir. var ve sürekli spektrum ‘de yoğun küme. var ancak artık spektrum ‘de yoğun küme değil. Teorem NU13 Ters Operatör lineer operatördür vardır varsa, lineer operatördür Hatırlatma varsa lineerdir

Teorem ST3 Lineer operatör ve ilgili cisimin kompleks sayılar olduğu bir Banach Uzayı kapalı, sınırlı tüm ‘de tanımlı ve sınırlı. Banach ve sınırlı, lineer operatör Teorem ST4 Tüm ‘de sınırlı, lineer operatör olarak vardır ve Teorem ST5 vardır ve açık kümedir vardır ve kapalı kümedir

Teorem ST6 ‘nin gösterimi Bu gösterim, kompleks düzlemde Çemberindeki her için yakınsaktır ve bu çember ‘nın alt kümesidir.