Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Ortogonal bazlar, ortogonal matrisler ve Gram- Schmidt yöntemi ile ortogonaleştirme vektörleri aşağıdaki özeliği sağlıyorsa ortonormaldir: ortogonallik.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "Ortogonal bazlar, ortogonal matrisler ve Gram- Schmidt yöntemi ile ortogonaleştirme vektörleri aşağıdaki özeliği sağlıyorsa ortonormaldir: ortogonallik."— Sunum transkripti:

1 Ortogonal bazlar, ortogonal matrisler ve Gram- Schmidt yöntemi ile ortogonaleştirme vektörleri aşağıdaki özeliği sağlıyorsa ortonormaldir: ortogonallik normalizasyon standart baz Hatırlatma

2 * Ortogonal martis, sütunları ortonormal vektörlerden oluşan kare matristir *Q ’nun sütunları ortonormal vektörlerden oluşmuş ise: Neden ortogonal matris denmedi? Q dikdörtgen matris olsa bile Q T Q=I ancak Q T sadece sol ters Hatırlatma

3 Varlık ve teklik teoremi Varlık: Ax=b ’nin her b için en az bir çözümü x vardır A ’nın sütunları R m ‘i örter Bu durumda r=m ’dir ve ve AC=I mxm sağlayan A ’nın nxm boyutlu sağ tersi vardır. Bu durum m≤n ise mümkündür. Hatırlatma

4 Teklik: Ax=b ’nin her b için en çok bir çözümü x vardır A ’nın sütunları lineer bağımsız Bu durumda r=n ’dir ve ve BA=I nxn sağlayan A ’nın nxm boyutlu sol tersi vardır. Bu durum m≤n ise mümkündür. Hatırlatma

5 Sağ ve sol tersleri bulmanın yolu Hatırlatma Sol ters Sağ ters

6 İki örnek Ortogonal mi? Başka ortogonal matris hatırlıyor musunuz?

7 Ortogonal matris ile çarpma vektörün boyunu korur Nasıl anlarız? Aynı zamanda iki vektörün iç çarpımı ve aralarındaki açıyı da korur

8 Ortonormal bazın bize sağladığı bir kolaylık….. V vektör uzayının ortonormal q i vektörlerinden oluşmuş bir bazı olsun. ise şeklinde yazılır ‘leri biliyorsak Ortonormal baz işte burada kolaylık sağlayacak 0 0 Ortonormal baz!!! 1

9 Benzer şekilde… Tüm bu işlemleri matris şeklinde yazarsak baz vektörleri ortonormal olmasaydı nasıl olacaktı? Sütunları baz vektörleri Kazancımız matris tersi hesaplamak yerine…

10 Bir şeye daha dikkat…… b ’ nin a ’’ ya izdüşümü p: Tekrar yazalım : =1 v vektörü için ne diyebiliriz?

11 Q mxn boyutunda ise ne olacak…. Artık Q T, Q ’ nun tersi değil ama hala daha Q T Q=I Bunu daha önce gördük Sonuç: ‘nin çözümü Q kare ise tam çözüm, Q dikdörtgen ise en küçük kareler çözümü

12 m denklem ve n bilinmeyen içeren, tutarsız Ax=b denklem takımının en küçük kareler yaklaşıklığı ile elde edilecek çözümü x* A T Ax*=A T b Eşitliğini sağlar ve A ’nın sütunları lineer bağımsızsa, A T A tersinirdir ve x*=(A T A) -1 A T b b ’nin sütun uzayına izdüşümü p de p=Ax*=A(A T A) -1 A T b eşitliğini sağlar Hatırlatma

13 Q’ nun sütunları ortonormal ise en küçük kareler problemi basitleşiyor….. x*=(A T A) -1 A T b yerine x*=(Q T Q) -1 Q T b ortonormal Q için: Qx=b (dikdörtgen sistemlerde çoğu b için çözüm yoktur) Q T Qx*=Q T b (en iyi x* için denklem) x*= Q T b (çözüm) p=Qx* ( b ’nin sütunlara izdüşümü- ) P=QQ T (izdüşüm matrisi)

14 Gram-Schmidt Yöntemi Ortonormal vektörler kolaylık sağladığına göre verilen herhangi bir vektör kümesini ortonormal vektörlere dönüştürebilir miyiz? verilmiş olsun, nasıl ‘ları elde ederiz özelikleri ne? Kolay olan q 1 ’i bulmak: Doğrultusu v 1 ile aynı, boyu da 1 q 2, q 1 ’ e dik olmalı: Bu neye karşı düşüyor? V 2 ’nin q 1 doğrultusunda ki bileşenine Peki, neden çıkarıyoruz Lineer bağımsız

15 Ancak ortonormal vektörler kümesine katılması için boyunun 1 olması gerek q 1,q 2 var q 3 ’ ü oluşturalım: Diklik sağlandı birim olma da sağlanmalı

16 Benzer şekilde….. Gram-Schmidt bize A matrisi için yeni bir ayrıştırma veriyor Eskisi neydi?

17 A sütunları lineer bağımsız mxn boyutunda bir matris olsun ; Q sütunları ortonormal bir matris ve R tersinir, üst üçgen olmak üzere A ’nın A=QR ayrışımı vardır. m=n ise ve tüm matrisler kare ise Q ortogonal matristir. Bu ayrışımı en küçük kareler yönteminde kullanırsak: (A T A)x*=A T b (R T Q T QR)x*= (R T Q T )b (R T R)x*= (R T Q T )b Rx*= Q T b

18 Biraz tekrar A matrisinin sütunlarından Gram- Schmidt yöntemiyle ortonormal bir baz elde ediniz. A=QR ayrışımını elde edniz ve Ax=b ’ nin en küçük kareler çözümünü belirleyiniz. x 1 ve x 2 R 4 ‘de ortonormal bir küme oluşturmaktadır. Bu kümeyi ortonormal baza tamamlayınız.


"Ortogonal bazlar, ortogonal matrisler ve Gram- Schmidt yöntemi ile ortogonaleştirme vektörleri aşağıdaki özeliği sağlıyorsa ortonormaldir: ortogonallik." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları