Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Diferansiyel Denklemler Prof.Dr.Şaban EREN Ege Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü Bölüm 1 1.7. Birinci Dereceden Lineer.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "Diferansiyel Denklemler Prof.Dr.Şaban EREN Ege Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü Bölüm 1 1.7. Birinci Dereceden Lineer."— Sunum transkripti:

1 Diferansiyel Denklemler Prof.Dr.Şaban EREN Ege Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü Bölüm Birinci Dereceden Lineer Eşitlikler

2 2 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler 1.7. Birinci Dereceden Lineer Eşitlikler (1.46) şeklindeki eşitliği gözönüne alalım. a n, a n-1,...a 1, a 0 ve b ya birer sabit veya sadece x’in bir fonksiyonu olsun. Bu tür eşitliğe n’inci dereceden lineer diferansiyel eşitlik denir.

3 3 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Birinci dereceden bir lineer diferansiyel eşitlik (1.47) şeklinde olacaktır.

4 4 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Birinci dereceden bir lineer diferansiyel eşitlik (1.47) şeklinde olacaktır. Eşitliğin her iki tarafı a 1 katsayısına bölünürse, (1.47) eşitliği (1.48) şeklini alır.

5 5 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Birinci dereceden bir lineer diferansiyel eşitlik (1.47) şeklinde olacaktır. Eşitliğin her iki tarafı a 1 katsayısına bölünürse, (1.47) eşitliği (1.48) şeklini alır. Katsayıların sadece x’in bir fonksiyonu olabileceği belirtildiği takdirde eşitlik (1.49) şeklinde ifade edilebilir.

6 6 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Bunun integralini alabilmek için, eşitliğin sol tarafı x’e göre, R(x)y şeklindeki bir fonksiyonun diferansiyel katsayısı haline getirmek için I(x) olarak belirtilen integral faktörü ile çarpmamız gerekir. Bu çarpım sonucu sol taraf, (1.50) olur.

7 7 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Bu ifadenin(1.51) ile aynı olması gerekmektedir. (1.50) ve (1.51) ifadeleri aşağıdaki eşitlikler geçerli olduğu takdirde eşit (aynı) olacaktır. I = R ve IP = Ryani,IP = I dolayısıyla ‘dır.(1.52)

8 8 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.52) nolu eşitlikten (1.53) elde edilir.

9 9 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.52) nolu eşitlikten (1.53) elde edilir. C için herhangi bir değer, örneğin C = 0 alınırsa; (1.54) bulunur.

10 10 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Durumu özetleyecek olursak (1.55) şeklindeki lineer birinci dereceden diferansiyel denklemin çözümü için

11 11 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Durumu özetleyecek olursak (1.55) şeklindeki lineer birinci dereceden diferansiyel denklemin çözümü için 1.integral faktörü bulunur.

12 12 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler 2. (1.55) eşitliğinin her iki tarafı bu integral faktörü ile çarpıldığında (1.55) nolu eşitlik (1.56) şeklini alır.

13 13 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler 2. (1.55) eşitliğinin her iki tarafı bu integral faktörü ile çarpıldığında (1.55) nolu eşitlik (1.56) şeklini alır. 3. (1.56) nolu eşitlik şeklinde düzenlenerek her iki tarafın integrali alınırsa verilen diferansiyel denkleme ilişkin genel çözüm elde edilmiş olur.

14 14 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek diferansiyel denkleminin genel çözümünü elde ediniz.

15 15 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Eşitlik göz önüne alınırsa bunun (1.55)’de verilen lineer birinci dereceden diferansiyel denklem türü olduğu görülür. Bu durumda integral faktörü

16 16 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Eşitlik göz önüne alınırsa bunun (1.55)’de verilen lineer birinci dereceden diferansiyel denklem türü olduğu görülür. Bu durumda integral faktörü elde edilir.

17 17 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Not: ‘dir. Eğer t = e n ise elde edilir.Bunun sonucu olarak e ln{...} = {...} bulunur. (1.57) nolu eşitliğin her iki tarafı integral faktörü ile çarpılırsa çarpım sonucu, (1.58) elde edilir.

18 18 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Bu ifade (1.59) şeklinde yazılır ve integrali alınırsa,

19 19 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Bu ifade (1.59) şeklinde yazılır ve integrali alınırsa, (1.60) bulunur.

20 20 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Bu ifade (1.59) şeklinde yazılır ve integrali alınırsa, (1.60) bulunur. Bunun sonucu olarak (1.61) elde edilir.

21 21 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek diferansiyel denkleminin genel çözümünü elde ediniz.

22 22 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Integral faktörü,

23 23 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Integral faktörü,

24 24 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Integral faktörü,

25 25 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Dolayısıyla (1.62) nolu ifadenin her iki tarafı integral faktörü ile çarpılırsa, çarpım sonucu,

26 26 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Dolayısıyla (1.62) nolu ifadenin her iki tarafı integral faktörü ile çarpılırsa, çarpım sonucu, (1.63) şeklinde yazılabilir.

27 27 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Buradan

28 28 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Buradan

29 29 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Buradan

30 30 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Buradan

31 31 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

32 32 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

33 33 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.64) bulunur.

34 34 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek diferansiyel denkleminin genel çözümünü elde ediniz.

35 35 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Integral faktörü

36 36 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Integral faktörü

37 37 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Integral faktörü

38 38 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Integral faktörü

39 39 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

40 40 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

41 41 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

42 42 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

43 43 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

44 44 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

45 45 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.65) nolu eşitliğin her iki tarafı integral faktörü ile çarpılırsa eşitlik,

46 46 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.65) nolu eşitliğin her iki tarafı integral faktörü ile çarpılırsa eşitlik, (1.66)

47 47 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.65) nolu eşitliğin her iki tarafı integral faktörü ile çarpılırsa eşitlik, (1.66) haline dönüşür ve bu eşitlikten elde edilir.

48 48 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Her iki tarafın integrali alındığında dolayısıyla,

49 49 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Her iki tarafın integrali alındığında dolayısıyla, (1.67) genel çözümü bulunur.

50 50 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek diferansiyel denkleminin x =1 iken y = 0 şartını kullanarak genel çözümünü elde ediniz.

51 51 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.68) nolu eşitlik, eşitliğin her iki yanı x’e bölünürse, (1.69) şeklinde düzenlenebilir.

52 52 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.68) nolu eşitlik, eşitliğin her iki yanı x’e bölünürse, (1.69) şeklinde düzenlenebilir. Görüldüğü gibi bu birinci dereceden lineer diferansiyel denklem türüdür. Bu durumda,

53 53 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.68) nolu eşitlik, eşitliğin her iki yanı x’e bölünürse, (1.69) şeklinde düzenlenebilir. Görüldüğü gibi bu birinci dereceden lineer diferansiyel denklem türüdür. Bu durumda, dir.

54 54 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.69) nolu eşitliğin her iki yanı integral faktörü x 2 ile çarpılırsa eşitlik, (1.70) bulunur.

55 55 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.69) nolu eşitliğin her iki yanı integral faktörü x 2 ile çarpılırsa eşitlik, (1.70) bulunur. (1.70)’ten ve dolayısıyla

56 56 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.69) nolu eşitliğin her iki yanı integral faktörü x 2 ile çarpılırsa eşitlik, (1.70) bulunur. (1.70)’ten ve dolayısıyla (1.71) elde edilir.

57 57 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler x = 1, y = 0 şartı (1.71) nolu eşitlikte yerine konursa, elde edilir.

58 58 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler x = 1, y = 0 şartı (1.71) nolu eşitlikte yerine konursa, elde edilir. Bunun sonucu olarak özel çözüm, eşitliğinden

59 59 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler x = 1, y = 0 şartı (1.71) nolu eşitlikte yerine konursa, elde edilir. Bunun sonucu olarak özel çözüm, eşitliğinden şeklinde bulunur.

60 60 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek diferansiyel denkleminin çözümünü elde ediniz.

61 61 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.72) nolu eşitliğin her iki yanı x 2 ile bölünürse,

62 62 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.72) nolu eşitliğin her iki yanı x 2 ile bölünürse, (1.73) elde edilir. (1.73) nolu eşitlikten görüldüğü gibi bu birinci dereceden lineer diferansiyel denklemdir.

63 63 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Bu eşitlikten integral faktörü,

64 64 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Bu eşitlikten integral faktörü,

65 65 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Bu eşitlikten integral faktörü,

66 66 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Bu eşitlikten integral faktörü, bulunur.

67 67 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.73) nolu eşitliğin her iki yanı bu interal faktörü ile çarpılırsa, ve dolayısıyla

68 68 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.73) nolu eşitliğin her iki yanı bu interal faktörü ile çarpılırsa, ve dolayısıyla bulunur.

69 69 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Sağ tarafın integralini elde etmek için, İfadeleri kullanılırsa,

70 70 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Sağ tarafın integralini elde etmek için, İfadeleri kullanılırsa,

71 71 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Sağ tarafın integralini elde etmek için, İfadeleri kullanılırsa,

72 72 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Sağ tarafın integralini elde etmek için, İfadeleri kullanılırsa,

73 73 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

74 74 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

75 75 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler bulunur.

76 76 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler bulunur. Her iki tarafın integralinin alınması sonucu,

77 77 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

78 78 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.74) genel çözüm olarak elde edilir.

79 79 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek diferansiyel denklem sisteminin çözümünü elde ediniz.

80 80 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.75) nolu eşitliğin her iki tarafı (x – 1) ile bölünürse eşitlik, (1.76) şeklini alır.

81 81 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.75) nolu eşitliğin her iki tarafı (x – 1) ile bölünürse eşitlik, (1.76) şeklini alır. Bu eşitlikten integral faktörü

82 82 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.75) nolu eşitliğin her iki tarafı (x – 1) ile bölünürse eşitlik, (1.76) şeklini alır. Bu eşitlikten integral faktörü

83 83 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

84 84 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler olarak bulunur.

85 85 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler olarak bulunur. (1.76) nolu eşitliğin her iki yanı bu integral faktörü ile çarpılırsa,

86 86 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler olarak bulunur. (1.76) nolu eşitliğin her iki yanı bu integral faktörü ile çarpılırsa, elde edilir.

87 87 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Dolayısıyla bu eşitlikten (1.77) bulunur.

88 88 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Dolayısıyla bu eşitlikten (1.77) bulunur. Her iki tarafın integrali alınırsa,

89 89 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

90 90 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

91 91 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.78) genel çözümü elde edilir.

92 92 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Örnek diferansiyel denklem sisteminin genel çözümünü elde ediniz.

93 93 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.79) nolu eşitliğin her iki yanı x(1-x 2 ) ile bölünürse eşitlik, (1.80) birinci dereceden lineer denklem şekline dönüşür.

94 94 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.79) nolu eşitliğin her iki yanı x(1-x 2 ) ile bölünürse eşitlik, (1.80) birinci dereceden lineer denklem şekline dönüşür. Bu eşitlikten integral faktörü ifadesinin çözümü sonucunda elde edilir.

95 95 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler ifadesinden A = 1, B = C = -1 elde edilir.

96 96 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler ifadesinden A = 1, B = C = -1 elde edilir. Dolayısıyla integral faktörü,

97 97 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler ifadesinden A = 1, B = C = -1 elde edilir. Dolayısıyla integral faktörü,

98 98 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler ifadesinden A = 1, B = C = -1 elde edilir. Dolayısıyla integral faktörü, bulunur.

99 99 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.80) nolu eşitliğin her iki yanı bu integral faktörü ile çarpılırsa,

100 100 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.80) nolu eşitliğin her iki yanı bu integral faktörü ile çarpılırsa,

101 101 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler (1.80) nolu eşitliğin her iki yanı bu integral faktörü ile çarpılırsa, ve bu eşitlikten, elde edilir.

102 102 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Dolayısıyla her iki tarafın integrali alınırsa,

103 103 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Dolayısıyla her iki tarafın integrali alınırsa,

104 104 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Dolayısıyla her iki tarafın integrali alınırsa,

105 105 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler Dolayısıyla her iki tarafın integrali alınırsa, (1.81) Verilen diferansiyel denklemin genel çözümü elde edilmiş olur.


"Diferansiyel Denklemler Prof.Dr.Şaban EREN Ege Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü Bölüm 1 1.7. Birinci Dereceden Lineer." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları