Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

DERS 11 KISITLAMALI MAKSİMUM POBLEMLERİ 1. Teorem (Lagrange): Bir g(x,y) = 0 kısıtlaması altında z = f (x,y) fonksiyonunun her hangi bir yerel maksimum.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "DERS 11 KISITLAMALI MAKSİMUM POBLEMLERİ 1. Teorem (Lagrange): Bir g(x,y) = 0 kısıtlaması altında z = f (x,y) fonksiyonunun her hangi bir yerel maksimum."— Sunum transkripti:

1 DERS 11 KISITLAMALI MAKSİMUM POBLEMLERİ 1

2 Teorem (Lagrange): Bir g(x,y) = 0 kısıtlaması altında z = f (x,y) fonksiyonunun her hangi bir yerel maksimum veya minimum değeri f (a,b) ise, F(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y) olmak üzere (a,b, ) üçlüsü aşağıdaki denklem sisteminin bir çözümüdür: 2

3 z = f(x,y) veya F(x,y,z) = 0 şeklinde verilen bir fonksiyonun g(x,y) = 0 veya G(x,y,z) = 0 kısıtlaması altında ekstremum değerlerinin bulunması gerekebilir. Ekstremum değerleri aranan z = f(x,y) fonksiyonuna amaç fonksiyonu, g(x,y) = 0 fonksiyonuna kısıtlama fonksiyonu denir. Bu tür problemlerin çözümünde iki yol izlenir. 3

4 1. Kısıtlama fonksiyonundan değişkenlerden biri diğeri veya diğerleri cinsinden çekilerek amaç fonksiyonunda yerine yazılır. Böylece amaç fonksiyonunun bilinmeyen sayısı 1 azaltılmış olur. Bundan sonra bilinen yöntemlerle amaç fonksiyonunun ekstremum değerleri bulunur. 2. Lagrange Çarpanları Yöntemi : Bunun için amaç fonksiyonu z = f(x,y), kısıtlama fonksiyonu g(x,y)=0 ise F(x,y,λ) = f(x,y)+λg(x,y) fonksiyonu oluşturulur. F x =0, F y =0, F λ =0 denklemlerinden x, y, λ bulunur. Böylece elde edilen (x,y,z) noktaları aranan ekstremum noktaları olur. 4

5 Şekilde görüldüğü gibi, bir duvarın önünde bir tarafı duvar, diğer üç tarafı tel örgü ile çevrili dikdörtgen biçiminde bir alan oluşturulmak isteniyor. Kullanılabilecek tel-örgü 240 m olduğuna göre, oluşturulacak alanın maksimum olması için dikdörtgenin boyutları ne olmalıdır? 240 m. Örnek Problem: 5

6 Problemin çözümü için dikdörtgensel bölgenin boyutlarını x ve y ile gösterelim. Oluşturulacak alan A = f (x,y) = xy dir. Kullanılacak tel örgünün uzunluğunun x+2y=240m olması x ve y üzerinde bir kısıtlamadır. Burada amaç fonksiyonu A = xy, kısıtlama fonksiyonu g(x,y)= x+2y-240 tır. x y Problemimizi aşağıdaki gibi ifade edebiliriz: z = f (x,y)= xy fonksiyonunun g (x,y)= x+2 y – 240 kısıtlaması altında maksimum değerini bulunuz. 6

7 fonksiyonunu tanımlayalım. Lagrange çarpanı olur. Çözüm: A max = = m 2 olur. 1. yol: x+2y=240 eşitliğinden y=120 çekip A =xy de yerine yazarak A = 120x elde ederiz. Buradan A’= 120 – x = 0 ve buradan x = 120, y = 60 olur. 2. yol: Lagrange Çarpanları Yöntemi: 7

8 Problem: z = x 2 +y 2 yüzeyin grafiğini çizelim ve kısıtlamanın ne olduğunu görelim. Çözüm: z = f (x,y) = x 2 + y 2 fonksiyonunun x+y=10 kısıtlaması altında minimum değerini bulunuz. 8

9 z y x (0,0,0) z = x 2 + y 2 z = y 2 z = x 2 4 = x 2 + y 2 z = x 2 + y 2 yüzeyinin grafiği 9

10 z y x (0,0) (10,0) (0,10) x+ y = 10 10

11 z = x 2 + y 2 paraboloidi ile x+y=10 düzleminin arakesit eğrisi z = x 2 + y 2 x+y=10 (10,0) (0,10) z y x 11

12 Kısıtlamanın anlamı şudur; z nin, z = x 2 + y 2 yüzeyi ile x+y = 10 düzleminin arakesit eğrisi üzerindeki minimum değeri istenmektedir. 1. yol: x+y=10 y=10 - xz = x 2 +(10 – x) 2 z=2x 2 -20x+100 ve z ’ =4x-20=0 x=5, y=5, z=50 2. yol: Lagrange Çarpanları Yöntemi: Verilen kısıtlama altında z min =50 olur. 12

13 13

14 (0,5,0) (-5,0,0) (0,0,25) (5,0,0) (0,-5,0) z = 25 - x 2 z = 25 - y 2 x 2 + y 2 = 25 z=25-x 2 -y 2 nin grafiği; z = 25 - x 2 - y 2 z y x z=25-x 2 -y 2 nin x+y=4 kısıtlaması altında maksimum değerini bulunuz. Problem: 14

15 15

16 16

17 (4,0,0) (0,4,0) z y x x+ y = 4 17

18 (-5,0,0) z y x (0,0,25) (0,-5,0) z = 25 - x 2 - y 2 x+ y = 4 (4,0,0) (0,4,0) z=25-x 2 -y 2 x+y=4 18

19 z=25-x 2 -y 2 yüzeyi ile x+ y = 4 düzleminin arakesit eğrisi üzerinde z’nin maksimum değeri z max = 17 dir. Çözüm: 1. yol: x+y=4 y=4 - xz = 25-x 2 -(4 – x) 2 z=25-2x 2 +8x-16 ve z ’ = -4x+8=0 x=y=2, z=17 2. yol: Lagrange Çarpanları Yöntemi: 19

20 Örnek: fonksiyonunun 3x+4y=74 kısıtlaması altında ekstremumlarını Lagrange Çarpanları Yöntemi ile bulunuz 20 Çözüm: min. noktası

21 z = f (x,y) = e xy fonksiyonunun x - y = 2 kısıtlaması altında minimum değerini, Problem: Çözüm: a) F(x,y,λ) = e xy +λ(x-y-2) F x = ye xy +λ = 0 F y = xe xy -λ = 0 F λ = x – y – 2 = 0 λ = xe xy ye xy + xe xy = 0 y= – x x = 1, y = -1 z = f (1,-1) = e -1 yüzeyin x - y = 2 kısıtlaması altında minimum değeridir. a) Lagrange Yöntemini kullanarak, b) Lagrange Yöntemini kullanmadan bulunuz. 21

22 b) z = f(x,y) = e xy fonksiyonunu x - y = 2 kısıtlaması altında z = f(x) = e x(x-2) yazabiliriz. f ’ (x)= (2x – 2)e x(x-2) = 0 z= f(x)= e x(x-2) fonksiyonunun minimum değeri için x = 1 x = 1, y = -1, z = e -1 olur. f ‘ (x), x = 1 de negatiften pozitife geçtiği için z = e -1 minimum değerdir. 22 NOT: Lagrange Yöntemi 3 ve daha çok değişkenli fonksiyonlar için de uygulanabilir.

23 Şekilde görüldüğü gibi üstü açık, 5 bölmeli, 96 cm 3 hacimli bir kutu en az malzeme kullanılarak üretilecektir. Kutunun boyutlarını, Problem: a) Lagrange Yöntemini kullanmadan, b) Lagrange Yöntemini kullanarak bulunuz. Çözüm: Kutunun boyutlarını x, y, z ile gösterelim. x y z Kullanılacak malzeme M(x,y,z)=6yz+2xz+xy cm 2 olur. Diğer taraftan V = xyz = 96 cm 3 tür. 23

24 a) xyz = 96 Kutunun hacminin 96 cm 3 olması kısıtlaması altında kutunun boyutları x = 12 cm, y = 4 cm, z = 2 cm olmalıdır. Bu durumda kullanılacak malzeme miktarı M= = 144 cm 2 olur. 24

25 b) F(x,y,z,λ) = 6yz+2xz+xy + λ(xyz-96) F x =2z+y + λyz = 0 F y =6z+x + λxz = 0 F z =6y+2x + λxy = 0 F λ =xyz-96 = 0 2xz+xy + λxyz = 0 6yz+xy + λxyz = 0 x = 3y 6y+6y + 3λy 2 = 0 2z+y + λyz = 0 x = 12, y = 4, z = 2 bulunur. 25

26 b) F(x,y,z,λ) = 6yz+2xz+xy + λ(xyz-96) F x =2z+y + λyz = 0 F y =6z+x + λxz = 0 F z =6y+2x + λxy = 0 F λ =xyz-96 = 0 2xz+xy + λxyz = 0 6yz+xy + λxyz = 0 x = 3y 6y+6y + 3λy 2 = 0 2z+y + λyz = 0 x = 12, y = 4, z = 2 bulunur. 26

27 ÖDEVLER: fonksiyonunun kısıtlaması altında maksimum değerini a)Lagrange yöntemi ile b)Lagrange yöntemini kullanmadan bulunuz. fonksiyonunun kısıtlaması altında maksimum değerini a)Lagrange yöntemi ile b)Lagrange yöntemini kullanmadan bulunuz. 27

28 kısıtlaması altında maksimum değerini Lagrange yöntemi ile bulunuz. fonksiyonunun kısıtlaması altında minimum değerini Lagrange yöntemi ile bulunuz. fonksiyonunun kısıtlaması altında maksimum değerini Lagrange yöntemi ile bulunuz. fonksiyonunun 6. Çevresi 300 cm olan dikdörtgenler prizmasının hacminin en büyük olması için boyutları ne olmalıdır? 28

29 düzleminin orijine en yakın noktasını bulunuz. dikdörtgenin kenar uzunluklarını ve alanını bulunuz. elipsinin içine çizilebilecek en büyük alanlı içindeki eksremum değerlerini bulunuz. fonksiyonunun dairesinin içindeki eksremum değerlerini bulunuz. fonksiyonunundairesinin dairesi içindeki maksimum ve minimum eşitliği ile verilen sıcaklığın değerlerini bulunuz. 29

30 eğrisinin orijine en yakın ve en uzak noktalarını bulunuz. 13. Çevrisi 12m olan dikdörtgen şeklindeki bir reklam levhasının alanının en büyük olması için boyutları ne olmalıdır? 14. Sac malzeme kullanılarak hacmi 64 m 3 olan dikdörtgenler prizması şeklinde bir su deposu yaptırılacaktır. Minimum malzeme kullanılması için boyutları ne olmalıdır? 15. Hacmi 192 cm 3 olan silindir şeklinde bir bardak üretilecektir. Bardağın yüzölçümünün (toplam alanının) minimum olması için boyutları ne olmalıdır?( alınız) 30

31 ÇÖZÜMLER: 31

32 32

33 33

34 34

35 35

36 düzleminin orijine en yakın noktasını bulunuz. Herhangi bir noktanın orijine olan uzaklığının karesi dir. Bu noktanın verilen düzlem üzerinde bulunması şartı ise bir kısıtlamadır. 36

37 37

38 dikdörtgenin kenar uzunluklarını ve alanını bulunuz. elipsinin içine çizilebilecek en büyük alanlı 38

39 içindeki eksremum değerlerini bulunuz. fonksiyonunun dairesinin A ve B noktalarında maksimum C ve D noktalarında minimum vardır. 39

40 içindeki eksremum değerlerini bulunuz. fonksiyonunundairesinin 40

41 15. Hacmi 192 cm 3 olan silindir şeklinde bir bardak üretilecektir. Bardağın yüzölçümünün (toplam alanının) minimum olması için boyutları ne olmalıdır? 41


"DERS 11 KISITLAMALI MAKSİMUM POBLEMLERİ 1. Teorem (Lagrange): Bir g(x,y) = 0 kısıtlaması altında z = f (x,y) fonksiyonunun her hangi bir yerel maksimum." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları