Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş Başkent Üniversitesi TBF 122 - Genel Matematik II DERS – 12 : Karma Kısıtlı Maksimizasyon ve Minimizasyon Problemleri (

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş Başkent Üniversitesi TBF 122 - Genel Matematik II DERS – 12 : Karma Kısıtlı Maksimizasyon ve Minimizasyon Problemleri ("— Sunum transkripti:

1 Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş Başkent Üniversitesi TBF Genel Matematik II DERS – 12 : Karma Kısıtlı Maksimizasyon ve Minimizasyon Problemleri ( Büyük M Yöntemi )

2 İlk eşitsizliğe s 1 aylak(slack) değişkenini katarak x 1 + x 2 + s 1 = 8 ve ikinci eşitsizliğe de s 2 artık (surplus) değişkenini katarak x 1 - x 2 – s 2 = 2 eşitliği bulunur. Böylece, verilen doğrusal programlama problemi yukarıda, yandaki sisteme dönüşür. Bu derste, karma kısıtlı, yani problem kısıtlamalarından bir kısmı , bir kısmı  ve bir kısmı da = olarak verilen doğrusal programlama problemlerini ele alacağız. Önce, karma kısıtlı maksimizasyon problemlerinin çözümünü tartışacağız. Bir örnekle başlayalım. fonksiyonunu kısıtlamaları altında maksimize ediniz. aylak değişkenartık değişken Burada, problem kısıtlamalarındaki sağ taraf sabitlerinin hiçbirinin negatif olmadığına dikkat ediniz. Büyük M yöntemini uygulayabilmemiz için bu koşulun sağlanması gereklidir.

3 Bu sistemde, x 1 ve x 2 temel olmayan değişken olarak seçilip x 1 = x 2 = 0 alınarak elde edilen temel çözüm x 1 = 0, x 2 = 0, s 1 = 8, s 2 = -2, K = 0 uygun olmayan bir temel çözümdür; çünkü, s 2 = -2 < 0. Bu nedenle, bu problem simpleks tablosu yazılıp anahtar işlemler uygulanarak çözülemez. İlk eşitsizliğe s 1 aylak(slack) değişkenini katarak x 1 + x 2 + s 1 = 8 ve ikinci eşitsizliğe de s 2 artık (surplus) değişkenini katarak x 1 - x 2 – s 2 = 2 eşitliği bulunur. Böylece, verilen doğrusal programlama problemi yukarıda, yandaki sisteme dönüşür. fonksiyonunu kısıtlamaları altında maksimize ediniz. aylak değişken artık değişken

4 Böylece problemimize karşılık gelen sistem aşağıdaki biçimi alır: Simpleks yöntemini uygulayabilmek için sistemdeki her artık değişkenin yanına bir yapay (artificial) değişken ilave edilir. Bundan maksat, sistemin bir uygun temel çözüme sahip olmasını garanti etmektir. Ayrıca, ilave edilen yapay değişkenin en iyi çözümün bir parçası olmasını engellemek için, yeterince büyük bir M sayısı seçilerek, ilave edilen yapay değişken a 1 ise, Ma 1 ifadesi amaç fonksiyonundan çıkarılır. Örnek problemimizde, yapay değişken Bu sisteme problemin hazırlık sistemi denir. Önceki sayfada, aylak değişkenler içermeyen sisteme de problemin hazırlık öncesi sistemi denir. s 2 artık değişkenine karşılık a 1 yapay değişkeni alınır ve ikinci denklem x 1 – x 2 – s 2 + a 1 = 2 olarak; amaç fonksiyonu da K = 3x 1 + 4x 2 - Ma 1 olarak yazılır.

5 Hazırlık sisteminden yararlanılarak yazılan aşağıdaki tabloya problemin hazırlık tablosu diyeceğiz. x 1 x 2 s 1 s 2 a 1 K Eğer hazırlık tablosu aşağıdaki iki şartı sağlıyorsa, simpleks yöntemi bu tablodan başlatılır. Aksi halde, hazırlık tablosuna uygun satır işlemleri uygulanarak sözü edilen iki şartın sağlandığı bir tablo elde edilir ve simpleks işlemleri o tablodan başlatılır. 1. Gerektiği kadar temel değişken daha önce belirtildiği biçimde, yani, seçilen her temel değişkenin ait olduğu sütunda sadece bir tane sıfırdan farklı sayı bulunacak ve farklı değişkenlere ait sıfırdan farklı sayılar aynı satırda olmayacak biçimde, seçilebilmelidir. (Temel değişkenlerden birinin daima K olacağını unutmuyoruz.) 2. Temel değişkenler seçildikten sonra temel olmayan değişkenler sıfır alınarak bulunan temel çözüm K-uygun temel çözüm olmalıdır. hazırlık sistemi

6 Bizim hazırlık tablomuzda (daima temel değişken seçilecek K ile ) s 1 ve s 2 temel değişken olarak seçilip x 1 = x 2 = a 1 = 0 alınarak elde edilen temel çözüm x 1 = 0, x 2 = 0, s 1 = 10, s 2 = -2, a 1 = 0, K = 0 uygun olmayan bir temel çözümdür; çünkü, s 2 = -2 < 0. Bu nedenle, s 2 temel değişken olarak seçilmez, onun yerine a 1 temel değişken olarak seçilir. Ancak a 1 in temel değişken olarak seçilebilmesi için sağlanması gereken koşullar olduğunu unutmayalım. Hazırlık tablosunda gerekli satır işlemleri uygulanarak a 1 temel değişken olarak seçilebilecek hale getirilmelidir. Eğer hazırlık tablosunun ikinci satırı -M ile çarpılıp son satıra eklenirse(yukarıda izleyiniz), a 1 in temel değişken olarak seçilebileceği ve simpleks yönteminin başlatılmasına elverişli olan bir tablo elde edilir.  s 1 a 1 K HAZIRLIK TABLOSU Daha sonra göreceğimiz üzere, eğer problem kısıtlamaları arasında eşitlik kısıtlaması varsa her bir eşitlik için de bir yapay değişken atanır.

7 Gerçekten, eğer bu tabloda K, s 1 ve a 1 temel değişken olarak seçilirse, karşılık  s1a1K s1a1K Başlangıç tablosunda son satırdaki negatif girdilerden en küçüğü, ikinci sütundaki –M-3 olduğundan, anahtar sütun, ikinci sütun ve anahtar satır da ikinci satırdır. gelen temel çözüm x 1 = 0, x 2 = 0, s 1 = 8, s 2 = 0, a 1 = 2, K = -2M uygun temel çözüm olur. Dolayısıyla, simpleks yöntemi bu tablodan başlatılabilir. Bu tabloya problemin başlangıç tablosu denir. Başlangıç Tablosu

8 Son satırdaki sayılardan hiç biri negatif olmadığından, bu tablodan hazırlık sisteminin K-uygun temel çözümü, x 1 = 5, x 2 = 3, s 1 = 0, s 2 = 0, a 1 = 0, K = 27 elde edilir. a 1 = 0 olduğundan, asıl problemin çözümü: x 1 = 5, x 2 = 3 için K = 27 maksimumdur. Eğer yapay değişkenin aldığı değer sıfırdan farklı olsaydı, problemin çözümsüz olduğu sonucuna varacaktık.

9 Karma kısıtlı maksimizasyon probleminde büyük M yöntemi: Adım 1. Hazırlık sistemi yazılarak hazırlıktablosu yapılır. Bunun için, b) Her  kısıtı için bir aylak değişken atanır. c) Her  kısıtı için bir artık değişken ve bir yapay değişken atanır. ç) Varsa her = kısıtı için de bir yapay değişken atanır. d) Her yapay a i değişkenine karşılık amaç fonksiyonuna karşılık gelen denklemin sol yanına (M a i ) ifadesi toplanır. Adım 2. Hazırlık tablosunun son satırında yapay değişkenlere ait sütunlardaki M ler uygun satır işlemleriyle sıfıra dönüştürülerek başlangıç simpleks tablosu oluşturulur. Adım 3. Başlangıç simpleks tablosuna simpleks işlemlerini uygulayınız. Anahtar işlemlerin bir safhasında a) Anahtar sütunda kesik çizginin üzerinde hiç pozitif değer bulunmuyorsa, problemin çözümü yoktur. i) son tabloya karşılık gelen temel çözümde yapay değişkenlerden herhangi biri sıfırdan farklı ise, problemin çözümü yoktur. a) Sağ taraf sabiti negatif olan eşitsizlik veya eşitlikler varsa, bu eşitlik veya eşitsizlikler -1 ile çarpılarak (eşitsizlik durumunda eşitsizliğin yön değiştireceği unutulmamalı) negatif olan sağ taraf sabitleri pozitife dönüştürülür. b) Kesik çizginin altında, yani son satırda, düşey çizginin solunda hiç negatif değer kalmamışsa, aşağıdaki iki duruma göre karar verilir: ii) son tabloya karşılık gelen temel çözümde yapay değişkenlerin tümü sıfır değerini alıyorsa, problemin en iyi çözümüne ulaşılmıştır.

10 Örnek. fonksiyonunu kısıtlamaları altında maksimize ediniz. Hazırlık Tablosu: Hazırlık Sistemi:

11 Hazırlık sisteminin temel çözümü: x 1 = 0, x 2 = 6, x 3 = 6, s 1 = 18, s 2 = 0, a 1 = 0, a 2 = 0, K = 18. Hazırlık Tablosu: Başlangıç Simpleks Tablosu: Asıl problemin çözümü: x 1 = 0, x 2 = 6, x 3 = 6 için K = 18 maksimumdur.

12 Örnek. fonksiyonunu kısıtlamaları altında maksimize ediniz. Hazırlık Sistemi: Hazırlık Tablosu:

13 Son tabloda anahtar sütun dördüncü sütundur ve bu sütunda kesik çizgi üzerinde hiç pozitif girdi yoktur. O nedenle problemin çözümü yoktur. Başlangıç Simpleks Tablosu:

14 Örnek. fonksiyonunu kısıtlamaları altında maksimize ediniz. Hazırlık Sistemi: Hazırlık Tablosu: 

15 Başlangıç Simpleks Tablosu: Hazırlık sisteminin en iyi çözümü: x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 3, s 1 = 0, s 2 = 0, a 1 = 0, a 2 = 0, K = 20. Problemin çözümü: x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 3 için K = 20 maksimumdur.

16 Büyük M yöntemi ile karma kısıtlı minimizasyon problemleri Karma kısıtlı bir minimizasyon problemi, karma kısıtlı maksimizasyon problemine dönüş- türülerek çözülür. Bu uygulama, sayı kümelerinin aşağıda ifade edilen özelliğine dayanır. S bir sayı kümesi, m, n  S olsun ve S nin elemanlarının işaretleri değiştirile- rek elde edilen küme T = {-s : s  S} olsun. Bu takdirde, -m elemanı T nin maksimum elemanı ise, m elemanı S nin minimum elemanıdır; karşıt olarak, n elemanı S nin minimum elemanı ise, -n elemanı da T nin maksimum elemanıdır.

17 Örnek. fonksiyonunu kısıtlamaları altında minimize ediniz. Bu problemin çözümü, K(x 1, x 2, x 3 )= -15x x 2 – 5x 3 alınarak K(x 1, x 2, x3)= x3)= = -15 x x 2 – 5x35x3 fonksiyonunu kısıtlamaları altında maksimize ediniz. problemi çözülerek elde edilir. K için bulunan maksimum değerin ters işaretlisi M için minimum değer olur. Son problemi büyük M yöntemi ile çözelim.

18 K(x 1, x 2,x 3 )= -15 x x 2 – 5x 3 fonksiyonunu kısıtlamaları altında maksimize ediniz. Hazırlık Sistemi: Hazırlık Tablosu:

19 Başlangıç Simpleks Tablosu: Hazırlık sisteminin en iyi çözümü: x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = 8, s 1 = 0, s 2 = 0, a 1 = 0, a 2 = 0, K = Minimizasyon probleminin çözümü: x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = 8 için M = 100 minimumdur. Maksimizasyon probleminin çözümü: x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = 8 için K = -100 maksimumdur.

20 Problem. Bir gıda şirketi, stoklarında bulunan kurutulmuş meyve ve mısır gevreğini belli oranlarda karıştırarak iki tür, A ve B türleri, kahvaltılık hazırlayıp piyasaya sürmek istiyor. Şirketin en az 600 kg A türü karışım hazırlaması gerekiyor. B türü karışımda, kullanılacak kurutulmuş meyvenin en çok dört katı kadar mısır gevreğinin bulunması isteniyor. Bu iş için şirketin elinde 600 kg kurutulmuş meyve ve 750 kg mısır gevreği bulunmaktadır. Şirket, A türü karışımın kilogramından 4 TL, B türü karışımın ki- logramından 5 TL kâr edeceğine göre maksimum kâr için her tür karışımda ne kadar kurutulmuş meyve ve ne kadar mısır gevreği bulunmalıdır? Maksimum kâr ne olur? Ne kadar A türü ve ne kadar B türü kahvaltılık hazırlanacaktır? Kuru meyve Mısır gevreği Üretilecek miktarKâr AEn az 6004 B Kuru meyvenin en çok 4 katı 5 Stok A türü karışım içinde x 1 kg kurutulmuş meyve, x 2 kg mısır gevreği; B türü karışım içinde x 3 kg kurutulmuş meyve ve x 4 kg mısır gevreği bulunsun. Bu takdirde, firmanın kârı K(x 1, x 2, x 3 ) = 4x 1 + 4x 2 + 5x 3 + 5x 4 TL olur. Problem kısıtları, stoklar, üretilecek miktarlar ve karışım oranları ile bağlantılıdır. Verilerden yararlanılarak problem kısıtları ifade edilir ve negatif olmama kısıtları eklenerek problemin matematiksel modeli oluşturulur.

21 K(x 1, x 2, x 3 ) = 4x 1 + 4x 2 + 5x 3 + 5x 4 fonksiyonunu kısıtlamaları altında maksimize ediniz. Hazırlık sistemi

22 Hazırlık tablosu Başlangıç tablosu

23 Anahtar işlemlerle devam ediyoruz.

24 Hazırlık sisteminin bu tabloya karşılık gelen temel çözümü: x 1 = 450, x 2 = 150, x 3 = 150, x 4 =600, s 1 = 0, s 2 = 0, s 3 = 0, s 4 = 0, a 1 = 0, K= Maksimizasyon probleminin çözümü: x 1 = 450, x 2 = 150, x 3 = 150, x 4 =600 için K =6150 maksimumdur. Problemimize dönersek, A türü kahvaltıda 450 kg kurutulmuş meyve, 150 kg mısır gevreği, B türü kah- valtıda 150 kg kurutulmuş meyve ve 600 kg mısır gevreği bulunduğu takdirde maksimum kâr sağlana- caktır. Maksimum kâr, 6150 TL dir. Toplam 600 kg A türü ve 750 kg B türü karışım hazırlanacaktır.

25 Problem. Bir şirket, Ankara ve Manisa’daki fabrikalarında ofisler için normal koltuk ve makam koltuğu üretmektedir. Ankara’daki fabrikanın ürettiği toplam koltuk sayısı en çok 150, Manisa’daki fabrikanın ürettiği toplam koltuk sayısı da en çok 120 dir. Siparişler nedeniyle, en az 150 adet normal koltuk ve en az 80 adet makam koltuğu üretilmesi gerekmektedir. Ayrıca üretilecek makam koltuğu sayısının normal koltuk sayısının yarısını geçmemesi istenmektedir. Bir normal koltuk Ankara’da üretilirse 50 TL ye, Manisa’da üretilirse, 40 TL ye; bir makam koltuğu da Ankara’da üretilirse 75 TL ye, Manisa’da üretilirse 70 TL ye mal olmaktadır. Bu şirketin üretimini minimum maliyetle gerçekleştirebilmesi için Ankara ve Manisa’daki fabrikalarında her tür koltuktan kaçar adet üretmesi uygun olur? Minimum maliyet nedir? AnkaraManisamiktarmaliyet normal makam toplam En çok 150 En çok 120 En az 150Ankara 50, Manisa 40 Ankara 75, Manisa 70 En az 80, en çok normal koltuk sayısının yarısı

26 AnkaraManisamiktarmaliyet normal makam toplam En çok 150 En çok 120 En az 150Ankara 50, Manisa 40 Ankara 75, Manisa 70 En az 80, en çok normal koltuk sayısının yarısı Ankara’daki fabrikada x 1 adet normal koltuk, x 2 adet makam koltuğu; Manisa’daki fabrikada x 3 adet normal koltuk, x 4 adet makam koltuğu üretilsin. Bu takdirde, şirketin Bu takdirde, şirketin gideri M(x 1, x 2,x 3,x 4 ) = 50x x x x 4 TL olur. Ankara’daki fabrikada en çok 150 koltuk üretileceğinden Manisa’daki fabrikada en çok 120 koltuk üretileceğinden En az 150 normal koltuk üretileceğinden En az 80 makam koltuğu üretileceğinden Makam koltuklarının sayısı normal sayısının en çok yarısı kadar olacağından ya da

27 Problemin matematiksel modeli şöyledir: K = 50x x x x 4 fonksiyonunu kısıtlamaları altında minimize ediniz. Yukarıdaki problemin çözümü: olur. Minimum gider TL dir.


"Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş Başkent Üniversitesi TBF 122 - Genel Matematik II DERS – 12 : Karma Kısıtlı Maksimizasyon ve Minimizasyon Problemleri (" indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları