HİNT MATEMATİĞİ.

... konulu sunumlar: "HİNT MATEMATİĞİ."— Sunum transkripti:

1 HİNT MATEMATİĞİ

2 HARAPPAN DÖNEMİ (MÖ 2600 – MÖ 1700)
3000 yıllarında, İndus nehri civarında Harappan medeniyeti hüküm sürdü Harappan medeniyeti döneminde iki önemli yerleşim yeri: Harappa ve Mohenjo-Daro olarak biliniyor. Harappan yazısının çözülememiş olmasından ötürü o döneme ait elimizde çok az bilgi var.

3 HARAPPAN DÖNEMİ (MÖ 2600 – MÖ 1700)
Bazı kalıntılarda bulunan, ağırlığı ve uzunluğu ölçmek için kullanılan standart aletler, bu dönemde matematikten anlayan bir kültürün- olgunun varlığını işaret etmektedir. Lothal’da bulunan ve Mohenjodaro cetveli olarak isimlendirilen cetvelde, inç aralıklarla “İndus inçi” diye isimlendirilen ölçü birimleri bulunmaktadır.

4 İlk dönemlerde günlük bilgiler sözlü olarak aktarılıyordu ve bu bilgilere Veda deniyordu (Veda Sanskrit dilinde bilgi demektir). Daha sonra bu bilgiler Sanskritçede yazı altına alınmaya başlanmıştır. Bu yazılarda matematiksel bilgiler de bulunmaktadır, bunlar genellikle dini uğraşlarla alakalıydı. Örneğin şahin biçiminde bir ateş altarı (altar: sunak, kurban kesilen yer, mihrap) inşa etmek için bazı geometrik çizim ve hesaplar elde edilmiştir. Bu çizimlerde paralelkenarlar, üçgenler, kareler vb geometrik şekiller kullanılmıştır. VEDA DÖNEMİ (MÖ 1500 – MÖ 400)

5 Ayrıca M.Ö arasındaki yazılarda, daha önceden hiç kullanılmayan, 1012 gibi büyük sayılarla işlemler yapıldığı görülmüştür. Ayrıca aynı alana sahip çeşitli geometrik yapılar elde etme problemiyle uğraşılmış, daireyi kareleme veya tersi ile uğraşılması sonucu pi sayısına çeşitli yaklaşımlar elde edilmiş VEDA DÖNEMİ (MÖ 1500 – MÖ 400)

6 Jaina döneminin matematik ile ilgili en önemli kaynağı Bakshali yazmaları’dır. Bu yazmalarda, Jaina dönemindeki aritmetik ile ilgili birçok bilgi mevcuttur. Bu bilgiler: karekök hesapları, basamak değeri olan ondalık sayı sistemi, ikinci derece denklemlerin çözümü gibi önemli bilgilerdir. JAINA DÖNEMİ (MÖ 400 – MS 200)

7 Hint matematiğinin altın dönemi olan bu dönemde Aryabhata, Varahamihira, Brahmagupta, Bhaskara I, Mahavira ve Bhaskara II gibi matematikçilerin eserlerini görüyoruz. Bu eserler ve eserlerdeki katkılar Asya’ya, Orta Doğu ve Avrupa’ya yayılır. Bu dönemde astronomi önem kazanmış ve astronominin üç dalı : Matematik, Astroloji ve Kehanet oluşmuştur KLASİK DÖNEM ( )

8 Altın dönem 1200 yıllarında gerilemeye başlar ama Kerala civarlarında matematik gelişmeye devam eder. 1400 – 1600 yılları arasında ise, matematiğin bu bölgede en parlak dönemini yaşadığını görüyoruz. KERALA DÖNEMİ (1300 – 1600)

9 Bugün kullandığımız onluk sayı sistemi ve basamak değeri tarihte ilk defa Hintliler tarafından geliştirilmiştir Babilliler de basamak değerine dayanan bir sistem kullanıyorlardı ama onlar 60lık sistem üzerine inşa etmişlerdi sayılarını. Daha önce Mısırlılar ve Yunanlıların kullandıkları sayı sistemlerinde basamak değeri diye bir kavram yoktu hatırlarsak, orada büyük sayılar oluştururken küçük sayılar kullanılarak yeni semboller türetiliyordu. Oysa basamak değeri sisteminde yeni sembol üretmek yerine, kullanılan rakamların posizyonu ve sırası büyük sayıyı belirtmektedir.  HİNT MATEMATİĞİ

10  Hintlilerin ne zaman numaralar yerine semboller kullanmaya başladığı açıklığa kavuşmuş değildir ancak üzerinde numaralar bulunan ilk metin Kharosthi elyazmasıdır. Bu metin bugünkü Afganistan’da bulunmuş olup, sağdan sola doğru yazılmış bir metindir. Basamak değeri kullanımına ilişkin veriler içermemektedir.  Diğer bulgu da M.Ö.1000 de yazıldığı düşünülen Brahmi metnidir. Bu metinde ilk defa rakamların sembolleri belirtilmiştir ve bu metin Hindistan yarım adasında bulunan diğer tüm metinlere kaynak olmuştur.

11 BRAHMİ METNİ

12

13 Bugün kullandığımız ondalık sistemin ve basamak değeri mantığının ilk olarak içerildiği metin ise M.Ö.100 yılından kalma olduğu tahmin edilen Nagri metnidir. Nagri metninde ilk defa açığa çıkan bu yeni sayı sistemi daha sonra düzenlenerek tam olarak açık bir şekilde diğer Hint metinlerinde verilmiştir. Yandaki resimde bu metinlerde kullanılan rakamları görebilirsiniz .

14  M.Ö arasında dönemin en önemli yazılı eserlerinden olan sulba-sutra denilen yazıtlar kaleme alınmıştır. Sanskrit dilinde sulba kiriş demektir. Sutra ise bir çeşit yazım formatıdır. Sutra formatında problem kolay ezberlenmesi için dizeler halinde verilip devamında probleme ilişkin çeşitli yorumlar ve çözümler düzyazı biçiminde verilir. Sulba-sutralarda genel olarak değişik şekillerde ama aynı alanı kaplayacak şekilde altarların(kurban kesilen yer) nasıl inşa edileceğine ilişkin bilgiler verilmiştir.

15 Bu amaçla da birçok geometrik ve cebirsel yöntemler içermektedir.
Toplam üç adet sulba-sutra vardır. En meşhur sulba- sutra,M.Ö.800 de Baudhayana tarafından yazılan Baudhayana sulba-sutrasıdır. İçeriğinde bazı Pisagor üçlüleri ve Pisagor teoreminin çeşitli durumlar için ifadesi bulunmaktadır. Ayrıca Baudhayana √ 2 nin yaklaşık değerini veren bir de formül vermiştir. Bu formül: Olarak verilmiştir virgülden sonra 5 basamağa kadar doğru yaklaşılmıştır.

16

17 Diğer iki sulba-sutra da M. Ö
Diğer iki sulba-sutra da M.Ö  arasında Manava tarafından kaleme alındığı düşünülen Manava sulba- sutrası ve M.Ö.600 de Apastamba tarafından yazılan Apastamba sulba- sutrasıdır. Bu iki sulba-sutra da Baudhayana sulba- sutrası ile benzer sonuçlar içermektedir.

18 Milattan önce 6. Yüzyılda Hindistan’da önemli dini reformlar olmuştur
Milattan önce 6. Yüzyılda Hindistan’da önemli dini reformlar olmuştur. Bunlardan en önemlisi, Mahavira’nın kurduğu Cainizm (jainism) dini ve felsefesidir. Bu felsefedeki varlık, yokluk, ruh gibi bazı dini kavramlardan etkilenilerek bu dönemde 2588 gibi o zamana dek hiç gündeme gelmemiş büyüklükte sayılar matematiksel işlemlerde kullanılmış ve ilk defa matematiksel anlamda sonsuzluk kavramı gündeme gelmiştir. 

19 Cainistler sonsuzluğu da kendi arasında beş kategoriye ayırarak sınıflamışlardır.
Ancak bu sonsuzluklar matematiksel bilgileri doğrultusunda değil tamamen dini inançları doğrultusunda tanımlanmışlardır. Yine bu dini inanç ve felsefenin etkisiyle cainistler matematiksel anlamda yokluk ve boşluk kavramlarını shunya  (Sanskritçe de yok, boş anlamında) kelimesini kullanarak belirtmişler ve tarihte ilk defa bugünkü anlamda sıfır sayısını kullanmışlardır.

20 Bu dönemin en dikkat çekici matematikçilerinden birisi Pingala’dır.
Kaleme aldığı Chandas Sutra isimli eserde, kendisi Binom teoremini bilmemesine rağmen binom katsayılarını elde etmeye yönelik metotlar geliştirmiştir. Bu çalışmada ayrıca Bugün Fibonacci Sayıları olarak bilinen sayılara ilişkin olduğu düşünülen bazı bölümler de dikkat çekmektedir. Metnin içeriğinden ayrıca Pingala’nın özdeşliğini bildiği de anlaşılıyor. Matematiksel bir metinde tarihte ilk defa sıfır sayısı da bu çalışmada geçmiştir. Bu metnin tamamı maalesef günümüze kadar ulaşamamıştır.

21 Cainizm döneminden günümüze kadar ulaşabilen en eski yazılı belge,   arası bir tarihte yazıldığı tahmin edilen, huş ağacı kabuğuna yazılmış olan Bakshali el yazmasıdır. Bu elyazması belge de sutra formatında yazılmış olup, tutarlı karekök yaklaşımları, belirsiz katsayılı çok değişkenli denklemlerin çözümleri gibi bazı konular içermektedir.

22

23 Bu metinde sıfır yerine nokta kullanıldığı dikkat çekmektedir
Bu metinde sıfır yerine nokta kullanıldığı dikkat çekmektedir. Daha önce Pingala tarafından tanıtılan sıfır sayısı işlemlerde kullanılmıştır. Tarihte ilk defa sıfır sayısı ile işlemler bu metinde yapılmıştır. Ayrıca bu metinde ikinci dereceden denklemler ve formüller de bulunmaktadır. Bu belgede karekök için formülü verilmiştir ki bu formülle birçok karekök hesabında çok tutarlı sonuçlar elde edilebilir.

24 Bu dönemin en önemli çalışmalardan bir diğeri de 499 da Aryabhatia ve Arya Siddhanta kitaplarıdır.
Bunlar astronomi üzerine olup Aryabhata tarafından yazılmıştır. Maalesef ikinci kitap günümüze ulaşamamıştır. Aryabhatiada aritmetik,dü zlemve küresel geometri , trigonometri, ikinci dereceden denklemler, kuvvet seri toplamları ve bir sinüs fonksiyonu değ er tablosu bulunmaktadır.

25  Bu çalışmada Aryabhata, ax+by=cz şeklinde belirsiz katsayılı denklemler üzerinde durmuş ve bugün bildiğimiz Öklid (Euclid) algoritmasına denk bir çözüm yöntemi geliştirmiştir. Yandaki resim bu metindeki sinüs tablosunu göstermektedir

26 Diğer bir önemli Hint matematikçisi de Brahmagupta’dır
Diğer bir önemli Hint matematikçisi de Brahmagupta’dır. Astronomi üzerine 628 yılında yazdığı Brahmaputha Siddhanta (evrenin açılışı demektir). Ve 665 de yazdığı Khandakhadyaka kitapl arıyla tanınmaktadır. Daha önceden Aryabhanta’nın verdiği, belirsiz katsayılı iki bilinmeyenli lineer denklemlerin çözüm metodu üzerine çalışmalar bu kitaplarda tekrar ele alınmış ve Brahmagupta bu kitapta bu tür denklemlerin çözümlerinin var olması için gerek yeter koşul vermiştir.

27

28 Brahmagupta ayrıca;   İfadelerini de ispatsız olarak vermiştir bu metinlerde. Brahmagupta’nın en dikkat çeken sonuçları dış teğet çemberi olan dörtgenler ile alakalı olan sonuçlarıdır. Brahmagupta, eğer bu şekildeki bir dörtgenin köşegenleri birbirini dik kesiyor ise, bir kenara çekilen dikme karşı kenarı iki eşit parçaya böler demiştir.

29

30 Ayrıca Brahmagupta bu şekildeki bir dörtgenin alanını veren bir formül de vermiştir. bu formüle göre kenarları a, b, c, d olan ve dış teğet çemberi olan bir dörtgenin alanı  olup burada s dikdörtgenin çevresinin yarısıdır. Brahmagupta ayrıca ikinci dereceden denklemlerin çözümleri ile de uğraşmıştır bu eserlerde.