Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Prof. Dr. Asaf Varol 2012-2013 Bahar Dönemi 1. Do ğ rusal Olmayan Denklemlerin Çözümü 2.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "Prof. Dr. Asaf Varol 2012-2013 Bahar Dönemi 1. Do ğ rusal Olmayan Denklemlerin Çözümü 2."— Sunum transkripti:

1 Prof. Dr. Asaf Varol Bahar Dönemi 1

2 Do ğ rusal Olmayan Denklemlerin Çözümü 2

3  Newton-Raphson yaklaşım metoduna benzer.  Analitik olarak türevin hesaplanmasına ihtiyaç duymadığı için farklıdır, bu büyük bir avantaj sağlar. F(x i ) = [F(x i ) - F(x i-1 )]/(x i – x i-1 )  Dezavantajı, bu ilk iki tahminin birinin yerine gerekmesidir. 3

4 4

5  Yüksekliği h, boru çapı D ve kuleye bağlı düşey aşağıya doğru akan ve sonrasında yatay olarak arzu edilen dağıtım noktasına ulaştırılan L uzunluğundaki boru içerisinden su geçmektedir. Bu sistemde akış debisi olan Q için aşağıdaki denklem verilmektedir. Secant yöntemini kullanarak köklerini bulunuz. 5

6 6

7 7

8  Bazı durumlarda, bir kök birden fazla kez kök rolünü yerine getirebilmektedir. Örneğin denklemde F(x) = x 3 - x 2 - x + 1= (x + 1)(x - 1)2 = 0 üç kök vardır, öyleki x = -1, ve x = 1 ile ikisinin katı  l’Hospital kuralı kullanılarak, Newton-Raphson metodu değişebilmektedir. x i+1 = x i - F(x i )/F  (x i ) Veya, ikinci türevi de sıfır ise l'Hospital‘ kuralı aşağıdaki denklemi elde etmek için bir kez daha uygulanabilir. x i+1 = x i - F  (x i )/F  (x i ) 8

9 9

10  Problem:  Problem: Newton-Raphson metodunu polinom denklemine uygulayınız. F(x) = x 3 - 3x 2 + 3x - 1 = (x - 1) 3 = 0  Çözüm:  Çözüm: İlk önce verilen fonksiyonda bir değişiklik olmadan Newton-Raphson metodunu uygularız. Metotta gösterilen x0 = 0, 0.5, 0.9, ve 1.5 başlangıç değerlerinin hiçbiri için bir noktada birleşmez. Bu olaydaki iterasyonlar da ve arasında salınım yapmaktadır. Fakat eğer aşağıdaki yer değiştirmeyi yaparsak U(x) = F(x) ve U(x) = F  (x) ve aynı metodu uygularsak x i+1 = x i - U(x i )/U(x i ) Metot, 24 iterasyonda kök olan x= 'e 1.0E-07'ye bağlı bir hata ile yakınsar ve x=0.0 değeri ile başlar. 10

11  Önceki metotların N değişken ile N denklemli sisteme genişletilmesi  Tartışmamız doğrusal olmayan denklemlerin aşağıdaki sistemler ile çözümüyle sınırlı kalacaktır: F(x,y) = 0 G(x,y) = 0  Örneğn, x 2 + y = 0 -exp(-x) + y = 0 11

12  Jacobi metodu, denklem sistemlerinin bir sabit nokta iterasyon metoduna genişlemesidir.  Denklemlerin F(x,y) = 0 G(x,y) = 0 x = f(x,y) y = g(x,y) dönüştürülmesi gerekmektedir. Gerçek iterasyon bir denklem ile bir değişkenin durumuna benzer x i+1 = f(x i,y i ) y i+1 = g(x i,y i ) 12

13 (x r, y r )  Yakınsama kriteri- (x r, y r ) kökünün komşuluğu 13

14  Problem:  Problem: Jacobi İterasyon Metodunu kullanarak aşağıdaki denklem sistemlerini çözünüz. x exp(-xy) = 0 y exp(-0.5x)cos(xy) = 0  Çözüm:  Çözüm: İlk olarak formdaki denklemleri yeniden yazınız x = f(x, y), y = g(x,y) x = 5 - exp(-xy) y = 1 - exp(-0.5x)cos(xy) x 0 = 0, y 0 = 01.e-07  İlk tahmin olan x 0 = 0, y 0 = 0 ile başlarız ve 1.e-07 'ye bağlı bir hata ile Jacobi metodunu uygularız. Sonuçlar, Jacobi iterasyon yaklaşımının 20 iterasyonda kök x=4.9926, y= e yakınsadığını gösterenTablo de gösterilmektedir. Not: x ve y'deki mutlak hata, durdurma kriteri olarak kullanılır.  ERROR = (errorx2 + errory2)1/2 < errbound. 14

15 %Jacobi Iteration Method x0=0.0;y0=0.0E=1.0E-4;% %---writing out headers to the file 'jacobimethod.dat' %fid=fopen('jacobi.dat','w'); fprintf(fid,'Roots of Equations x-5+exp(-xy)=0 \n\n') fprintf(fid,'Roots of Equations y-1+exp(-0.5x)cos(xy)=0 \n\n') fprintf(fid,'Using Jacobi Method \n') fprintf(fid,'iter x y ErrorX ErrorY \n'); fprintf(fid,' \n');% %---entering the loop to determine the root % 15

16 for i=1:100 x1=5-exp(-x0*y0); x1=5-exp(-x0*y0); y1=1-exp(-0.5*x0)*cos(x0*y0); y1=1-exp(-0.5*x0)*cos(x0*y0); errorx=abs(x1-x0); errorx=abs(x1-x0); errory=abs(y1-y0); errory=abs(y1-y0); %---writing out results to the file 'jacobi method.dat' % fprintf(fid,'%4.1f %7.4f %7.4f %7.4f %7.4f \n',i,x1,y1,errorx,errory); fprintf(fid,'%4.1f %7.4f %7.4f %7.4f %7.4f \n',i,x1,y1,errorx,errory);% if abs(x1-x0)

23  Çeşitli mühendislik uygulamalarında, Lazer Doppler Anamometresi (LDA) kullanılarak sıvı hız ölçümleri yapılır. Bu, birbirini kesen yarıçapları verilen iki çemberin merkezi konum koordinatlarını belirlemek için gereklidir. Bu durumda genelliği kaybetmeden, biri çemberin merkezindeki koordinat sisteminin orjinine koyulabilir, bunun sonucunda denklemler; x c =1, y c =1, r 1 =1, r 2 =1  (x c,y c ) ikinci çemberin merkezinin koordinatlarıdır. Örneğin x c =1, y c =1, r 1 =1, r 2 =1, bu iki çemberin kesişim noktalarını bulabilirsiniz. 23

24  Çözüm:  Çözüm: İki denklem için türetilmiş Newton-Raphson iterasyon metodu, yukarıda verilen denklemin köklerini kolaylıkla bulmada kullanılabilir.  Kısmi türevler F x = 2x ; F y = 2y ; G x = 2(x-1) ; G y = 2(y-1)  Ve Jacobian şu şekilde verilir: J = (F x G y - G x F y ) ( ) x x'e göre kısmi türevi ifade eder ve y için de aynıdır. Yukarıdaki denklemlerin tam kökleri denklemin (1,0) ve (0,1) kontrolü ile bulunabilir. İlk kök için bir başlangıç tahmini x=0.5, y=0.1dir ve ikinci kök için x=0.1, y=0.5'dir. Kökler şu şekilde bulunmuştur: (i) x r = , y r = e-05; (i) x r = , y r = e-05; (ii) x r = e-05, y r = (ii) x r = e-05, y r =

25  Aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi bir nesnenin sönümlü salınımı Newton'un ikinci yasası tarafından yönetilir.  Şekil C.2.3a sönümlü kütle-yay sistemi  (kütle) (ivme) = (cisme etki eden net kuvvet)  Bu problem için denklem şu şekilde yazılabilir; m a = - cv - kx  m kütle (kg olarak), a bir hızlanma, c yay sabiti sönüm katsayısı (kg/s), k (kg/s) yaylanma katsayısı ve x bir denge konumundan yer değiştirme mesafesidir. Yukarıdaki denklem şu şekilde de yazılabilir: x = x 0 ; v = 0. at t =0. 25

26  Bu sorunun analitik çözümü bunun bir salınım hareketi olduğu gerçeğini bilerek bulunabilir ve bu viskoz bir sıvı ile sönümlüdür, böylece yer değiştirme uzun bir süre için sıfıra gitmelidir, örneğin t nin sonsuza gitmesi gibi. Formun bir çözümü x =x 0 exp(-bt) [ ACos(  t) + BSin(  t) ] A = 1 B = b/  Başlangıç koşulları ile yetinmek yerine şunu elde etmeliyiz A = 1 ; B = b/   Önerilen çözüm, Cos(  t) ve Sin(  t) ‘in sıfıra doğru katsayılarının eşitlenmesi diferansiyel denklem için önerilen yedekleme çözümüdür (diferansiyel eşitleme bir süre için sıfır olmalıdır) iki bilinmeyen için aşağıdaki ilişki verilir; b = c/(2m) ;  = [ (k/m) - (c 2 /4m 2 )] 1/2  Anlamlı bir çözüm için şu olmalıdır c 2 < 4mk  c= 100 kg/sk = 10,000 kg/s 2 m=50  c= 100 kg/s, k = 10,000 kg/s 2, ve m=50 kg verilmiştir. 1) Nesnenin salınımının %10'dan az olması durumunda bu ilk yer değiştirme olur ve sonra zamanı belirleyin. x=0 2) Nesnenin denge noktasını geçmesi durumunda ilki zamanı belirleyin. x=0. 3) c kt=0.20 3) c ve k 'nın yukarıdaki değerlerini göz önüne alarak nesne ilk defa t=0.20 saniyede iken sıfır pinti geçen m yi belirleyin 26

27  Çözüm (i): Önce b ve  parametrelerini hesaplarız : b =1. sec -1 ;  =14.11 sec -1  Problem (i) yi çözmek için herhangi bir sayısal metot kullanmak gerekli değildir. Ancak bunun genel davranışını elde etmek için zamanın bir fonksiyonu olarak bu fonksiyonu çizeriz. Şekil C2.3b nesnelerin genlik bozulması ile periyodik bir şekilde salınımını gösterir. Alan bilgileri şu şekildedir: Sin(  t) = 0Cos(  t) = 1 Sin(  t) = 0. veya Cos(  t) = 1  Fonkisyonun yerel bir maksimum ve minimumu vardır. Böylece; 0.1 = exp(-bt) [ ] t = 2.3 saniye olarak bulunur ilk kısım için cevap, t = 2.3 saniye olarak bulunur. 27

28  Çözüm (ii):  Çözüm (ii): Bölüm (ii) şu çözümü gerektirir; 0 = exp(-bt) [ Cos(  t) + c/(2m)Sin(  t) ]  exp(-bt) hiçbir zaman sıfır olmadığında, şu denklem ile iki bölüme ayırırız; F(t) =Cos(  t) + c/(2m)Sin(  t) ] = 0.  Parametrelerin verilen değerleri ile ve alt ve üst değerleri olan t lower = 0., t upper =0.2 ile Bisection metodu kullanılır, Bölüm (ii)’nin cevabını aşağıdaki şekilde buluruz; t = seconds  Bu problem ayrıca Newton-Raphson metodu ile de çözülebilir. 28

29 29

30  Bölüm (iii) Çözümü:  Bölüm (iii) Çözümü: Bu durumda bağımlı değişken zaman değil, kütle olan m'dir. Bu nedenle şekillerde görüldüğü gibi bağımsız değişken m fonksiyonunu çizeriz. İlk şekil 0.5 kg aralığındaki fonksiyonu tarama ile oluşturulur. Daha önce belirtildiği gibi bazı analitik analizleri kullanmadan ve bazı mühendislik yargılarını kullanmadan bu denklemin yaklaşık köklerinin ne olacağını tahmin etmek zordur. Bu problem sabit bir süre için iyi bir örnektir, bu durumda, sadece bir kütle, m olduğunda t=0.2 s olduğu görülmektedir. Grafiklerden bunun durum olmadığı görülmektedir. Grafik dikatlice incelendiğinde şu aralıkta kökleriin olduğu görülmektedir: (0.5, 1.0) ; (1.5, 2.0) ; (2.5, 3.0) ; (5.5, 6.0) ; (16.5, 17.0) ; (153.5, 154) m<0.5  Bununla birlikte ilk şekilden bütün bu noktaları bulmak zordur. Bunun için, grafiğin bu kısmı ikinci şekilde genişletilir ve yeniden çizilir. Bu fonksiyon için m<0.5 doğrultusunda tablodaki değerler irdelenir. Bu yüzden, bölüm (iii)ün uygun bir açıklaması için çözüm aralığını belirtmek gerekir. Örneğin şu şekilde olabilir; (x=0) t=0.2 (10,20)  “ Nesne, denge noktası olan (x=0) dan t=0.2 saniyede geçer gibi (10,20) aralığında m'nin muhtemel değerlerini belirleyin.. ” Bu problemi çözmek için aşağı ve yukarı 10 ve 20 sınırı ile Bisection metodunu uygularız. Bu aralıktaki kökler; 1.E-04’e bağlı bir hata ile m = kg m = kg 30

31 31

32 Bölüm 2b Sonu 32

33  Celik, Ismail, B., “Introductory Numerical Methods for Engineering Applications”, Ararat Books & Publishing, LCC., Morgantown, 2001  Fausett, Laurene, V. “Numerical Methods, Algorithms and Applications”, Prentice Hall, 2003 by Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, NJ  Rao, Singiresu, S., “Applied Numerical Methods for Engineers and Scientists, 2002 Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ  Mathews, John, H.; Fink, Kurtis, D., “Numerical Methods Using MATLAB” Fourth Edition, 2004 Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ  Varol, A., “Sayisal Analiz (Numerical Analysis), in Turkish, Course notes, Firat University,


"Prof. Dr. Asaf Varol 2012-2013 Bahar Dönemi 1. Do ğ rusal Olmayan Denklemlerin Çözümü 2." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları