DİFERANSİYEL DENKLEM TAKIMLARI

... konulu sunumlar: "DİFERANSİYEL DENKLEM TAKIMLARI"— Sunum transkripti:

1 DİFERANSİYEL DENKLEM TAKIMLARI
Örnek: Bir mekanik sistemin matematik modeli aşağıdaki diferansiyel denklem takımı ile ifade edilmektedir. Burada f girdi, x1 ve x2 ise çıktılardır. t=0’da x1=2 ve x2=-1 dir. Sistemin özdeğerlerini bulunuz. f girdisi 3 şiddetinde adım girdi ise x1(t)’yi bulunuz. f girdisi 3 şiddetinde adım girdi ise x2(t)’yi bulunuz. x1’in ilk şartlara bağlı cevabını x1(t) bulunuz. x2’nin ilk şartlara bağlı cevabını x2(t) bulunuz. [sI-A]-1 MATLAB ile nasıl bulursunuz?

2 DİFERANSİYEL DENKLEM TAKIMLARI
Sol tarafta 1. mertebeden türevli terimler, sağ tarafta ise türevsiz terimler bulunacak şekilde diferansiyel denklem takımını düzenleyelim. Durum değişkenleri formu A B D(s)

3 DİFERANSİYEL DENKLEM TAKIMLARI
a) Özdeğerler D(s) polinomunun kökleridir. Veya özdeğerler A matrisinin Eigenvalue’leridir. Veya GENEL ÇÖZÜM İLK ŞARTLARA BAĞLI ÇÖZÜM HOMOJEN ÇÖZÜM ZORLAMAYA BAĞLI ÇÖZÜM ÖZEL ÇÖZÜM İlk Şartlar b) Zorlamaya bağlı x1(t) clc;clear; pay=[ ]; payda=[ ]; [r,p,k]=residue(pay,payda)

4 DİFERANSİYEL DENKLEM TAKIMLARI
Pozitif kökten dolayı sistem kararsızdır. c) Zorlamaya bağlı x2(t) clc;clear; pay=[6 174]; payda=[ ]; [r,p,k]=residue(pay,payda) x2ö’nin Laplace Dönüşümü

5 DİFERANSİYEL DENKLEM TAKIMLARI
d) x1’in ilk şartlara bağlı cevabını x1(t) bulunuz clc;clear; pay=[2 -25]; payda=[ ]; [r,p,k]=residue(pay,payda) e) x2’nin ilk şartlara bağlı cevabını x2(t) bulunuz clc;clear; pay=[-1 4]; payda=[ ]; [r,p,k]=residue(pay,payda) f) [sI-A]-1 MATLAB ile nasıl bulursunuz? clc;clear; syms s; i1=eye(2) A=[-20 15;12 5]; a1=inv(s*i1-A) pretty(a1)

6 DİFERANSİYEL DENKLEM TAKIMLARI
Örnek: Bir sistemin matematik modeli aşağıda verilmiştir. Burada V(t) girdi q1(t) ve q2(t) çıktılardır. Denklemleri durum değişkenleri formunda yazınız. Sistemin özdeğerlerini MATLAB ile bulan programı yazınız. [sI-A]-1 matrisini MATLAB ile bulan programı yazınız. b ve c şıklarının bilgisayarla bulunan sonuçları aşağıda verilmiştir. 2 t (s) V2(t) t=0’da ve V(t) 2 şiddetinde adım girdidir. ‘nın ilk şartlara bağlı çözümünün Laplace transformunu bulunuz. e) q1’in girdiye bağlı çözümünün Laplace transformunu bulunuz.

7 DİFERANSİYEL DENKLEM TAKIMLARI
a) Durum değişkenleri q1, q2 ve dur. Sol tarafta 1. mertebeden türevli terimler, sağ tarafta da türevsiz terimler olmak üzere denklme takımı düzenlenir ise A B Durum değişkenleri b) Sistemin özdeğerlerini bulan MATLAB programı A=[ ;0 0 1; ]; eig(A) c) [sI-A]-1 bulan MATLAB programı clc;clear A=[ ;0 0 1; ]; syms s; i1=eye(3); sia=inv(s*i1-A); pretty(sia)

8 DİFERANSİYEL DENKLEM TAKIMLARI

9 DİFERANSİYEL DENKLEM TAKIMLARI
Örnek 1: Aşağıda verilen mekanik sistemin hareket denklemini durum değişkenleri formunda yazınız. Sistem üzerine etki eden kuvvet F(t)=100 u(t) olup (100 Newton genliğinde basamak girdi) t=0’da x0=0.05 m ve dx/dt=0’dır. x(t) ve v(t)’yi bulunuz. Durum değişkenleri x ve v=dx/dt dir. m=20 kg c=40 Ns/m k=5000 N/m Özdeğerler için MATLAB programı >>a=[0 1; ];eig(a)

10 DİFERANSİYEL DENKLEM TAKIMLARI
Her iki tarafa Laplace dönüşümü uygular ve düzenler isek İlk Şartlara Bağlı Çözüm Zorlamaya Bağlı Çözüm

11 DİFERANSİYEL DENKLEM TAKIMLARI
clc;clear; syms s; A=[0 1; ]; i1=eye(2); %2x2'lik birim matris siA=s*i1-A; x0=[0.05;0]; %Baslangic sartlari B=[0;0.05]; Fs=100/s; X=inv(siA)*x0+inv(siA)*B*Fs; pretty(X) x(t) için clc;clear; pay=[ ]; payda=[ ]; [r,p,k]=residue(pay,payda)

12 DİFERANSİYEL DENKLEM TAKIMLARI
Düzenli rejim değeri (Son değer) Başlangıç değeri, x0

13 DİFERANSİYEL DENKLEM TAKIMLARI
v(t) için clc;clear; pay=[-7.5]; payda=[ ]; [r,p,k]=residue(pay,payda)

14 DİFERANSİYEL DENKLEM TAKIMLARI
Örnek: Şekilde verilen iki serbestlik dereceli mekanik sistemin matematik modeli aşağıda verilmiştir. F(t) 50 Newton şiddetinde bir adım girdi ise x ve θ’nın Laplace dönüşümlerini bulunuz. R=0.2 m m=10 kg k=2000 N/m c=20 Ns/m Durum değişkenleri

15 DİFERANSİYEL DENKLEM TAKIMLARI
clc;clear A=[ ; ; ; ]; syms s; eig(A) i1=eye(4); sia=inv(s*i1-A); pretty(sia) Başlangıç şartları sıfır ise sadece zorlamaya bağlı çözüm mevcuttur. Özdeğerler : Tüm özdeğerlerin reel kısımları negatif olduğu için sistem kararlıdır.

16 DİFERANSİYEL DENKLEM TAKIMLARI