Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Statistics Lecture Notes Dr. Halil İbrahim CEBECİ Bölüm 07 Sürekli Olasılık Dağılımları.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "Statistics Lecture Notes Dr. Halil İbrahim CEBECİ Bölüm 07 Sürekli Olasılık Dağılımları."— Sunum transkripti:

1 Statistics Lecture Notes Dr. Halil İbrahim CEBECİ Bölüm 07 Sürekli Olasılık Dağılımları

2 Sayılamayan (sürekli) değerler alan rassal değişkenler sürekli rassal değişkenler olarak tanımlanır.  Olası değerlerin bir listesi oluşturulamaz (sonsuz sayıda değer)  Sonsuz sayıda olası sonuç olduğundan her bir değerin olasılığı «0» dır. Bu nedenler değerlerden değil, değerler aralığından bahsedebiliriz. Örn. Bir zar atma deneyinde P(X=5) olasılığı önemlidir, fakat bir görevin tam olarak bitiş süresi için aynı olasılıktan bahsetmek uygun olmaz, çünkü gerçekten 5 dakikada bir görevin tamamlanması neredeyse imkansızdır. Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

3 Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu İstatistik Ders Notları – Bölüm 7 f(x) alan=1

4 Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu İstatistik Ders Notları – Bölüm 7 ab x f(x) Paxb( ) ≤≤ Paxb( ) << = (Tek bir değerin olasılığının sıfır olduğunu unutmayalım)

5 İki değer arasında kalan bütün değerlerin olasılıklarının birbirine eşit olduğu dağılım türüdür. Düzgün Dağılım İstatistik Ders Notları – Bölüm 7 x min x max x f(x) Düzgün olasılık yoğunluk fonksiyonu altındaki alan toplamı bire eşittir.

6 Düzgün Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu: Düzgün Dağılım İstatistik Ders Notları – Bölüm 7 f(x) =

7 Düzgün dağılımın ortalaması; Varyansı; Düzgün Dağılım İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

8 Düzgün Dağılım İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

9 Örn7.1 – Bir benzin istasyonunda bir gün içerisinde satılan akaryakıtın 2000 ila 5000 litre arasında düzgün dağıldığı belirlenmiştir. a.Günlük akaryakıt satışının 2500 ila 3000 litre arasında olması olasılığı nedir? b.Günlük en az 4000 litre satılması olasılığı nedir? c.Tam olarak 2500 litre akaryakıt satılması ihtimali nedir? Düzgün Dağılım İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

10 Düzgün Dağılım İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

11 Normal Dağılım İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

12  ‘Çan şeklindedir’  Simetriktir  Ortalama, medyan ve mod aynıdır.  Dağılım parametreleri ortalama ve standart sapmadır.  Rassal değişken teorik olarak her değeri alabilir: +  to   Normal Dağılım İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

13  Sürekli rassal değişkenlerin büyük bir kısmı bu dağılıma uygun olarak dağılırlar.  Örneklerin dağılımları, örnek büyüklüğü arttıkça normal dağılıma yakınsanır.  Olasılıkların hesabı kolay ve anlaşılırdır.  İşletmede alınan birçok karar normal dağılım fonksiyonu yardımıyla gerçekleştirilir. Normal Dağılım İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

14 Normal Dağılım İstatistik Ders Notları – Bölüm 7  Normal dağılım için kümülatif olasılık fonksiyonu aşağıdaki gibidir. x 0 x0x0 f(x)

15 Normal Dağılım İstatistik Ders Notları – Bölüm 7 x bμa x bμa x bμa Normal Olasılıkları Bulmak

16 Normal Dağılım İstatistik Ders Notları – Bölüm 7 Z f(Z) 0 1

17 Normal Dağılım İstatistik Ders Notları – Bölüm 7  Eğer bir X değişkeni 100 ortalama ve 50 standart sapma ile normal dağılıyorsa, X=200 değeri için standart normal rassal değişken Z değeri aşağıdaki gibi hesaplanır.  Bu değerin manası X=200 değeri ortalamadan 2 standart sapma kadar sapmıştır.

18 Normal Dağılım İstatistik Ders Notları – Bölüm 7 Z X (μ = 100, σ = 50) (μ = 0, σ = 1)

19 Normal Tabloları Kullanmak İstatistik Ders Notları – Bölüm 7 P(Z > 1.6) ? P(0 < Z < 1.6) =.4452 P(Z > 1.6) =.5 – P(0 < Z < 1.6) =.5 –.4452 =.0548 z

20 Normal Tabloları Kullanmak İstatistik Ders Notları – Bölüm 7 P(Z < -2.23) ? P(0 < Z < 2.23) P(Z 2.23) =.5 – P(0 < Z < 2.23) =.0129 z P(Z > 2.23) P(Z < -2.23)

21 Normal Tabloları Kullanmak İstatistik Ders Notları – Bölüm 7 P(Z < 1.52) ? P(Z < 0) =.5 P(Z < 1.52) =.5 + P(0 < Z < 1.52) = =.9357 z P(0 < Z < 1.52)

22 Normal Tabloları Kullanmak İstatistik Ders Notları – Bölüm 7 P(0.9 < Z < 1.9) ? P(0 < Z < 0.9) P(0.9 < Z < 1.9) = P(0 < Z < 1.9) – P(0 < Z < 0.9) =.4713 –.3159 =.1554 z 1.9 P(0.9 < Z < 1.9)

23 Normal Dağılım İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

24 Normal Dağılım İstatistik Ders Notları – Bölüm 7 0 Ortalama 50 ve standart sapma 10

25 Normal Dağılım İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

26 Normal Dağılım İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

27 Normal Dağılım İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

28 Normal Dağılım İstatistik Ders Notları – Bölüm 7 Örn7.3 – X değişkeninin 8 ortalama ve 5 standart sapma ile normal dağıldığını varsayalım. Bütün değerlerin %20 sinin altında olduğu X değerini belirleyin? X ? Z ? 0

29 Normal Dağılım İstatistik Ders Notları – Bölüm 7 A7.3 – Standart Normal Dağılım Tablosu Bilinen olasılık için tablo kullanarak Z değerini hesaplayın X ?8.0 Z

30 Normal Dağılım İstatistik Ders Notları – Bölüm 7 A7.3 – 2. X değerini aşağıdaki formül kullanarak hesaplayın. Sonuç olarak bütün değerlerin %20 si 3,80 değerinin altında olması beklenir.

31 İki olayın oluşu arasındaki zamanın dağılımının genelde üstel olduğu kabul edilir.  Örnekler:  Bir boşaltma alanına kamyonların gelişleri  Bir ATM den para çekişlerin arasındaki süre  Bir firma müşteri hizmetlerine gelen telefonlar arası süre  Üstel dağılım için olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir. e= Üstel Dağılım İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

32 Üstel Dağılım İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

33 Üstel Dağılım İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

34 Üstel Dağılım İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

35 Üstel Dağılım İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

36 S7.1 – THY İstanbul’dan Gaziantep’e uçuş süresini 2 saat 5 dakika olarak açıklamıştır. Gerçekte uçuş sürelerinin 2 saat ile 2 saat 20 dakika arasında düzgün dağıldığı gözlemlenmiştir. a.Olasılık yoğunluk fonksiyonu grafiğini çiziniz. b.Uçuşun 5 dakikadan daha fazla gecikmemesi ihtimali nedir? c.Beklenen uçuş süresi nedir? Çalışma Soruları İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

37 S7.2 –Dünyada ilk 100 sırada bulunan golfçülerin ilk vuruş mesafeleri 284,7 ila 310,6 metre arasında düzgün dağılmaktadır. a. Olasılık yoğunluk fonksiyonunu matematiksel olarak ifade ediniz? b. Golfçülerin ilk vuruşlarının 290 metreden aşağıda olması ihtimali nedir? c. Golfçülerin ilk vuruşlarının 300 metreden fazla olması ihtimali nedir? d. Golfçülerin ilk vuruşlarının 290 ila 305 metre arasında olması ihtimali nedir? e. Kaç golfçü en az 290 metre başlangıç vuruşuna sahiptir? Çalışma Soruları İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

38 S7.3 – Bir eksoz firması 30 dakikadan daha fazla sürede değişim yapılması durumunda bu işlemden ücret alınmayacağını reklamlarla duyurmuştur. Değişim süresinin 25 dakika ortalama ve 2,5 dakika standart sapma ile normal dağıldığı farz edilirse; a.Müşterilerin ücret ödemeden eksoz taktırma ihtimali nedir? b.Montajın 22 ila 26 dakika arasında olması ihtimali nedir? c.Firma geri ödeme yapılacak müşterilerin %1 aşmamasını istiyorsa reklamlardaki 30 dakika değerini nasıl güncellemelidir. Çalışma Soruları İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

39 S7.4 – Amerika’daki beysbol maçlarının yaklaşık olarak ortalama 156 ve 34 dakika standart sapma değeri ile normal dağıldığı gözlemlenmiştir. a.Bir maçın 3 saatten fazla sürme ihtimalini bulunuz? b.Maçların % kaçı 2 ila 3 saat arasında biter? c.Herhangi bir maçın 1,5 saatten önce bitmesi ihtimali nedir? Çalışma Soruları İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

40 S7.5 – İstanbul menkul kıymetler borsasındaki hisse senetlerinin ortalama değerlerinin 30 TL ve standart sapmalarının 8,2 TL olduğu bilinmektedir. Hisse senedi fiyatlarının normal dağıldığı farz edilirse; a.Bir firmanın hisse senedi fiyatının 40 TL den fazla olması ihtimali nedir? b.Herhangi bir firmanın hisse senedi değerinin 20 dolardan fazla olmaması ihtimali nedir? c.Bir firmanın hisse senedi değeri açısından ilk %10 luk dilimde olması için, hisse senedi fiyatı ne olması gereklemektedir? Çalışma Soruları İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

41 S7.6 – Bir ampulün ömrünün 5000 ortalama ile üstel dağıldığı farz edilmektedir. a.Bir ampulün ilk 1000 saat içerisinde bozulmasının ihtimali nedir? b.Bir ampulün en az 7000 saat dayanması ihtimali nedir? c.Bir ampulün ömrünün 2000 ila 8000 saat arasında olması ihtimali nedir? Çalışma Soruları İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

42 S7.7 – Bir kavşak noktasına gelen araçların gelişler arası sürelerinin 12 saniye ortalama ile üstel dağıldığı öngörülmektedir. a.Üstel dağılım grafiğini çiziniz. b.Araçların gelişleri arası sürenini 12 saniyeden az olması ihtimali nedir. c.Kavşağa 30 saniye boyunca araba gelmeme ihtimali nedir? Çalışma Soruları İstatistik Ders Notları – Bölüm 7


"Statistics Lecture Notes Dr. Halil İbrahim CEBECİ Bölüm 07 Sürekli Olasılık Dağılımları." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları