Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Prof. Dr. Asaf Varol 2012-2013 Bahar Dönemi 1. 2 Sayısal İ ntegral.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "Prof. Dr. Asaf Varol 2012-2013 Bahar Dönemi 1. 2 Sayısal İ ntegral."— Sunum transkripti:

1 Prof. Dr. Asaf Varol Bahar Dönemi 1

2 2 Sayısal İ ntegral

3  Sayısal integrasyon analitik olarak çözülemeyen belirli integrallerin kullanımı için birincil anahtardır. Analitik çözüm yapmaz. Sayısal integrasyon formülü:  Biz eşit aralıklı noktalarda fonksiyon değerleri kullanan birkaç temel nümerik yaklaşım formülleri araştırıyoruz. Bu metotlar Newton-Cotes formülleri olarak bilinir. Kullanılan integrasyon aralığının sonunda fonksiyon değerlerinin olup olmadığına bağlı olarak İki tip Newton – Cotes formülü vardır. Trapez ve Simpson kuralları “kapalı” formüllerin örnekleridir. Son nokta değerlerini kullanırlar. Midpoint kuralı “açık” formüllerin en basit örneğidir ve son noktayı kullanmazlar. 3

4 4 Trapez (Yamuk) [a, f(a) ve b, f(b)], x 0 =a, x 1 =b, h=b-a,  Basit bir yolla yaklaşım yapar. Eğri altındaki alanı düz bir doğru yoluyla eğriye yaklaştırır. Trapez (Yamuk) yaklaşımı düz doğru yoluyla eğri noktalarını aktarır. [a, f(a) ve b, f(b)], son iki nokta veya aralığa dikkat edilmelidir. x 0 =a, x 1 =b, ve h=b-a, ise

5 e -x^2Trapez kuralı kullanılarak e -x^2 integralinin hesaplanması Değeri bilinmeyen integralin tam değeri fonksiyon için çok önemlidir Trapez kuralı kullanarak bulalım (bu örnek için (b-a)/2=1) Fonksiyon doğru yaklaşımı ile aşağıdaki şekilde gösterilmiştir. 5

6 6

7 7

8 8 Simpson kuralı kuadratik polinom yaklaşımı yoluyla fonksiyonu integre edersek Yaklaşık integral Örnek simpson kuralını kullanarak p/4 yaklaşmını bulunuz. İntegralin kesin değeri

9 9

10 10

11 11

12 Trapez ve Simpson kuralları Newton-Cotes kapalı formüllerinin en basit örnekleridir. Kapalı formüller integrasyon aralığının son noktasında fonsiyon değerlendirmede kullanılır. Eğer biz aralıksız noktalarda sadece fonksiyon değerlendirmeyi kullanırsak en basit formülü (Newton-Cotes açık formülleri) Midpoint kuralıdır. Midpoint kuralı: Örnek: sinx/x integralini Midpoint kullanarak bulun 12

13 13  Midpoint kuralı kullanımıyla bulunan alanın gerçek değeri karşılaştırılması sağ tarafta verilmiştir. Bu alan S integrali ve yaklaşımı tarafından midpoint kullanımıyla verilmiştir.

14 14

15 15

16 Newton-Cotes formülleri bağımsız değişkenin uzay değerlerinin fonksiyonunun değerlendirilmesi tabanlıdır. Gaussian integral formülleri yüksek dereceden olası polinomlar için doğru formüllerle seçilen doğru noktaların fonksiyonlarını değerlendirir. Gaussian integral formülleri genellikle [-1 1] integrasyon aralığında hızlıdır. Gaussian kuadratik formülünün genel biçimi Burada x i noktanın yaklaşık değeridir ve n seçimine bağlı c i katsayısı üstünde kuadratik noktalar x 1,…, x n,n dereceden sıfır olmayan Legendre polinomu katsayı yakınsamasında kullanılır. 2n-1 dereceden polinom için gerçek integrasyon formülüdür. 16

17 17 Örneğin iki değerlendirme noktası Gauss-Legendre kuadratik kuralı için 3. dereceden eklenen polinom için şu formdadır; Gauss-Legendre kuadratik kuralı n=3 değerlendirme noktası için 5. dereceden eklenen polinom için sahip olduğu form şu şekildedir; Gauss kuadratik parametrelerin değerleri x i ve c i için n=2….4 aşağıda tablo verilmiştir.

18 18 e -x^2 [-1 1]e -x^2 [-1 1] üstünde Gaussian kullanarak;

19 Bölüm 5 Sonu 19

20  Celik, Ismail, B., “Introductory Numerical Methods for Engineering Applications”, Ararat Books & Publishing, LCC., Morgantown, 2001  Fausett, Laurene, V. “Numerical Methods, Algorithms and Applications”, Prentice Hall, 2003 by Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, NJ  Rao, Singiresu, S., “Applied Numerical Methods for Engineers and Scientists, 2002 Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ  Mathews, John, H.; Fink, Kurtis, D., “Numerical Methods Using MATLAB” Fourth Edition, 2004 Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ  Varol, A., “Sayisal Analiz (Numerical Analysis), in Turkish, Course notes, Firat University,


"Prof. Dr. Asaf Varol 2012-2013 Bahar Dönemi 1. 2 Sayısal İ ntegral." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları