Diferansiyel Denklemler

Diferansiyel Denklemler
Prof.Dr.Şaban EREN Ege Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü Bölüm Birinci Dereceden Lineer Eşitlikler

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
1.7. Birinci Dereceden Lineer Eşitlikler (1.46) şeklindeki eşitliği gözönüne alalım. an, an-1, ...a1, a0 ve b ya birer sabit veya sadece x’in bir fonksiyonu olsun. Bu tür eşitliğe n’inci dereceden lineer diferansiyel eşitlik denir.

Birinci dereceden bir lineer diferansiyel eşitlik (1.47) şeklinde olacaktır.

Birinci dereceden bir lineer diferansiyel eşitlik (1.47) şeklinde olacaktır. Eşitliğin her iki tarafı a1 katsayısına bölünürse, (1.47) eşitliği (1.48) şeklini alır.

Birinci dereceden bir lineer diferansiyel eşitlik (1.47) şeklinde olacaktır. Eşitliğin her iki tarafı a1 katsayısına bölünürse, (1.47) eşitliği (1.48) şeklini alır. Katsayıların sadece x’in bir fonksiyonu olabileceği belirtildiği takdirde eşitlik (1.49) şeklinde ifade edilebilir.

Bunun integralini alabilmek için, eşitliğin sol tarafı x’e göre, R(x)y şeklindeki bir fonksiyonun diferansiyel katsayısı haline getirmek için I(x) olarak belirtilen integral faktörü ile çarpmamız gerekir. Bu çarpım sonucu sol taraf, (1.50) olur.

Bu ifadenin (1.51) ile aynı olması gerekmektedir. (1.50) ve (1.51) ifadeleri aşağıdaki eşitlikler geçerli olduğu takdirde eşit (aynı) olacaktır. I = R ve IP = R yani, IP = I dolayısıyla ‘dır. (1.52)

(1.52) nolu eşitlikten (1.53) elde edilir.

(1.52) nolu eşitlikten (1.53) elde edilir. C için herhangi bir değer, örneğin C = 0 alınırsa; (1.54) bulunur.

Durumu özetleyecek olursak (1.55) şeklindeki lineer birinci dereceden diferansiyel denklemin çözümü için

Durumu özetleyecek olursak (1.55) şeklindeki lineer birinci dereceden diferansiyel denklemin çözümü için 1. integral faktörü bulunur.

2. (1.55) eşitliğinin her iki tarafı bu integral faktörü ile çarpıldığında (1.55) nolu eşitlik (1.56) şeklini alır.

2. (1.55) eşitliğinin her iki tarafı bu integral faktörü ile çarpıldığında (1.55) nolu eşitlik (1.56) şeklini alır. 3. (1.56) nolu eşitlik şeklinde düzenlenerek her iki tarafın integrali alınırsa verilen diferansiyel denkleme ilişkin genel çözüm elde edilmiş olur.

Örnek 1.22. diferansiyel denkleminin genel çözümünü elde ediniz.

Eşitlik göz önüne alınırsa bunun (1.55)’de verilen lineer birinci dereceden diferansiyel denklem türü olduğu görülür. Bu durumda integral faktörü

Eşitlik göz önüne alınırsa bunun (1.55)’de verilen lineer birinci dereceden diferansiyel denklem türü olduğu görülür. Bu durumda integral faktörü elde edilir.

Not: ‘dir. Eğer t = en ise elde edilir.Bunun sonucu olarak eln{...} = {...} bulunur. (1.57) nolu eşitliğin her iki tarafı integral faktörü ile çarpılırsa çarpım sonucu, (1.58) elde edilir.

Bu ifade (1.59) şeklinde yazılır ve integrali alınırsa,

Bu ifade (1.59) şeklinde yazılır ve integrali alınırsa, (1.60) bulunur.

Bu ifade (1.59) şeklinde yazılır ve integrali alınırsa, (1.60) bulunur. Bunun sonucu olarak (1.61) elde edilir.

Integral faktörü,

Dolayısıyla (1.62) nolu ifadenin her iki tarafı integral faktörü ile çarpılırsa, çarpım sonucu,

Dolayısıyla (1.62) nolu ifadenin her iki tarafı integral faktörü ile çarpılırsa, çarpım sonucu, (1.63) şeklinde yazılabilir.

Buradan

(1.64) bulunur.

Integral faktörü

(1.65) nolu eşitliğin her iki tarafı integral faktörü ile çarpılırsa eşitlik,

(1.65) nolu eşitliğin her iki tarafı integral faktörü ile çarpılırsa eşitlik, (1.66)

(1.65) nolu eşitliğin her iki tarafı integral faktörü ile çarpılırsa eşitlik, (1.66) haline dönüşür ve bu eşitlikten elde edilir.

Her iki tarafın integrali alındığında dolayısıyla,

Her iki tarafın integrali alındığında dolayısıyla, (1.67) genel çözümü bulunur.

Örnek 1.25. diferansiyel denkleminin x =1 iken y = 0 şartını kullanarak genel çözümünü elde ediniz.

(1.68) nolu eşitlik, eşitliğin her iki yanı x’e bölünürse, (1.69) şeklinde düzenlenebilir.

(1.68) nolu eşitlik, eşitliğin her iki yanı x’e bölünürse, (1.69) şeklinde düzenlenebilir. Görüldüğü gibi bu birinci dereceden lineer diferansiyel denklem türüdür. Bu durumda,

(1.68) nolu eşitlik, eşitliğin her iki yanı x’e bölünürse, (1.69) şeklinde düzenlenebilir. Görüldüğü gibi bu birinci dereceden lineer diferansiyel denklem türüdür. Bu durumda, dir.

(1.69) nolu eşitliğin her iki yanı integral faktörü x2 ile çarpılırsa eşitlik, (1.70) bulunur.

(1.69) nolu eşitliğin her iki yanı integral faktörü x2 ile çarpılırsa eşitlik, (1.70) bulunur. (1.70)’ten ve dolayısıyla

(1.69) nolu eşitliğin her iki yanı integral faktörü x2 ile çarpılırsa eşitlik, (1.70) bulunur. (1.70)’ten ve dolayısıyla (1.71) elde edilir.

x = 1, y = 0 şartı (1.71) nolu eşitlikte yerine konursa, elde edilir.

x = 1, y = 0 şartı (1.71) nolu eşitlikte yerine konursa, elde edilir. Bunun sonucu olarak özel çözüm, eşitliğinden

x = 1, y = 0 şartı (1.71) nolu eşitlikte yerine konursa, elde edilir. Bunun sonucu olarak özel çözüm, eşitliğinden şeklinde bulunur.

Örnek 1.26. diferansiyel denkleminin çözümünü elde ediniz.

(1.72) nolu eşitliğin her iki yanı x2 ile bölünürse,

(1.72) nolu eşitliğin her iki yanı x2 ile bölünürse, (1.73) elde edilir. (1.73) nolu eşitlikten görüldüğü gibi bu birinci dereceden lineer diferansiyel denklemdir.

Bu eşitlikten integral faktörü,

Bu eşitlikten integral faktörü, bulunur.

(1.73) nolu eşitliğin her iki yanı bu interal faktörü ile çarpılırsa, ve dolayısıyla

(1.73) nolu eşitliğin her iki yanı bu interal faktörü ile çarpılırsa, ve dolayısıyla bulunur.

Sağ tarafın integralini elde etmek için, İfadeleri kullanılırsa,

bulunur.

bulunur. Her iki tarafın integralinin alınması sonucu,

(1.74) genel çözüm olarak elde edilir.

Örnek 1.27. diferansiyel denklem sisteminin çözümünü elde ediniz.

(1.75) nolu eşitliğin her iki tarafı (x – 1) ile bölünürse eşitlik, (1.76) şeklini alır.

(1.75) nolu eşitliğin her iki tarafı (x – 1) ile bölünürse eşitlik, (1.76) şeklini alır. Bu eşitlikten integral faktörü

olarak bulunur.

olarak bulunur. (1.76) nolu eşitliğin her iki yanı bu integral faktörü ile çarpılırsa,

olarak bulunur. (1.76) nolu eşitliğin her iki yanı bu integral faktörü ile çarpılırsa, elde edilir.

Dolayısıyla bu eşitlikten (1.77) bulunur.

Dolayısıyla bu eşitlikten (1.77) bulunur. Her iki tarafın integrali alınırsa,

(1.78) genel çözümü elde edilir.

Örnek 1.28. diferansiyel denklem sisteminin genel çözümünü elde ediniz.

(1.79) nolu eşitliğin her iki yanı x(1-x2) ile bölünürse eşitlik, (1.80) birinci dereceden lineer denklem şekline dönüşür.

(1.79) nolu eşitliğin her iki yanı x(1-x2) ile bölünürse eşitlik, (1.80) birinci dereceden lineer denklem şekline dönüşür. Bu eşitlikten integral faktörü ifadesinin çözümü sonucunda elde edilir.

ifadesinden A = 1, B = C = -1 elde edilir.

ifadesinden A = 1, B = C = -1 elde edilir. Dolayısıyla integral faktörü,

ifadesinden A = 1, B = C = -1 elde edilir. Dolayısıyla integral faktörü, bulunur.

(1.80) nolu eşitliğin her iki yanı bu integral faktörü ile çarpılırsa,

(1.80) nolu eşitliğin her iki yanı bu integral faktörü ile çarpılırsa, ve bu eşitlikten, elde edilir.

Dolayısıyla her iki tarafın integrali alınırsa,

Dolayısıyla her iki tarafın integrali alınırsa, (1.81) Verilen diferansiyel denklemin genel çözümü elde edilmiş olur.

Diferansiyel Denklemler

Benzer bir sunumlar

... konulu sunumlar: "Diferansiyel Denklemler"— Sunum transkripti:

Benzer bir sunumlar

Proje hakkında

Geri bildirim

Giriş

Sosyal ağ üzerinden giriş yapmak:

Diferansiyel Denklemler

Benzer bir sunumlar

... konulu sunumlar: "Diferansiyel Denklemler"— Sunum transkripti:

Benzer bir sunumlar

Proje hakkında

Geri bildirim