MECHANICS OF MATERIALS

... konulu sunumlar: "MECHANICS OF MATERIALS"— Sunum transkripti:

1 MECHANICS OF MATERIALS
Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Burulma (Torsion): Dairesel Kesitli Millerde Gerilme ve Şekil Değiştirmeler •Endüstiryel uygulamalarda en çok rastlanan yükleme tiplerinden birisi dairsel kesitli millere gelen burulma momentleridir. •Burulma momenti vektörü sağ el kaidesine göre çubuk ekseni doğrultusundadır. •Bu konuda ilk amacımız burulma momenti sebebiyle mil kesitinde (dairesel kesittte) oluşan gerilmelerin dağılımını bulmak ve herbir noktadaki değerini hesaplamaktır. © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

2 MECHANICS OF MATERIALS
Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Net Torque Due to Internal Stresses Bir mil her iki ucundan borulma momentine maruz olsun. Denge halindeki milin hayali bazda ayırdığımız her bir parçası da iç ve dış kuvvetlerin etkisi ile dengededir (ayırma prensibi) T    dF    dA Birim alana düşen iç kuvvet :   dF / dA © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

3 MECHANICS OF MATERIALS
Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek T    dF    dA Uygulanan bir tork şaft eksenine dik yüzeylerde kayma gerilmeleri meydana getirir. Dairesel bir milin üzerine eksene paralel çıtalar yerleştirilip burulma momentine maruz bırakılırsa; çıtaların birbirlerine göre yaptığı kayma görülebilir. © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

4 MECHANICS OF MATERIALS
Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Gözlemler dairesel kesitli bir mildeki dönme açısının (  ) uygulanan tork değeri ve uzunlukla doğru orantılı olarak değiştiğini göstermiştir. Burulmaya maruz dairesel kesitli bir milde (dolu ve içi boş); tüm kesitler düzlem kalır ve şekli değişmez. Çünkü dairesel kesitli miller aksi-simetriktir ve deformasyon sonrası kesit görünümleri değişmez. Kesit üzerine çizilen (markalanan) bir çap çizgisi burulma sonrası yine düz kalır. Dairesel olmayan kesitler © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

5 dA   max c  c  MECHANICS OF MATERIALS  max  max  Tc 
Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Kayma şekil değiştirmesi ve kayma gerilmesi (Elastik bölgede) Kayma şekil değiştirmesi dönme açısı ve radyüsle orantılıdır  yay uzunlugu: AA'  L      (Şekil c den) (Şekil a dan) L c L  c  max  ve    max     G   G   G max max c c  T    dA  max   2 dA   max (Hooke Bağıntısı) J c c Böylece dairesel millerin elastik burulmasında gerilme formülü:  Tc J ve   T J  max T : burulma momenti (tork) (N.mm) τ : kayma gerilmesi (N/mm2) Φ: dönme açısı (radyan) γ : birim şekil değiştirme J : polar atalet momenti (mm4) c  c  J  1  c4 J   1 4 4 2 1 2 2 © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

6 MECHANICS OF MATERIALS
Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek r c b •Kayma gerilmeleri çemberin o noktadaki teğeti doğrultusundadır. •Maksimum gerilmeler dış çemberdedir. •Aynı çember üzerindeki noktalarda (örn: a,b,c noktaları)kayma gerilmeleri eşittir. © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

7 MECHANICS OF MATERIALS
Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Burulmada hasar şekilleri Sünek malzemelerin hasarında kayma gerilmeleri, gevrek malzemelerin hasarında ise çekideki normal gerilmeler daha etkilidir. Sünek malzeme Gevrek malzeme Örnek: Şekildeki şaft için emniyetli kayma gerilmesi değeri 120 MPa olduğuna göre uygulanabilecek burulma momentini ve bu momente karşılık gelen minimum kayma gerilmesini bulunuz. © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

8 MECHANICS OF MATERIALS
Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Örnek: Şekildeki şaftın BC kısmının içi boştur ve iç çapı 90 mm, dış çapı 120 mm’dir. Diğer kısımların içi dolu ve çapları “d ” dir. Buna göre; a-) AB ve CD kısımları için izin verilebilir kayma gerilmesi değeri 65 MPa ise d ne olmalıdır? b-) BC kısmındaki maksimum ve minimum kayma gerilmelerini bulunuz. Statik dengeden:  x M  0  6 kN m T AB T  6 kN m  T  6x10 Nmm 6 AB CD J  c  c           4 4 60mm 45mm 4 4 2 1 a) b) 2 2  1392 104 mm4 T c 20x106 N  mm60 mm     BC  max 2 J 1392 104 mm4  86.2 MPa  Tc  Tc 65MPa  6x10 Nmm 6   c  45mm max  c4  c3 min  1 min  86.2 MPa J  max  86.2 MPa  min  64.7 MPa 2 2  max c2 60mm c  38.9mm d  2c  77.8mm  min  64.7 MPa © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

9 MECHANICS OF MATERIALS
Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Elastik Bölgede Dönme Açısı  c L  max Tc   max   G JG max (Hooke Bağıntısı)   TL JG    Ti Li Dönme açısı: Kademeli bir mil için Dönme açısı: JiGi i Şekildeki çelik kademeli milin kayma modülü G=77 GPa olduğuna göre A noktasının Örnek: toplam dönme açısını bulunuz. Çözüm: © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

10 MECHANICS OF MATERIALS
Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Hiperstatik şaftlar (miller) Örnek: Şekildeki milin (yarısının içi boş) dış çapı 22 mm ve içi boş kısmın iç çapı ise 16 mm dir. Mil A ve B noktalarından sabitlenmiştir. Milin tam ortasına 120 N.m lik bir tork uygulandığında A ve B noktalarında meydana gelen reaksiyon momentlerini bulunuz? TA  TB  120 N  m   1  2  0 TA L1  TBL2 J1G J2G veya 1  2 olmalı L1J2 TB  T L2J1 A L1J2 T T  120 N  m A L J A 2 1 TA  69.8 N  m TB  50.2 N  m © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 3- 10

11 MECHANICS OF MATERIALS
Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Örnek: Sağ taraftan sabitlenmiş çelik bir mil ile alüminyum bir tüp, şekildeki gibi rijit bir diske bağlanmıştır. Çelik mil ve alüminyum tüp için emniyetli kayma gerilmeleri sırasıyla 120 MPa ve 70 MPa olduğuna göre; disk vasıtasıyla sisteme uygulanabilecek maksimum tork değerini bulunuz. (Ga=27 GPa, Gç=77 GPa) •Alüminyum emniyeti için >120MPa olduğundan çelik emniyetsiz Çelik emniyeti için < olduğundan alüminyum da emniyetlidir. Bu durumda uygulanabilecek maksimum tork: © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

12 MECHANICS OF MATERIALS
Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Örnek AB ve CD ŵilleriŶiŶ B ve D uçları rijit plakaya saďitleŶŵiş olup Aď ŵiliŶiŶ A uĐuŶa T= ϳ5 Nm lik ďir tork ;ďurulŵa ŵoŵeŶtiͿ uygulaŶŵaktadır. Her iki ŵil içiŶ G= ϴ0GPa olduğuŶa göre; a) CD milindeki maksimum kayma gerilmesini, b) C ŶoktasıŶıŶ döŶŵe açısıŶı ďuluŶuz. Çözüm: İki dişli arasıŶda ŵeydaŶa geleĐek olaŶ kuvveti ďelirleŵek içiŶ AB ve CD ŵilleriŶe geleŶ torklar yaŶdaki giďi gösterileďilir. Burada; © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

13 MECHANICS OF MATERIALS
Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Örnek: T Şekildeki AB mili ile CD tüpü C noktasında rijit bir plaka ile (kaynaklı olarak) birleştirilmişlerdir. Çelik milin emniyetli kayma mukavemeti 84 MPa, pirinç tüpün emniyetli kayma mukavemeti ise 50 MPa’dır. Mil çapı ds=38 mm olduğuna göre; A noktasında uygulanabilecek emniyetli tork (T) değerini bulunuz. © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

14 MECHANICS OF MATERIALS
Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek y Örnek: Şekildeki içi boş çelik ABC kademeli milinin emniyetli kayma mukavemeti 90 MPa, serbest ucun (C noktası) izin verilebilir dönme miktarı ise 2° ’dir. AB ve BC kısımlarının dış çapları sırasıyla 30 mm ve 15 mm’dir. Mile boydan boya açılmış bulunan deliğin çapı ise 10 mm dir. Buna göre; B noktasında uygulanabilecek maksimum burulma momenti (T) değerini bulunuz. G=80 GPa A T B z C x Örnek: y Şekildeki çelik ABC kademeli milinin emniyetli kayma mukavemeti MPa’dır. AB ve BC kısımlarının dış çapları sırasıyla 30 mm ve 20 mm’dir. BC kısmının içi boş ve iç çapı 5 mm dir. Buna göre; B noktasında uygulanabilecek maksimum burulma momenti (T) değerini bulunuz. C’nin B’ye göre dönme miktarını bulunuz. (G=80 GPa, LAB=50 mm, LBC=25 mm ) T 0.1 kN.m z A x B C © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

15 MECHANICS OF MATERIALS
Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek T=3 kN.m ‘lik torka maruz şekildeki bronz silindirde; Örnek: Maksimum kayma gerilmesini D noktasındaki kayma gerilmesini 30 mm çapındaki çekirdek kısım tarafından taşınan tork miktarı bulunuz. © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

16 MECHANICS OF MATERIALS
Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek İçi boş iki şaft şekilde dişliler ile bağlanmıştır. Miller için izin verilebilir kayma gerilmesi 55 MPa olduğuna göre, uygulanabilecek To torkunu ve bu torka karşılık gelen A noktasının toplam dönmesini bulunuz . Örnek: © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.