Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER 13.HAFTA İÇERİĞİ 13.HAFTA İÇERİĞİ RUNGE KUTTA.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER 13.HAFTA İÇERİĞİ 13.HAFTA İÇERİĞİ RUNGE KUTTA."— Sunum transkripti:

1 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER 13.HAFTA İÇERİĞİ 13.HAFTA İÇERİĞİ RUNGE KUTTA

2 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü Düşen bir paraşütçünün hızının “v”, zamanın “t” bir fonksiyonu olarak hesaplamak için Newton’un ikinci yasasına dayalı aşağıdaki eşitlik yazılabilir. Burada g yerçekimi ivmesi, m kütle ve c direnç katsayısıdır. Bilinmeyen fonksiyonu ve onun türevini içeren bu tür denklemler, diferansiyel denklem olarak adlandırılır. v – bağımlı değişken t –bağımsız değişken

3 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü Diferansiyel denklemler derecelerine göre sınıflandırılırlar. 1.Dereceden diferansiyel denklemler - Lineer birinci dereceden diferansiyel denk. - Non-Lineer birinci dereceden diferansiyel denk. - Non-Lineer birinci dereceden diferansiyel denk. f(x,y) non lineer f(x,y) non lineer

4 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü 2. Dereceden diferansiyel denklemler - Lineer ikinci dereceden diferansiyel denk. İkinci dereceden denklem ikinci türev içerir İkinci dereceden denklem ikinci türev içerir - Non-Lineer ikinci dereceden diferansiyel denk. - Non-Lineer ikinci dereceden diferansiyel denk. f(x,y) non lineer f(x,y) non lineer

5 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü * Yüksek dereceli denklemler birinci dereceden denklemelere indirgenebilir. dv = F dt m

6 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü eğim Adım büyüklüğü y i+1 = y i +Φh Bu eşitliğe göre, h aralığı boyunca eski bir y i değerinden yeni bir y i+1 değerini ekstrapolasyonla bulmak için eğim tahmini Φ kullanılır. Bu formül, ileriye doğru adım adım uygulanabilir ve böylece çözümün yörüngesi çizilebilir.

7 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü Euler Yöntemi *Birinci türev, x i deki eğimin doğrudan tahmini verir. Φ= f(x i, y i ) *Burada, f(x i, y i ), x i ve y i ’de hesaplanmış olan diferansiyel denklemdir. bu tahminler eşitlikte yerine konursa; Çözüm Tahmin Gerçek Hata y i +1 = y i +Φh Euler – Caucy Yöntemi (noktasal eğim)

8 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü Euler Yöntemi ÖRNEK: Eşitliği sayısal olarak integre etmek için Euler yöntemini kullanın. Adım büyüklüğünü 0,5 alarak x =0 dan x=4’e kadar integre edin. Başlangıç koşulu : x = 0 to y = 1 XY gerçek Y Euler

9 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü Euler Yöntemi * Adım aralığı büyük oldukça hata artmaktadır. Gerçek çözüm Euler çözüm hatalarını azaltabilmek için iyileştirmeler yapılmalıdır. Bu yöntemler; a)Heun’s Method b)Orta nokta (Midpoint) Method c)Ralston Method

10 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü Runge-Kutta METODLARI = sabitler sabitler ve Euler yönteminin hatasını azaltmanın bir yolu çözümde Taylor serisinin daha yüksek dereceli terimlerini de almaktır.

11 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü Runge-Kutta METODLARI 1.Birinci derece RK methodu n=1 Euler methodu. 2. İkinci derece RK methodu *Taylor serisinin İkinci derece kuralları dikkate alındığında açılımında a1, a2, p1, ve q11 değerleri ile ilgili bağıntılar elde edilebilir.

12 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü Runge-Kutta METODLARI En çok kullanılan üç metod; Heun Methodu (a 2 =1/2) Orta nokta (Midpoint) Methodu (a 2 = 1) Raltson Methodu (a 2 = 2/3)

13 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü Runge-Kutta METODLARI y f(x i,y i ) xixi x i +h x f(x i +h,y i +k 1 h) y aa xixi x i +h x eğim: 0.5(k 1 +k 2 ) Heun Methodu Eğim tahminini iyileştirmek için, biri aralığın başında diğer sonunda olmak üzere aralık için iki türev hesaplanır. Göz önüne alınan aralık için iyileştirilmiş bir eğim elde etmek amacıyla, daha sonra bu iki türevin ortalaması alınır.

14 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü Runge-Kutta METODLARI Orta Nokta Methodu Aralığın orta noktasındaki y değerini tahmin etmek için Euler Yönetmi kullanılır. Daha sonra bu tahmini değer, orta noktadaki eğimi hesaplamak için kullanılır. f(x i +h/2,y i +k 1 h/2 ) y aa xixi x i +h x Eğim: k 2 y f(x i,y i ) xixi x i +h/ 2 x

15 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü Runge-Kutta METODLARI Ralston Methodu x f(x i + 3/4 h, y i +3/4k 1 h) x i +hx y f(x i,y i ) xixi x i +3/4 h y aa xixi Eğim: (1/3k 1 +2/3k 2 )

16 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü Runge-Kutta METODLARI

17 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü Runge-Kutta METODLARI 3. Derece RK methodu

18 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü Runge-Kutta METODLARI 4. Derece RK methodu

19 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü Runge-Kutta METODLARI Örnek: f(x,y)=-2x 3 +12x 2 -20x+8,5 denklemini adım büyüklüğünü h=0,5 alarak, x=0’da y=1 başlangıç koşulu ile integre etmek için klasik 4.derceden R.K yöntemini kullanın.

20 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü Runge-Kutta METODLARI


"Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER 13.HAFTA İÇERİĞİ 13.HAFTA İÇERİĞİ RUNGE KUTTA." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları